Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

Ein Rundweg durch den Graphen, bei dem jede Kante genau einmal benutzt
wird, kann nur dann gelingen, wenn jeder Knoten genau so oft erreicht wird wie
er wieder verlassen wird. Daran scheitert jeder Lösungsversuch im Brückenproblem,
wie wir bereits oben gesehen haben. Eulers Antwort auf die Frage nach der
Existenz eines solchen Rundweges — der für Graphen auch Eulerkreis genannt
wird — lautet deshalb:
In einem ungerichteten Graphen existiert genau dann ein Weg, der jede
Kante genau einmal enthält und zum Ausgangsknoten zurückführt,
wenn der Grad jedes Knotens gerade ist.
Algorithmus Eulerkreis
(Eingabe: Ein Feld g der Dimension n x n, das die Kanten des
Graphen festlegt
Ausgabe: ’ja’, falls der Graph einen Eulerkreis enthält, sonst ’nein’)
begin
euler←true
for i from 1 to n do
for j from 1 to n do
grad[i]←grad[i]+g[i,j]
for i from 1 to n do
if grad[i] mod 2 = 1 then
euler←false
if euler=true then
Ausgabe: ja
else
Ausgabe: nein
end
Abbildung 10: Algorithmus Eulerkreis
Ein Algorithmus, der zu einem gegebenen Graphen mit n Knoten entscheidet, ob
er einen Eulerkreis enthält, ist in Abbildung 10 angegeben. Als Eingabe wird hier
eine n × n–Matrix G verwendet, für die gilt:
gij = Anzahl der Kanten zwischen Knoten i und Knoten j .
Dabei bezeichnet gij den Wert in der i–ten Zeile und j–ten Spalte, wenn man G
als rechteckiges Schema notiert.
Wegen der geschachtelten Zählschleife liegt die Zeitkomplexität des Algorithmus
in der Klasse O(n 2 ). Das Problem ist also mit polynomialem Zeitaufwand
lösbar.
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