Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

natürlich nicht beliebig viele Prozesse gleichzeitig ablaufen. Man muss deshalb
einen nichtdeterministischen Algorithmus durch einen deterministischen nachahmen,
und zwar durch ein Verfahren, das Rückverfolgung (engl. backtracking)
genannt wird: Dabei wird jeder Lösungsversuch, der nicht zum Ziel führt, bis zur
letzten Verzweigung im Entscheidungsbaum zurückgezogen und ein anderer Weg
von dort aus weiterverfolgt. Dadurch ergibt sich im ungünstigsten Fall jedoch die
oben bereits angesprochene Überprüfung aller möglichen Lösungswege, so dass
nichtdeterministische Algorithmen zunächst keine praktische Relevanz haben.
Von Bedeutung sind sie aber für theoretische Betrachtungen immer dann,
wenn sowohl die Ratephase als auch die Prüfphase polynomialen Zeitaufwand erfordern.
Dann ergibt sich eine neue Problemklasse, die sich durch folgende Eigenschaft
auszeichnet: Jedes Problem wäre mit polynomialem Zeitaufwand lösbar,
wenn es gelänge, die jeweilige Ratephase durch einen polynomialen deterministischen
Algorithmus zu ersetzen.
Wir führen zunächst eine Bezeichnung für die praktisch lösbaren Probleme
ein (vgl. Definition 10).
Definition 19. Die Klasse P enthält genau diejenigen Probleme, für die ein
polynomialer Lösungsalgorithmus existiert.
Unter allen Problemen, die prinzipiell lösbar sind, lässt sich nun eine Klasse
definieren, die auch viele der bisher als praktisch unlösbar bezeichneten Probleme
enthält.
Definition 20. Die Klasse NP enthält genau diejenigen Probleme, für die folgende
Eigenschaften erfüllt sind:
— Es existiert ein Algorithmus mit exponentiellem Zeitaufwand (z. B. die
vollständige Durchsuchung aller Lösungsmöglichkeiten).
— Es ist möglich, durch ein nichtdeterministisches Verfahren (durch Raten)
mit polynomialem Zeitaufwand eine Lösung zu bestimmen.
— Es gibt einen Verifikationsalgorithmus mit polynomialem Zeitaufwand zum
Nachweis der Richtigkeit einer gefundenen (geratenen) Lösung.
Die Klasse NP enthält also alle Probleme, die mit einem nichtdeterministischen
Verfahren polynomial lösbar sind — daher die Bezeichnung. Für zahlreiche
Probleme in NP existiert kein schneller Lösungsalgorithmus, aber alle Probleme
in NP haben eine gemeinsame interessante Eigenschaft: Man kann eine Lösung
möglicherweise nicht schnell finden, aber eine gefundene Lösung immer schnell
verifizieren.
Weil jeder deterministische Algorithmus zu einem nichtdeterministischen erweitert
werden kann (der dasselbe Problem löst), liegen alle Probleme aus P auch
in NP:
P ⊆ NP .
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