Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik
Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik
Der erste Teil ist leicht nachvollziehbar. Ein nichtdeterministischer Algorithmus errät eine Belegung der Variablen und überprüft anschließend, ob der Ausdruck durch diese Belegung wahr ist. Bei n Variablen führt der Algorithmus n Ratephasen durch. Die Überprüfung des Wahrheitswertes erfordert polynomialen Zeitaufwand in Abhängigkeit von der Länge des Ausdrucks, weil ein Ausdruck der Länge n nicht mehr als n Variablen enthalten kann. Aus dem linearen Aufwand für das Raten und dem polynomialen Aufwand für die Überprüfung ergibt sich insgesamt, dass das Erfüllbarkeitsproblem durch einen nichtdeterministischen Algorithmus mit polynomialem Zeitaufwand lösbar ist. Das Problem gehört also zur Klasse NP. Der zweite Teil ist wesentlich schwieriger. Um von den unterschiedlichen Formaten der Eingabedaten aller relevanten Probleme (Zahlen, Graphen, Zeichenketten usw.) abstrahieren zu können, identifiziert man jedes Problem Q ∈ NP mit einer charakteristischen Sprache L. Diese Sprache wird wie folgt konstruiert: Die möglichen Eingabedaten für Q werden eindeutig in Wörter über dem Alphabet von L übersetzt. L enthält dann alle Wörter, die den Eingabedaten entsprechen, für die (die Entscheidungsvariante von) Q mit ” ja“ zu beantworten ist. Cook geht in seinem Beweis von der Tatsache aus, dass es zu jeder solchen Sprache L eine nichtdeterministische Turing–Maschine ML gibt, die zu jedem Eingabewort w mit polynomialem Zeitaufwand entscheidet, ob w ∈ L gilt oder nicht. Die eigentliche Beweisidee besteht nun darin, eine Menge von Klauseln zu konstruieren, die die Arbeitsweise von ML beschreibt und die in polynomialer Zeit aus w konstruiert werden kann. Der durch konjunktive Verknüpfung der Klauseln entstehende boolesche Ausdruck ist genau dann wahr, wenn ML das Eingabewort w akzeptiert, d. h. wenn w ∈ L gilt. Damit kann jedes Problem in NP auf das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik zurückgeführt werden. Die von Cook geleistete Konstruktion der Klauselmenge ist sehr kompliziert. Sie im Detail zu beschreiben führt hier zu weit. Wir sehen uns stattdessen an einem Beispiel an, wie sich SAT polynomial auf ein graphentheoretisches Problem reduzieren lässt. Definition 29. Das Knotenüberdeckungsproblem (engl. vertex covering problem, kurz VCP) ist wie folgt definiert: Gegeben ist ein ungerichteter Graph G und eine natürliche Zahl k. Gibt es eine Teilmenge von G mit k Knoten, so dass jede Kante mindestens einen Endpunkt aus dieser Teilmenge enthält? Beispiel 30. Gegeben ist der in Abbildung 15 dargestellte Graph. Gibt es eine Knotenüberdeckung mit vier Knoten? Gibt es eine mit drei Knoten? Die Knotenmengen {1, 3, 5, 7} und {2, 4, 6, 8} erfüllen die Bedingung, dass jede Kante des Graphen mindestens einen Endpunkt aus der jeweiligen Menge besitzt. Für k = 4 ist das Problem also mit ” ja“ zu beantworten, für k = 3 mit ” nein“. 28
7 8 6 5 1 2 Abbildung 15: Graph zum Knotenüberdeckungsproblem Satz 31. Das Knotenüberdeckungsproblem ist NP–vollständig. Beweis. Wir zeigen, dass sich das Erfüllbarkeitsproblem SAT polynomial auf VCP reduzieren lässt: SAT ≤p V CP. Aus der Transitivität der Relation ≤p folgt dann, dass sich jedes Problem Q ∈ NP polynomial auf V CP reduzieren lässt: Nach Cook gilt: ∀Q ∈ NP : Q ≤p SAT Wir zeigen: SAT ≤p V CP Aus Q ≤p SAT ≤p V CP folgt: ∀Q ∈ NP : Q ≤p V CP Zunächst müssen wir uns aber vergewissern, dass V CP in NP liegt. Dazu geben wir einen nichtdeterministischen Algorithmus an, der das Problem mit polynomialem Zeitaufwand löst. Gegeben sei also ein Graph G mit n Knoten und eine natürliche Zahl k. Der Algorithmus wählt im ersten Schritt (nichtdeterministisch) k Knoten aus. Dies erfordert linearen Aufwand in Abhängigkeit von n. Im zweiten Schritt muss nun überprüft werden, ob die ausgewählte Teilmenge der Knoten eine Überdeckung darstellt. Dies ist leicht möglich, wenn man sich den Graphen durch eine n × n– Matrix M repräsentiert vorstellt, für die gilt: 1 falls G eine Kante von i nach j enthält mi,j = 0 sonst . Für den Graphen in Abbildung 15 sähe diese Matrix als rechteckiges Schema wie 29 4 3
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Satz 31. Das Knotenüberdeckungsproblem ist NP–vollständig.<br />
Beweis. Wir zeigen, dass sich das Erfüllbarkeitsproblem SAT polynomial auf<br />
VCP reduzieren lässt: SAT ≤p V CP. Aus <strong>der</strong> Transitivität <strong>der</strong> Relation ≤p<br />
folgt dann, dass sich jedes Problem Q ∈ NP polynomial auf V CP reduzieren<br />
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Nach Cook gilt: ∀Q ∈ NP : Q ≤p SAT<br />
Wir zeigen: SAT ≤p V CP<br />
Aus Q ≤p SAT ≤p V CP folgt: ∀Q ∈ NP : Q ≤p V CP<br />
Zunächst müssen wir uns aber vergewissern, dass V CP in NP liegt. Dazu geben<br />
wir einen nichtdeterministischen Algorithmus an, <strong>der</strong> das Problem mit polynomialem<br />
Zeitaufwand löst.<br />
Gegeben sei also ein Graph G mit n Knoten und eine natürliche Zahl k. Der<br />
Algorithmus wählt im ersten Schritt (nichtdeterministisch) k Knoten aus. Dies<br />
erfor<strong>der</strong>t linearen Aufwand in Abhängigkeit von n. Im zweiten Schritt muss nun<br />
überprüft werden, ob die ausgewählte Teilmenge <strong>der</strong> Knoten eine Überdeckung<br />
darstellt. Dies ist leicht möglich, wenn man sich den Graphen durch eine n × n–<br />
Matrix M repräsentiert vorstellt, für die gilt:<br />
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1 falls G eine Kante von i nach j enthält<br />
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Für den Graphen in Abbildung 15 sähe diese Matrix als rechteckiges Schema wie<br />
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