Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

Damit wird die Problemgröße reduziert, und die Teilprobleme im ersten und dritten
Schritt lassen sich analog lösen. Es ergibt sich der in Abbildung 7 dargestellte
Algorithmus.
Algorithmus Hanoi(n,von,nach,ueber)
(von: Ausgangsstab,
nach: Zielstab
ueber: Hilfsstab)
begin
if n=1 then
Ausgabe: von -> nach
else
Hanoi(n-1,von,ueber,nach)
Ausgabe: von -> nach
Hanoi(n-1,ueber,nach,von)
end
Abbildung 7: Rekursiver Algorithmus Türme von Hanoi
In jedem Durchlauf des Algorithmus sind zunächst ein Vergleich und eine
Ausgabeanweisung zu berücksichtigen. Hinzu kommt der Aufwand für die beiden
rekursiven Aufrufe, falls n > 1 ist. Bezeichnen wir die Zeitkomplexität mit
than(n), so ergibt sich also für den Gesamtaufwand
than(n) =
2 für n = 1
2 + 2 · than(n − 1) für n > 1 .
Aus der Zinsrechnung wissen wir, dass man diesen rekursiven Term umschreiben
kann (Kapitalberechnung bei nachschüssiger Einzahlung (postnumerando) und
einem Zinssatz von 100%):
Es gilt also
than(n) = 2 · (2 n − 1)
= 2 n+1 − 2 .
than ∈ O(2 n ) .
Leider hat man nicht immer eine Formel zur Verfügung, mit der sich eine
Rekursionsgleichung in eine geschlossene Form bringen lässt. Oft bleibt dann nur
die Möglichkeit, eine Wertetabelle zu erstellen, den Funktionsterm zu raten und
anschließend dessen Korrektheit mit Hilfe vollständiger Induktion zu beweisen. In
manchen Fällen liefern aber auch Computer–Algebra–Systeme brauchbare Terme,
die zumindest geeignet sind, die Funktion einer asymptotischen Ordnung
zuzuordnen.
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