Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

Satz 5. Werden zwei polynomiale Algorithmen nacheinander ausgeführt, ist der
resultierende Gesamtalgorithmus polynomial.
Beweis. Seien f(n) und g(n) die Komplexitäten der beiden Algorithmen mit
f(n) = ck · n k + ck−1 · n k−1 + · · · + c1 · n + c0 ∈ O(n k ) ,
g(n) = dl · n l + dl−1 · n l−1 + · · · + d1 · n + d0 ∈ O(n l ) .
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte l ≥ k. Setzt man nun ci := 0 für
i = k + 1, . . .,l, so ergibt sich für den Gesamtalgorithmus die Komplexität
f(n) + g(n) = (cl + dl) · n l + (cl−1 + dl−1) · n l−1
+ · · · + (c1 + d1) · n + c0 + d0 ∈ O(n l ) .
Satz 6. Wird ein Teil eines polynomialen Algorithmus durch ein Modul ersetzt,
das selbst einen polynomialen Algorithmus enthält, ist der resultierende
Gesamtalgorithmus polynomial.
Beweis. Es sei f(n) die Komplexität des Algorithmus, in dem ein Teil durch ein
Modul mit der Komplexität g(n) ersetzt wird.
f(n) = ck · n k + ck−1 · n k−1 + · · · + c1 · n + c0 ∈ O(n k ) ,
g(n) = dl · n l + dl−1 · n l−1 + · · · + d1 · n + d0 ∈ O(n l ) .
Die Komplexität h(n) des resultierenden Algorithmus hängt davon ab, in welchem
Umfang die ersetzten Anweisungen in die Berechnung eingehen. In jedem Fall gilt
jedoch
mit
h(n) ≤ f(g(n))
f(g(n)) = ck · (dl · n l + dl−1 · n l−1 + · · · + d1 · n + d0) k
+ ck−1 · (dl · n l + dl−1 · n l−1 + · · · + d1 · n + d0) k−1
+ · · · + c1 · (dl · n l + dl−1 · n l−1 + · · · + d1 · n + d0) + c0
Demnach hat der Gesamtalgorithmus maximal die Komplexität n k+l .
Die Klasse der polynomialen Algorithmen ist also abgeschlossen bezüglich der
Hintereinanderausführung und der Ersetzung. Dies bildet eine wichtige Grundlage
für die folgende
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