Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

komplexität tbin(n) der binären Suche im ungünstigsten Fall
tbin(n) = 3 + ⌈log 2 n⌉ · (3 + 2)
= 5 · ⌈log 2 n⌉ + 3
tbin ∈ O(log 2 n)
Auch hier mache man sich die Unterschiede der beiden Algorithmen mit Zahlen
deutlich — an dieser Stelle auch am Beispiel des Telefonbuchs:
Beispiel 3. Sucht man in einem 1000–seitigen Telefonbuch sequentiell, so muss
man unter (ungünstigen) Umständen alle 1000 Seiten der Reihe nach aufschlagen.
Mit binärer Suche hat man nach spätestens zehn Versuchen die passende Seite gefunden.
Für die berechneten Komplexitäten der angegebenen Algorithmen erhält
man folgende Werte:
Sequentielle Suche: tseq(1000) = 4002
Binäre Suche: tbin(1000) = 53 .
Ausführliche Beschreibungen verschiedener Sortier– und Suchalgorithmen sowie
präzise Berechnungen des jeweiligen Aufwandes hat Knuth zusammengetragen
(Knuth 1973a).
Zur Abschätzung der Zeitkomplexität eines rekursiven Algorithmus betrachten
wir das Problem der Türme von Hanoi: In der vereinfachten Version gibt es
drei Stäbe A, B und C, auf die drei unterschiedlich große runde Scheiben gesteckt
werden können. Die Ausgangssituation besteht darin, dass alle drei Scheiben der
Größe nach geordnet — die größte ganz unten — auf Stab A liegen. Man soll nun
die Scheiben in derselben Anordnung auf B platzieren, wobei folgende Regeln zu
beachten sind:
— Es darf immer nur eine Scheibe bewegt werden.
— Es darf nie eine Scheibe auf einer kleineren liegen.
Eine Lösung dieser Aufgabe ist schnell gefunden:
A → B, A → C, B → C, A → B, C → A, C → B, A → B .
In der ursprünglichen Version des Problems ging es aber um 64 Scheiben. Eine
Lösung für diese Aufgabe aufzuschreiben, ist schlicht unmöglich. In obiger Notation
wäre die Zeile 1, 8 · 10 14 km lang — knapp das Fünfmilliardenfache des
Erdumfangs. Dennoch ist es möglich, allgemein für n Scheiben eine einfache rekursive
Strategie anzugeben, für deren Anwendung wir den Zeitbedarf bestimmen
können:
— Bewege n − 1 Scheiben von A nach C.
— Bewege eine Scheibe von A nach B.
— Bewege n − 1 Scheiben von C nach B.
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