Technische Mechanik Kinematik

Erich Sirrenberg 

Technische Mechanik 

Kinematik 

Ein interaktives eBook für Maple

Der Autor 

Prof. Dr. Erich Sirrenberg war lange als Entwicklungsingenieur in der Industrie 

tätig. Er lehrte an der TU Berlin und an den Fachhochschulen in 

Berlin und Bingen in den Disziplinen Technische Mechanik, Systemdynamik, 

Numerische Methoden der Konstruktionsberechnung, Leichtbau, Strömungs- 

Mechanik und Computeralgebrasysteme. 

Verlag Harri Deutsch 

Gräfstr. 47, 60486 Frankfurt 

www.harri-deutsch.de 

verlag@harri-deutsch.de 

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek 

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen 

Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet 

über 〈 http://dnb.d-nb.de 〉 abrufbar. 

ISBN 978-3-8171-1788-8 

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. 

Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung 

des Buches – oder von Teilen daraus – sind vorbehalten. Kein Teil des 

Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form 

(Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der 

Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme 

verarbeitet werden. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen 

des Urheberrechtsgesetzes. 

Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor 

und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen 

sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. 

1. Auflage 2007 

c○Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2007 

Druck: betz-druck GmbH, Darmstadt 

Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis 

Vorwort 3 

1 Methodik ingenieurwissenschaftlichen Arbeitens 9 

2 Technische Mechanik 17 

2.1 Aufgabe und Abgrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.2 Raum und Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.3 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.4 Körper und Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.5 Gliederung der Technischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 27 

3 Kinematik 31 

3.1 Lagebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.2 Bewegungszustand von Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.3 Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zustand . . . . . . . . 34 

4 Projekte 43 

Beispielprojekt: Quick-Step-Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . 43 

Die Projekte im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

Anhang 62 

Literatur zu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

Ansprechpartner bei Fragen zu den Programmmen . . . . . . . 62

Vorwort 

Ungewöhnlich, das Vorwort eines Lehr- und Fachbuchs beginnt mit einem 

Witz: 

Wegen Husten geht die Person zum Arzt. Dieser verschreibt ihr 

Rizinusöl und bittet sie nach einigen Tagen wiederzukommen. Dieses 

erfolgt nach 5 Tagen. Der Arzt fragt: Haben Sie noch Husten? 

Die Antwort: Nein Herr Doktor, ich traue mich nicht mehr. 

Meine verehrten Lehrer Prof. Dr. I. Szabó und Prof. Dr. R. Trostel haben 

anderTUBerlin,Prof.Dr.K.Marguerre an der TH Darmstadt Mitte 

1950 begonnen, die Technische Mechanik zu „erneuern“, indem sie diese 

„mathematisierten“. Damit erfuhr die Technische Mechanik einen enormen 

Praxisbezug, wurde Grundlage der ingenieurwissenschaftlichen Praxis, bildet 

heute in dieser Form die Basis jeder Ingenieur-Ausbildung. Gleichermaßen 

wie im Witz stehen uns heute neue Werkzeuge zur Verfügung, z. B. CAS – 

Computer Algebra Systeme –, sollten neue Wege der Lehre und Anwendung 

beschritten werden. 

Den Studenten bereitete die Technische Mechanik stets Schwierigkeiten. Obwohl 

die wenigen Sätze der Technischen Mechanik leicht zu verstehen sind, 

ist deren Anwendung auf praxisnahe Probleme infolge des mathematischen 

Aufwandes nicht einfach. Oft wird auch eine „Mathematisierung“ bemüht, 

die nicht angebracht, dem Praxisbezug zuwider ist. Um diese Schwierigkeiten 

zu umgehen, wird oft eine falsche Didaktik bemüht – die Technische Mechanik 

wird derart einfach gelehrt, dass sie mit der Praxis nichts mehr gemein 

hat, die Idealisierungen sind unvereinbar mit der Praxis. Dem gegenüber steht 

heute der Leistungsanspruch der Technischen Mechanik – die Konstruktionen 

müssen in vielfacher Hinsicht exakter ausgelegt werden. Somit ist es sinnvoll, 

heute eine Technische Mechanik zu lehren und anzuwenden, die den Zielen

4 Vorwort 

der Praxis gerecht wird, die Lernenden jedoch nicht „vergrault“. Die Technische 

Mechanik kann heute – bis auf die Materialtheorie – als „abgeschlossen“ 

betrachtet werden. Geschichtlich bedingter Ballast und althergebrachte 

Vorgehensweisen sollten keinen Bestand mehr haben – z. B. der Aufbau der 

Technischen Mechanik in der Form Statik, Kinematik, Dynamik usw. In der 

Mechatronik ist die Technische Mechanik vereint mit einer Vielzahl von Disziplinen, 

in der Praxis ist dieses generell. 

Das Ziel muss sein, Denk- und Arbeitslehre methodisch zu gestalten, dabei 

jedoch die Praxis nicht zu vergessen. Erinnert sei diesbezüglich an das alte 

Modell von Konfuzius – das Modell der modernen Pädagogik: 

1. Zeige es mir, so werde ich es vergessen 

2. Mache es mit mir, so werde ich es verstehen 

3. Lass es mich machen, so werde ich es können 

Damit ist dem Frontalunterricht der Kampf angesagt, der interdisziplinären 

Projektarbeit im Team die Tür geöffnet. 

Derart habe ich seit 1980 Studenten an Hochschulen in mehreren Disziplinen 

begleitet mit dem Ergebnis: die Studenten hatten Spaß, ich hatte Spaß und 

– das Wesentliche – Punkt 3 wurde erreicht. Das Motto muss sein: 

Lernen soll Spaß machen 

Der vorliegende 1. Teil der Technischen Mechanik gibt eine Einführung in 

diese Disziplin und die Darstellung der Kinematik, d.h.dieLehrevonder 

Bewegung. Diese ist die einfachste, weil rein geometrische Disziplin der Technischen 

Mechanik. Gleichzeitig stellt sie die Basis dar für die Bereiche des 2. 

Teils – Kinetik. Darüber hinaus hat die Kinematik wesentliche unmittelbare 

Anwendungen in der Praxis. 

Der Aufbau dieser Technischen Mechanik unterscheidet sich nun grundlegend 

von der üblichen Vorgehensweise. Die Darstellung ist gänzlich mit CAS 

Maple 10.02 classical und CAD Megacad – mit letzterem die Skizzen – 

in einem eBuch realisiert. Maple ist das hervorragende CAS, mittels dessen 

Textbearbeitung, Zeichnung, symbolische und numerische Mathematik – besonders 

Animationen – einfach zu realisieren sind. Die Einarbeitungszeit in 

Maple – gleiches gilt für Megacad – ist gering. Komplizierte mathematische 

Analysen entarten zu Spielereien, bewegte Bilder gründen das Gefühl für 

das betrachtete System, die wesentliche Hilfe für die Synthese. Nicht nur die 

Aufgaben, auch die theoretischen Entwicklungen sind in dieser Technischen

Vorwort 5 

Mechanik mit Maple einfach realisiert. Damit sind die Möglichkeiten von 

Maple allerdings noch längst nicht ausgeschöpft. 

Der Lernende erfährt an theoretischen Entwicklungen und praxisnahen Aufgaben 

den Umgang mit Maple, erkennt dabei, wie einfach nun die Technische 

Mechanik wird, auch welch mächtiges, zukunftsorientiertes Werkzeug Maple 

darstellt. Er wird in Zukunft einfach mapeln. 

Nun liegt hier kein Buch im üblichen Sinn vor. Das hat weitreichende Vorteile. 

Will der Lernende ein übliches Buch haben, so kann er sich dieses entsprechend 

seinen Vorstellungen drucken lassen. Da die Skizzen, Gleichungen, Texte 

usw. farbig sind, kann dieses Buch individuell gestaltet werden: Skizzen, 

Texte, mathematische Beziehungen usw. können beliebig verändert werden, 

so können z. B. ergänzende Zeichnungen, Texte an beliebiger Stelle eingefügt 

werden. Der Flexibilität sind keine Grenzen gesetzt. Auch kann die Darstellung 

mittels L ATEX, Rtf o. Ä. bearbeitet werden. 

Dieses ist kein „Lehrbuch“ für Maple. Neben der Entwicklung der Kinematik 

werden eine Vielzahl von Übungsaufgaben sowie eine große Zahl von Projekten 

mit Maple bearbeitet. Nach Durcharbeit dieser Kinematik – möglichst 

im Team – werden die Lernenden erkennen, wir sind in der Lage, praxisnahe 

kinematische Probleme einfach zu bearbeiten und wir können mapeln –auch 

in anderen Disziplinen. 

Bisher war es üblich, stets neue Rechner-Sprachen zu lernen. Maple macht 

diesem Unfug ein Ende. Die Vielfalt, Flexibilität, enorme Schnelligkeit bei numerischen 

Rechnungen – bedingt durch NAG (Numerical Algorithms Group) 

– lassen kaum Wünsche aufkommen. Wenn unbedingt notwendig, können mit 

Maple entwickelte Programme einfach in Fortran, C und Java abgebildet 

werden. Hinzu kommt, dass ausgehend von Maple auch Matlab und Excel 

bemüht werden können. 

Trotz der großen Vorteile von Maple – es wird kein fehlerfreies CAS geben. 

Daher ist wesentlich, die Ergebnisse kritisch zu betrachten. Andererseits ist 

Maple so weit „ausgereift“, dass Fehler eher Mangelware sind. Damit sind 

wir beim letzten wesentlichen Aspekt: Maple liefert uns keine Diskussion 

der Ergebnisse. Mittels der Animationen beschaffen wir uns aber das Gefühl 

für die Funktion des Systems und die Einflüsse der Parameter – das Gefühl 

mitteilen, die Diskussion der Ergebnisse müssen wir realisieren. 

Danken möchte ich Scientific Computers, Aachen für das Überlassen einer 

Maple 10 Version, MegaTech, Berlin für das Überlassen einer MegaCad

6 Vorwort 

Lizenz, meiner lieben Frau Marie für die Mühe, die sie mit mir hatte und 

hat. 

Bleibt nur noch zu bemerken – was für alle Programme gilt: Da Programme 

in der Regel nicht frei sind von Fehlern, wird auch keine Haftung für das 

Arbeiten mit diesen übernommen. Fehler in diesem eBuch bitte ich mir zu 

melden unter esirrenberg@aol.com. 

Hüffelsheim, im Oktober 2006 E. Sirrenberg

Anleitung zum Gebrauch 

Verwendung der classical Version 

Die in dem Maple-eBook eingebundenen worksheets sind entsprechend der 

Möglichkeiten, die Maple bietet – die Maple 10 enthält, die eingesehen werden 

können –, bewusst nicht „professionell“ gestaltet – der problemorientierten 

Anschauung ist der Vorzug gegeben. Das Ziel dieser Kinematik ist nicht 

die elegante Programmierung, sondern die Bearbeitung praxisnaher Aufgaben 

mittels CAS Maple. Die Darstellung ist mittels Maple 10.02 classical 

erstellt, jedoch sind die worksheets mit einfach zu behebenden Ausnahmen 

auch in den Versionen 6, 7, 8 und 9 verwendbar. 

Der Grund für die Verwendung der Version classical liegt darin, dass in der 

Java Version das Einbinden von mit Cad erstellten Technischen Zeichnungen 

und Skizzen nur mühevoll möglich ist. Dieses ist aber für die ingenieurwissenschaftliche 

Ausbildung und Anwendung grundlegend. In der Windows 

orientierten classical Version ist dieses mittels Ole sehr einfach. 

Aktivierung von Unterprogrammen 

Dieses ist ein Lehr- und Arbeitsbuch, in dem als Hilfsmittel CAS Maple 

bemüht wird. Maple ist ein mächtiges System und bietet sehr viele Hilfen 

an. Trotzdem kommen wir nicht umhin, auch Programme zu entwickeln, die 

unseren unmittelbaren Belangen genügen. Auch hier hilft uns Maple, diese 

Programme zu erstellen. Bevor wir mit dem eigentlichen Thema beginnen, 

sind zunächst Programme aufgelistet, auf welche innerhalb des Buches stets 

zurückgegriffen wird. Diese Programme werden sichtbar durch Anklicken der 

+Symbole. Zeilenweise werden diese Programme aktiviert, wodurch mittels

8 Anleitung zum Gebrauch 

save Unterprogramme (m-Dateien) in die Maple-lybrary geschrieben werden. 

Daher müssen die folgenden 7 Programme nur einmal ausgeführt werden. 

adtan Mittels Additionstheorem werden sin- und cos-Terme in tan- 

Terme abgebildet 

ketreg Kettenregel der Differentiation 

lager Symbolische Darstellung von Los- und Fest-Lagern sowie Einspannungen 

in 2D-Zeichnungen 

ortbas Aktivieren von Orthonormierten Basen, Grundbasis und Rotationsmatrix 

ohne Aktivieren der Vektoralgebra 

vekalg Aktivieren von symbolischen Operationen der Vektoralgebra 

vekop Aktivieren weiterer spezieller Operationen zur Vektoralgebra 

viergelgetr Übertragungsverhalten des Viergelenkgetriebes 

Diese m-Dateien können wir nicht verändern, wollen wir dieses, so muss das 

zugehörige Programm neu geschrieben und gespeichert werden. Allerdings 

können wir mittels print oder eval die m-Dateien einsehen. Diese m-Dateien 

können wir nun in jedem worksheet mittels read aktivieren. Nach der Aktivierung 

dieser Programme sollte der Lernende entsprechend den dort gelisteten 

Beispielen „spielen“, selber Beispiele ausführen. 

Gleiches gilt bezüglich des worksheets animation_einführung. DadieErstellung 

bewegter Bilder – Animationen bzw. Simulationen – wesentliche Bedeutung 

hat, zeigt dieses worksheet an einfachen Beispielen die Erstellung 

derartiger „Filme“. 

animation_einführung Erzeugung bewegter Bilder – grundlegende Beispiele 

Bemerkungen zur Darstellung 

Üblich ist in der Literatur die Darstellung von Vektoren mittels Pfeil- oder 

Fettdruck-Schreibweise. Dieses kann auch mit Maple realisiert werden – allerdings 

mit erheblichem Aufwand, der meines Erachtens nicht gerechtfertigt 

ist. Der Bearbeiter eines Projektes weiß genau über die Struktur seiner Größen 

Bescheid – was sind skalare, was vektorielle Größen, was Matrizen, was 

Gleichungen usw. Hinzu kommt, dass Maple’s Fehlermeldungen vorzüglich 

sind, auf die Inkompatibilität von Größen hinweisen.

1 Methodik 

ingenieurwissenschaftlichen 

Arbeitens 

Im Bereich der Natur- und Ingenieurwissenschaften stellt sich vordergründig 

die Aufgabe: Beobachtung und Analyse der realen Umgebung mit dem 

Ziel, deren Verhalten verstehen, gegebenenfalls beeinflussen zu können. Diese 

Umgebung ist aus einer Mannigfaltigkeit sich beeinflussender Elemente 

aufgebaut, letztlich den Elementarteilchen. Wir bezeichnen daher als System 

fortan ein derart aufgebautes Ganzes, unsere Umgebung somit als Reales System. 

Beispiele solcher Systeme: Kraftfahrzeuge, Blutkreislauf, Werkzeugmaschinen, 

Sonnensysteme, Volkswirtschaften, Parlamente, Familien usw. 

Reale Systeme zu beschreiben ist i. Allg. unmöglich bzw. äußerst komplex. 

Unser Ziel kann daher nur sein, ein mehr oder weniger stark vereinfachtes 

Ersatzsystem des Realen Systems – ein Modell – zu entwickeln. Die Beschreibung 

sollte derart sein, dass einerseits das Modell mit der Beobachtung des 

Realen Systems möglichst gut übereinstimmt, andererseits die Beschreibung 

des Modells nicht zu aufwendig wird. Sofern bekannt, sollten unwesentliche 

gegenüber wesentlichen Einflüssen zunächst vernachlässigt werden, wobei aus 

der Erfahrung bzw. Übung folgt, was wesentlich bzw. unwesentlich – vernachlässigbar 

– zu handhaben ist. Wichtig ist, das stets die Vernachlässigungen 

vereinbart sind, was zur sauberen Modellbildung führt, auch die Anwendbarkeit 

der aus diesem Modell folgenden Ergebnisse zeigt. 

Als Modell verstehen wir nun ein mehr oder weniger idealisiertes Abbild der 

Wirklichkeit, bezüglich dessen wir bestrebt sind, mittels formaler Sprachen – 

z. B. Mathematik – Ergebnisse zu entwickeln, die uns erlauben, Rückschlüsse 

auf das Reale System zu formulieren. Damit sind wir dann u. U. in der Lage, 

Reale Systeme zu verstehen bzw. diese zu beeinflussen. 

Um Modelle mittels formaler Sprachen zu formulieren, benötigen wir Grundbegriffe. 

Diese sind eine Folge der Abstraktion unserer Erfahrung, z. B. Kör-

10 Methodik ingenieurwissenschaftlichen Arbeitens 

per, Masse, Zeit usw. Mittels formaler Sprache, deren Regeln eine Aussagelogik 

darstellen, ist es möglich, die Grundbegriffe mit unserer Erfahrung zu 

verknüpfen. Wir sprechen von grundlegenden Aussagen – Axiomen –, welche 

dadurch gekennzeichnet sind, dass die Grundbegriffe so verknüpft sind, 

dass eine Reduktion auf elementarere Aussagen nach unserem momentanen 

Erfahrungsbestand nicht möglich ist. Axiome sind somit nicht theoretisch 

zu begründen, sind als sinnvolle Definition unserer Erfahrung zu betrachten, 

können bestenfalls durch Experimente bestätigt werden. 

Aufbauend auf den derart definierten Axiomen erfolgt mittels der Logiksysteme 

die Formulierung weiterführender Aussagen. Dieses Vorgehen ist typisch 

für sämtliche Fachgebiete, z. B. Elektrotechnik, Betriebswirtschaft, Biologie 

usw. 

Fassen wir zusammen: Axiome und das bemühte Logiksystem sind nur dadurch 

gerechtfertigt, dass die damit erhaltenen Aussagen ein die Realität befriedigendes 

Abbild liefern. Einzusehen ist unmittelbar, dass das Logiksystem 

nicht eindeutig ist, d. h. mehrere derartige Systeme zulässig sind zur Beschreibung 

eines Sachverhaltes. Mittels unterschiedlicher Vorgehensweise sind 

gleichermaßen befriedigende Ergebnisse realisierbar. 

Als formale Sprache bemühen wir in der Natur- und Ingenieurwissenschaft 

die Mathematik . Das hat zur Folge, dass auch das Logiksystem stark mathematisch 

ausgerichtet ist, somit die Methodik des ingenieurwissenschaftlichen 

Arbeitens ein großes Maß an mathematischer Routine voraussetzt. 

Mittels dem Logiksystem und der Mathematik sind wir in der Lage, das idealisierte 

System – Modell – zu beschreiben. Dieses führt zum Mathematischen 

Modell – auch analytisches Modell genannt. Da das Logiksystem nicht eindeutig 

ist, kann für ein Modell eine Vielzahl Mathematischer Modelle formuliert 

werden. Sämtliche sind jedoch in der Lage, das Systemverhalten zu approximieren. 

Was wollen wir unter Systemverhalten verstehen? Um fachübergreifend eine 

Antwort zu geben, sei vereinbart: Da i. Allg. die Beschreibung des Realen 

Systems unmöglich ist, wollen wir das idealisierte System – Modell – unserer 

Systembetrachtung zugrunde legen, dieses als System definieren. Unter Systemverhalten 

– exakter Systemübertragungsverhalten – sei verstanden, wie 

ein System bezüglich äußerer Einwirkungen reagiert. Die Größen, welche dem 

System von außen eingeprägt sind, definieren wir als Eingangsgrößen. Deren 

Auswirkungen nehmen wir wahr am Systemausgang, wir bezeichnen diese

Methodik ingenieurwissenschaftlichen Arbeitens 11 

Auswirkungen daher als Ausgangsgrößen. Welche Größen als Ein- bzw. Ausgangsgrößen 

verwendet werden, ist abhängig von der Verwendung bzw. Art 

der Analyse des Systems. In der Regel sind Ein- und Ausgangsgrößen messbar 

– physikalisch. Entsprechend DIN 19229 definieren wir als System: 

u 

u 1 

2 

un 

a 

v v 1 m 

u 

Abbildung 1.1: System 

D1 Ein System ist das Modell eines Realen Systems mit einer Zahl n von Variablen 

als unabhängige Eingangs-, einer Zahl m von Variablen als abhängige 

Ausgangsgrößen. 

Die Symbolik ist entsprechend Abbildung 1.1a bzw. in abstrakter Form entsprechend 

Abbildung 1.1b als Blockschaltbild bezeichnet. Systeme mit nur 

einer Ein- und Ausgangsgröße sind als Einfachsysteme definiert, ansonsten 

spricht man von Mehrfachsystemen. Als Vektoren der Ein- und Ausgangsgrößen 

sind definiert 

u T =(u1, u2, ....., un) und v T =(v1, v2, ....., vm) 

Mit dieser Vereinbarung schreiben wir das Systemübertragungsverhalten 

v =Φ(u) 

worin mit Φ der Abbildungsoperator definiert ist. Dieser ist abhängig vom 

inneren Aufbau des Systems, d. h. von der Vernetzung der Teilsysteme und 

den Systemparametern, z. B. Werkstoff, Geometrie usw., bildet die Ein- auf 

die Ausgangsgrößen ab. Die formulierte Beziehung stellt eine Relation dar. 

Nach der Formulierung des Mathematischen Modells und dessen Lösung bezüglich 

der Ausgangsgrößen ist der wesentliche Schritt einer ingenieurwissenschaftlichen 

Analyse eines Systems erfolgt. Wir bezeichnen diesen Schritt als 

analytisch. 

Als Folge der Voraussetzungen erhalten wir ein Modell, welches mit dem Realen 

System nicht übereinstimmt. Das zugehörige Mathematische Modell ist 

b 

v


das Bemühen, das System formal zu beschreiben. Um Ergebnisse in der zuvor 

formulierten Form zu realisieren, ist die Lösung des Mathematischen Modells 

notwendig. Dabei können erhebliche Schwierigkeiten anfallen derart, dass eine 

exakte Lösung nicht oder nur mit sehr großem Aufwand möglich ist. Dieses hat 

heute zur Folge, dass i. Allg. für praxisnahe Probleme die Näherungslösung 

bemüht wird, in der Regel eine mittels EDV numerisch ermittelte Lösung. 

Diese Lösung wird die Realität nur näherungsweise beschreiben – wir sprechen 

von einer Approximation. Im Allgemeinen ist dieses in der Praxis ausreichend, 

wenn die Näherung keine unzulässigen Abweichungen zur Realität 

aufweist. Diese Frage kann jedoch nur mittels Versuch beantwortet werden, 

was voraussetzt, dass dieser durchführbar ist. In der modernen Technik ist 

das keine Selbstverständlichkeit, denken wir z. B. an die Gentechnik, Tierversuche 

usw. Auch unzulässige Kosten können ein Grund sein. Ein wesentlicher 

Nachteil der numerischen Lösung – diese lässt nur beschränkt eine Systhese 

des Systems zu, d. h. auf den Einfluss von Parameter-, System-Änderungen 

können kaum Schlüsse gezogen werden. Allerdings ist auch hier der Einfluss 

der EDV wesentlich. Als Folge der Leistungsfähigkeit moderner EDV-Anlagen 

sind Parameter- und System-Änderungen i. Allg. ohne großen Aufwand möglich. 

Oft ist ein exaktes Ergebnis nicht notwendig. Beantwortet werden muss, 

ob das System die Anforderungen erfüllt. Dazu ist i. Allg. eine Approximation 

ausreichend. Mittels EDV wird diese Frage oft beantwortet durch Simulation 

– Animation des Systems. Diese fördert wesentlich die Anschauung, die 

Korrektheit der Lösung und erlaubt in einfacher Weise Parameterstudien, 

ist eine wesentliche Hilfe bezüglich der Synthese. Die Animation hat sich als 

mächtiges Werkzeug praxisnaher Ingenieurtätigkeit herausgestellt. 

Das Versuchsergebnis verglichen mit der analytischen Näherung bzw. der Simulation 

gibt Auskunft über die Brauchbarkeit der Approximation, damit 

auch der Brauchbarkeit des Modells und der Realisierung des Systems. Der 

Versuch dient somit auch der Frage nach der Brauchbarkeit eines Modells 

bzw. dessen Animation. Ist dieser Schritt positiv beantwortet, so kann die 

Brauchbarkeit des Modells und das daraus zu folgernde Systemübertragungsverhalten 

weiterführende Aufgaben – z. B. Konstruktion, Optimierung usw. – 

bedingen. 

Ergibt sich zwischen Versuchsergebnis und Systemübertragungsverhalten eine 

unzulässige Abweichung, so müssen die Brauchbarkeit des Modells und evtl. 

die Numerik in Frage gestellt werden. Die Voraussetzungen müssen bezüglich 

des Ziels geprüft werden, das Modell dem Realen System besser anzupassen. 

Auch sollte die Numerik dem System entsprechend gewählt werden.


Versuch 

Vergleich 

Reales System 

Voraussetzungen 

Modell 

Mathematisches Modell 

Lösung Mathematisches Modell 

Übereinstimmung 

ja 

nein 

Voraussetzung prüfen 

Ausführung 

Abbildung 1.2: Analyse und Synthese 

Das Flussdiagramm in Abbildung 1.2 zeigt die wesentlichen Schritte des zuvor 

Erläuterten. Daraus ist zu erkennen, dieses Vorgehen ist nicht nur als eine 

Verkettung einzelner Teilprozesse zu betrachten, auch parallel und rückgekoppelte 

Abläufe erfolgen. Dieser Prozess – sowohl Analyse als auch Synthese – 

weist bedingt durch die Rückkopplung iterativen Charakter auf. 

Der zuvor phänomenologisch skizzierte Prozess der ingenieurwissenschaftlichen 

Analyse ist nicht einfach zu erlernen, setzt beachtlichen Arbeits- und 

Zeitaufwand voraus. Die Formulierung der Voraussetzungen ist eine erste 

Schwierigkeit, die fachbezogen im Rahmen des Studiums nur eingeschränkt zu 

lernen ist. Allerdings sollte gerade darauf in sämtlichen Disziplinen besonderer 

Wert gelegt werden. Aus dem Verständnis des Problems sollten stets die


Voraussetzungen präzise formuliert werden. Jede ingenieurwissenschaftliche 

Analyse ist nur gültig entsprechend der zugrunde liegenden Voraussetzungen. 

Eine weitere Schwierigkeit ist die Entwicklung des Mathematischen Modells. 

Mittels der Axiome und dem Logiksystem müssen abstrakte mathematische 

Formulierungen ausgeführt werden. Dieses setzt einerseits tiefes Verständnis 

der Axiome und des Logiksystems, andererseits beachtliche Übung mit der 

Mathematik voraus. Zu folgern ist daraus, dass das Erlernen der Grundlagen 

– besonders fachübergreifend – und der Mathematik für das ingenieurwissenschaftliche 

Arbeiten grundlegend ist. Als Grundlagen wollen wir vornehmlich 

die fachspezifischen Axiome und das Logiksystem verstehen. 

Erfahrungsgemäß tritt noch die wesentliche Schwierigkeit der Lösung des Mathematischen 

Modells auf. In der Vergangenheit wurden die exakt analytischen 

Methoden neben grafischen Verfahren bemüht. Letztere sind nicht mehr 

relevant. Die exakten analytischen Methoden sind weiterhin wertvoll für das 

Verständnis der Mathematik, nicht jedoch die unmittelbare Anwendung. Dort 

werden leistungsstarke numerische Methoden bemüht. Dieses hat weitreichende 

Konsequenzen für die ingenieurwissenschafliche Ausbildung. Der Einsatz 

von Hochleistungsrechnern verlang einerseits deren Beherrschung – sowohl der 

Soft-, als auch der Hardware –, andererseits das tiefe Verständnis der theoretischen 

Zusammenhänge der zu analysierenden Probleme. Der Umgang mit 

dem Rechner verlangt die analytische Lösung zumindest eines Elementarproblems, 

um die Richtigkeit des Rechnerausdruckes zu prüfen. Der Einsatz der 

Rechner ist mehr und mehr dominant. Das bedeutet „Zeitgewinn“, Entlastung 

von stumpfsinnigen Umformungen und Routinen, auch neue Möglichkeiten. 

Allerdings wird es nie fehlerfreie Rechner und Programme geben. Auch liefert 

der Einsatz modernster Werkzeuge – CAS, Finite Elemente (FEM), Control 

Volume Elements (CVE) usw. – Rechnerausdrucke mit komplexen unübersichtlichen 

analytischen Ausdrücken und Daten. Diese müssen interpretiert 

werden. Dieses ist nur möglich, wenn der Anwender kritisch ist, über tiefes 

Verständnis der theoretischen Grundlagen verfügt. Allerdings zeigt sich, dass 

das Verständnis dieser Grundlagen mittels CAS wesentlich einfacher erreicht 

werden kann, mittels der Animationen auch zu einem „Fühlen“ der Grundlagen 

führt. Besonders deutlich zeigt die rasante Rechnerentwicklung die Notwendigkeit 

einer neuen, flexiblen Arbeitsweise – auch was das Studium betrifft. 

Bisher waren der Frontalunterricht und der „Einzelkämpfer“ (Klausur) 

gefragt. Diese Formen sind antiquiert. Heute ist Seminarunterricht, Gruppenund 

Projektarbeit gefragt – in der Industrie der Alltag !


Zusammenfassung Die Methodik des ingenieurwissenschaftlichen Arbeitens 

verlangt tiefes Verständnis der grundlegenden theoretischen Zusammenhänge, 

Abstraktionsvermögen, die formale Sprache der Mathematik, Denken in 

Logiksystemen, Umgang mit modernen Werkzeugen, z. B. Literatur, Rechner, 

CAS usw., um nur einige zu nennen. Dieses zu lernen muss Aufgabe der Ingenieurausbildung 

sein. Der Lernende sollte bestrebt sein, diese Methodik in 

sämtlichen Disziplinen zu bemühen. Entsprechend dem Flussdiagramm sind 

die wesentlichen Schritte gelistet: 

1. Möglichst präzise Formulierung des Problems sowie Abgrenzung 

2. Idealiserung des Problems durch Beschränkung auf das Wesentliche – 

Formulierung der Voraussetzungen 

3. Formulierung des Mathematischen Modells mittels Axiomen und Logiksystem 

– CAS 

4. Analytische oder numerische Lösung des Mathematischen Modells – 

CAS (Animation) 

5. Vergleich der Lösung mit Versuch und Diskussion 

6. Abweichungen zulässig – Ende, sonst Modellverfeinerung 

Das Versuchswesen setzt i. Allg. herrvorragende theoretische und praktische 

Grundlagen und Messtechnik voraus. Letztere wird in der Regel in späteren 

Abschnitten der Ausbildung erlernt. Wir beschränken uns daher auf die 

Punkte 1 bis 4 sowie die Diskussion der Ergebnisse, was auch eine Fehlerkontrolle 

einschließt – z. B. Einheitenkontrolle, Reduktion auf bekannte Spezialfälle 

usw. Ingenieurwissenschaftliche Arbeitsmethode schließt ein, dass jede 

Lösung anschaulich in sämtlichen Einzelheiten interpretiert wird. Die Frage – 

kann das möglich sein? – führt einerseits zur Fehleranalyse, andererseits wird 

das Gefühl für das Systemübertragungsverhalten gefördert, beides grundlegend 

für Ingenieure.

2 Technische Mechanik 

2.1 Aufgabe und Abgrenzung 

Mechanik ist der grundlegendste und älteste Zweig der Physik und dient dem 

Erkennen, Beschreiben und Beeinflussen der uns umgebenden Realität. Zwei 

grundlegende, gekoppelte Betrachtungsweisen sind in den Naturwissenschaften 

üblich: 

Induktive Betrachtungsweise mit dem Ziel, aus der Beobachtung der Natur 

bzw. von Experimenten mittels definierter Begriffe und Ordnen der 

Beobachtungen zur Erkenntnis grundsätzlicher Gesetzmäßigkeiten zu 

gelangen – Formulierung der Axiome und Logiksysteme. 

Deduktive Betrachtungsweise baut auf der Induktiven Betrachtung auf, sie 

dient dem Ziel, Voraussagen zu formulieren bezüglich des Verhaltens 

Realer Systeme. 

Die erste Betrachtungsweise dient der Grundlagenforschung, die zweite der 

Anwendung, wobei beide allgemein oder spezifisch bemüht werden. Die Ingenieurwissenschaft 

bemüht mehr die Deduktive Betrachtungsweise, eine Folge 

des Aufgabenbereichs: Entwicklung und Realisierung von Systemen, die in der 

Natur nicht vorkommen – z. B. Werkzeugmaschinen, Flugzeuge, Land- und 

Volkswirtschaften, künstliche medizinische Systeme usw. –, neuerdings auch 

das Bemühen, aus der Natur zu lernen (Bionik). 

Nun sind wir in der Lage, Technische Mechanik zu definieren: Anwendung 

der Grundgesetze der Mechanik auf die Belange der Ingenieurwissenschaften. 

Nach wie vor ist die Technische Mechanik eine der wichtigsten Disziplinen 

in der Ausbildung von Ingenieuren. Stellen wir zunächst die Frage nach den 

konkreten Aufgaben der Technischen Mechanik. Zur Antwort verwenden wir 

Begriffe, die uns aus dem Alltag vertraut sind, ohne diese präzise zu definieren. 

Auf ein System wirken in der Regel äußere Beanspruchungen – als solche 

sind wir z. B. vertraut mit Kräften, Momenten, Temperaturen – als Eingangsgrößen. 

Die physikalischen Ursachen dieser Beanspruchungen sind zum Teil

18 2 Technische Mechanik 

noch nicht bekannt, lediglich ihre Wirkung auf das System. Die Belastungen 

führen zur Veränderung des Systems in der Form von Ortsveränderungen, 

inneren Beanspruchungen usw. Diese Größen definieren wir als Ausgangsgrößen. 

Sind die Ausgangsgrößen derart, dass das System zerstört wird, so kann 

das System die ihm zugedachte Rolle nicht ausführen. 

Das Flussdiagramm in Abbildung 2.1 erläutert den Prozess. 

Belastung 

( Kräfte , Momente , Temperatur ) 

Ortsveränderungen 

Beanspruchungen im Innern 

Vergleich von innerer Beanspruchung 

und zulässiger Werkstoffbeanspruchung 

Werkstoff hält Werkstoff hält nicht 

Ortsveränderung zulässig 

Ortsveränderung unzulässig 

System kann Aufgabe 

erfüllen nicht erfüllen 

Abbildung 2.1: System unter Belastung 

Der untere Teil des Diagramms ist Inhalt der Werkstofftechnik – eine heute 

besonders wichtige komplexe Disziplin. 

Nach der Aufgabe, die wir der Technischen Mechanik zugewiesen haben, wollen 

wir diese abgrenzen bezüglich des breiten Rahmens der Physik. Das ist 

nicht unbedingt notwendig, vereinfacht jedoch das Verständnis und die Anwendung 

wesentlich. Allerdings können dann nicht sämtliche in der modernen 

Technik anfallenden Probleme beschrieben werden, z. B. Elektrotechnik, 

Raumfahrt usw. Die Abgrenzung erfolgt derart, dass wir die Mechanik bezüglich 

der weiteren physikalischen Disziplinen „entkoppeln“. So sei z. B. zunächst 

vereinbart, keine Beanspruchung infolge Temperatur zu berücksichtigen. Das 

hat zur Folge, dass die Größen der Thermodynamik zunächst nicht anfallen, 

eine Beschränkung, die wir später nicht aufrecht erhalten können. Die elementarste 

Abgrenzung erreichen wir durch Beschränkung auf die Klassische

2.1 Aufgabe und Abgrenzung 19 

Mechanik. Dazu vereinbaren wir: 

V1 Sämtliche Ortsveränderungen verlaufen mit einer Geschwindigkeit v, die 

im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c sehr klein ist. Als Anhaltswert kann 

v/c = O(1/10) angenommen werden. 

V2 Sämtliche Ortsveränderungen sind unabhängig von thermischen Vorgängen. 

Die erste Voraussetzung grenzt die Relativitätstheorie, Quantenmechanik, 

Atomphysik, die zweite die Thermodynamik aus. Ähnlich wollen wir vereinbaren, 

die weiteren Disziplinen der Physik, z. B. Optik, Akustik, Elektrodynamik 

usw. zunächst auszugrenzen. Mit zunehmendem Kenntnisstand in der Ausbildung 

muss die Ausgrenzung eingeschränkt werden, um allgemeine Probleme 

zu beschreiben – Mechatronik. 

Durch die Abgrenzung fallen von der Vielzahl der physikalischen Größen in der 

Technischen Mechanik nur wenige an. Bei Beschränkung auf das physikalische 

Maßsystem die Basisgrößen Länge, Zeit, Masse mit den Basiseinheiten Meter, 

Sekunde, Kilogramm und den Dimensionen dim(Länge) = L, dim(Zeit) = T 

und dim(Masse) = M. Durch die Ausgrenzung der Thermodynamik entfällt 

die Basiseinheit Temperatur, der Elektrotechnik die Basiseinheit Stromstärke 

usw. 

Aus den Basiseinheiten werden je nach Bedarf weitere Einheiten entwickelt – 

wir sprechen von abgeleiteten Einheiten. Dazu gehört z. B. die Kraft mit der 

Einheit N (Newton) und der Dimension dim(F) = ML/T 2 , die Leistung mit der 

Einheit W (Watt) und der Dimension dim(Leistung) = ML2/T 

3 .Entsprechend 

sind weitere Einheiten vereinbart. Die Basisgrößen lassen sich stets in der 

Form schreiben 

Basisgröße = Zahl Basiseinheit 

Derartige Größen sind als skalar definiert. Bezüglich abgeleiteter Größen können 

auch die Richtung und der Richtungssinn bedeutsam sein; derartige Größen 

definieren wir als Vektoren bzw. Tensoren, wobei wir letztere zunächst 

nicht bemühen.


2.2 Raum und Bezugssystem 

Bisher hatten wir oft Begriffe ohne exakte Definition verwendet, z. B. Körper. 

Wir gehen dabei von der Erfahrung aus, uns einen Körper als verformbaren 

Gegenstand, z. B. Stein, Gummi, Fluid usw. vorzustellen, der Träger von Eigenschaften 

ist, z. B. Farbe, Gewicht, Bewegung usw. Im nächsten Abschnitt 

werden wir die unserer Erfahrung entnommenen Begriffe präzisieren, soweit 

dieses für die Technische Mechanik von Belang ist. Bleiben wir zunächst bei 

der Anschauung. Ausgehend von der Basisgröße Länge können wir die abgeleitete 

Größe des dreidimensionalen Raumes mit der Dimension dim(R 3 )=L 3 

entwickeln. Erfahrungsgemäß nehmen Körper einen Raum ein, jedoch können 

auch in einem definierten Raum physikalische Vorgänge ablaufen, z. B. sich 

Elemente bewegen, sich die Farben ändern – allgemein Systeme Änderungen 

erfahren. Um diese Vorgänge berechenbar, auch messbar zu machen, müssen 

wir wesentliche Eigenschaften des Raumes vereinbaren. Wir definieren zunächst: 

D1 Unter dem Raum verstehen wir entsprechend der Anschauung eine dreidimensionale 

Ausdehnung mit Länge, Breite und Höhe. Als Folge der Abgrenzung 

der Technischen Mechanik definieren wir weiter: 

D2 Der Raum ist unabhängig von momentan ablaufenden Vorgängen, vom 

Beobachter und dessen momentanen Standpunkt. 

D3 Es existieren keine ausgezeichneten Bezugselemente und Richtungen im 

Raum – Isotropie des Raumes. 

Als Folge dieser Vereinbarung sind sämtliche Punkte (Elemente) – deren Mannigfaltigkeit 

bildet den Raum – gleichwertig. Wählen wir ein Element des 

Raumes als Ursprung O, so können wir bezüglich O jeden Punkt im Raum 

durch Vorgabe von 3 reellen Zahlen eindeutig festlegen. Das bedeutet, der 

Raum ist eindeutig messbar – jedem Zahlentripel entspricht eindeutig ein 

Raumpunkt. Entsprechend der Messung der Zahlentripel bezüglich O erhalten 

wir unterschiedliche Maßsysteme. Diese können wir in unterschiedlicher 

Weise vereinbaren, nennen diese Koordinatensysteme. Am bekanntesten ist 

das Kartesische Koordinatensystem mit 3 zueinander senkrechten – orthogonalen 

– Koordinatenachsen. Oft werden wir auch die orthogonalen Polar-, 

Zylinder- und Kugel-Koordinaten bemühen. Auch nicht orthogonale Systeme 

sind gebräuchlich, jedoch ist der mathematische Aufwand wesentlich. Wir 

beschränken uns auf orthogonale Koordinatensysteme. In der Technischen 

Mechanik bemühen wir oft orthogonale Vektorräume, d h. wir definieren im 

Ursprung O eine orthonormierte Basis – ein Tripel von 3 Einheitsvektoren. 

Einen derartigen Raum bezeichnen wir als Euklidisch und die Basisvektoren

2.3 Zeit 21 

weisen die folgend entwickelten Eigenschaften auf – das Skalarprodukt zweier 

Vektoren erfolgt mittels Operator &., das Vektorprodukt mittels &x 

Maple Beispiele 

1 Eigenschaften des Skalar- und Vektorproduktes 

2 Ermittlung des Kreisumfang in Kartesischen und Polar-Koordinaten. 

Das letzte Beispiel zeigt, dass durch die Wahl des Koordinatensystems der 

Aufwand wesentlich beeinflusst wird. Oft führt die Wahl eines Koordinatensystems 

zu keiner, bei Wahl eines anderen Systems jedoch zu einer Lösung. Unser 

Ziel muss daher sein, das Koordinatensystem dem zu behandelnden Problem 

anzupassen. Leider gibt es diesbezüglich nur „Faustregeln“ – zylinderbzw. 

kugelförmige Geometrie ist i. Allg. mittels Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten 

besser zu behandeln. Wir werden diesem Problem später oft begegnen. 

Der beste Lehrer ist auch hier die Übung. 

Koordinatensysteme, die sich unserer Anschauung entziehen, sind auch weit 

verbreitet zur Beschreibung Realer Systeme, z. B. das Gauß’sche Koordinatensystem 

zur Darstellung Komplexer Funktionen. Dieses wird in der Elektrotechnik 

dominant bemüht. Auch die moderne Mechatronik greift auf dieses 

abstrakte System zurück, gleiches gilt für die Technische Mechanik. 

Koordinatensysteme können raumfest – ruhend – und körperfest, d.h.mitbewegt 

mit dem Körper, aufgespannt werden. Beide Darstellungen weisen 

Vorteile auf, haben in der Technischen Mechanik große Bedeutung. Dieses 

zeigt sich bei der Behandlung konkreter Systeme. 

2.3 Zeit 

Als weitere Basiseinheit hatten wir die Zeit erwähnt, ohne präzise zu definieren, 

was wir darunter verstehen wollen. Diesem Ziel dient die Definition 

D1 Als Zeit definieren wir die skalare Koordinate t, deren messbare Einheit 

(Sekunde) mit einem periodischen Vorgang verglichen und festgesetzt 

wird. Läuft eine Ortsveränderung innerhalb der Gesamtheit der Zeitelemente 

– Zeitraum T – ab, so definieren wir die Zeit durch die Menge 

t ∈ T | t>0 und T ∈ R 1


wobei der Ursprung der momentanen Zeitkoordinate beliebig festsetzbar ist. 

Daraus folgt, dass keine bevorzugten Zeitelemente existieren und die Zeitkoordinate 

monoton wachsend ist. Somit weist die Zeitkoordinate ähnliche 

Eigenschaften auf wie die Ortskoordinaten. Daher vereinbaren wir die Voraussetzung 

V1 Raum und Zeit sind als indifferenter Rahmen sämtlicher physikalischer Eigenschaften 

zu betrachten, d. h. diese sind unabhängig vom jeweils bemühten 

räumlichen und zeitlichen Bezugssystem – Koodinaten –, auch unabhängig 

vom jeweiligen Beobachter – Indifferenzprinzip von Zeit und Raum. 

Wir folgern daraus: Laufen zwei Ereignisse gleichzeitig an unterschiedlichen 

Orten ab, so sind diese Ereignisse unabhängig vom jeweiligen Beobachter eindeutig 

feststellbar, d. h. messbar. Letztlich vereinbaren wir noch 

V2 Raum- und Zeitkoordinaten seien abschnittsweise stetig und differenzierbar, 

d. h. xj und t ∈ C 1 ∀j =1..3. 

Mit der Definition der Zeitkoordinate erfährt auch das Koordinatensystem eine 

ergänzende Betrachtung. Es liege die Aufgabe vor, in einem Koordinatensystem 

eine physikalische Eigenschaft orts- und zeitabhängig zu beschreiben. 

Wir bezeichnen diesen Vorgang als Beobachtung dieser Eigenschaft, auch deren 

Messung, unabhängig davon, wie diese Messung vorgenommen wird. Wir 

benötigen somit einen Beobachter – Messgerät –, stellen uns zunächst vor, 

dass unsere Sinnesorgane dieses Messgerät verkörpern. Betrachten wir die Beobachtung 

an einem konkreten einfachen Beispiel, dem Schiefen Wurf eines 

kleinen Steines, der zu Beginn der Beobachtung – zeitlicher Ursprung t0 –am 

Ort y0 mit bekannten physikalisch-geometrischen Eigenschaften abgeworfen 

wird. Den Beobachter vereinbaren wir raumfest im Koordinatenursprung O – 

s. Abbildung 2.2. Will der Beobachter die zeitveränderliche Lage des Steines 

y P(t 1) 

y 

y 

0 P(t 

0 

) 

P(t 2) 

O 

x 

O 

x 

a : Lagrange'sche b : Euler'sche Betrachtungsweise 

Abbildung 2.2: Lagrange’sche und Euler’sche Betrachtungsweise 

P1 

P2

2.3 Zeit 23 

wahrnehmen, so blickt er zur Zeit t0 von O aus nach P(t0), zurZeitt1 hat 

der Stein die Lage P(t1) eingenommen, so dass der Blick von O nach P(t1) 

die Folge ist – Entsprechendes gilt bezüglich P(t2). Der Beobachter wendet 

seinen Blick entsprechend der Kurve, die der Stein durchläuft, verfolgt von 

seinem raumfesten Ort O die Bahn des Elementes P. Diese Betrachtungsweise 

setzt voraus, dass der Anfangszustand – als Anfangsbedingung formuliert 

y(t0) =y0 – des Elementes bekannt ist, wird in der Festkörpermechanik bevorzugt, 

ist als Betrachtungsweise von Lagrange benannt. Da der momentane 

Zeitursprung beliebig festsetzbar ist, wird oftmals t0 =0vereinbart. Wir können 

uns diese Betrachtungsweise auch derart vorstellen, dass der Beobachter 

körperfest mit dem Stein bewegt wird, jeweils die physikalische Eigenschaft 

wahrnimmt und zur Station O übermittelt. 

Stellen wir uns die konkrete Aufgabe: Die Temperaturverteilung innerhalb eines 

Raumes soll gemessen werden. Hier stehen wir vor dem Problem, dass die 

Temperatur – physikalische Eigenschaft – keines Raumelementes zu Beginn 

der Betrachtung bekannt ist. Selbst die Elemente des Raumes – z. B. Luft 

– nicht elementar messbar sind. Eine eindeutige Anfangsbedingung ist für 

das einzelne Element nicht formulierbar, somit kommt die Betrachtungsweise 

von Lagrange nicht in Betracht. Wir bemühen daher eine Betrachtungsweise, 

bei welcher der Raum entsprechend Abbildung 2.2b durch ein Netz von 

Linien x =konst,y=konstin ein Gitter unterteilt wird. In jedem Gitterschnittpunkt 

postieren wir einen Beobachter, der im Moment t, in dem sich 

ein Element an ihm vorbeibewegt, dessen Eigenschaften wahrnimmt und zum 

Ursprung O übermittelt. Im nächsten Moment wird die Eigenschaft von einem 

anderen Beobachter beschrieben, während der erste Beobachter ein neues 

an ihm vobeikommendes Element wahrnimmt. Diese Betrachtungsweise wird 

nach Euler benannt und ist geeignet zur Beschreibung von Fluiden – Flüssigkeiten 

und Gasen. 

Zusammenfassung: In der Lagrange’schen Betrachtungsweise verfolgt ein körperfester 

– mit dem Teilchen mitbewegter – Beobachter beginnend im Anfangszustand 

die Eigenschaft – Anfangsbedingung muss eindeutig definiert 

sein, in der Euler’schen Betrachtungsweise werden ∞ viele Beobachter raumfest 

angeordnet und nehmen die Eigenschaften der vorbeikommenden Teilchen 

wahr – Anfangsbedingung muss nicht definiert sein.


2.4 Körper und Masse 

Wir stellen uns vor, mittels einer Oberfläche A(V) im R 3 eine zusammenhängende 

Punktmenge derart abzugrenzen, dass als Gesamtheit der Raumpunkte 

zunächst ein Gebiet mit dem Volumen V entsteht. Weisen wir nun jedem 

Punkt dieses Gebietes Materie zu, so ist diese kontinuierlich innerhalb des 

Gebietes verteilt; aus dem Raumpunkt wird ein materielles Element, aus der 

Gesamtheit der materiellen Elemente der Körper. Ein Körper kann aus Teilkörpern 

aufgebaut sein, indem jedem Teilgebiet andere Materie zugewiesen 

wird. An den Grenzen der Teilkörper ist die Materie unstetig. Wir definieren: 

D1 Jedes kontinuierliche mit Materie belegte Gebiet – Volumen – ist als 

Körper bezeichnet, jedes Körperelement ist ein materielles Element. 

Aus der Kenntnis, dass jedes Volumenelement eindeutig identifizierbar ist 

durch Angabe von 3 Koordinaten folgt, dass auch jedes Körperelement eindeutig 

identifizierbar ist. Wir folgern: 

F1 Der einem Teilvolumen dV zugeordnete Teilkörper dK ist eindeutig identifizierbar 

– Identitätsprinzip für Volumen, Körper und Masse. 

Diese elementaren Zusammenhänge zeigt Abbildung 2.3. Mittels diesem Prinzip 

folgern wir weiter, dass ein materielles Element gleichzeitig nicht an unterschiedlichen 

Orten sein kann, oder anders formuliert, dass an einem Ort 

des Raumes gleichzeitig nicht mehrere materielle Elemente gegenwärtig sein 

können. 

O 

dm(dV) 

V 

m(V) 

A(V) 

Abbildung 2.3: Identitätsprinzip für Volumen, Körper und Masse 

Für die analytische Beschreibung von Körpersystemen ist wichtig, dass zwar

2.4 Körper und Masse 25 

jedem materiellen Element ein geometrisches Raumelement zugeordnet ist, 

nicht jedoch jeder geometrische Raumpunkt ein materielles Element bedeutet. 

Wir müssen daher in konkreten Problemen geometrische und materielle 

Punkte trennen. 

Um die Materiebelegung des Raumes zu präzisieren, vereinbaren wir eine 

skalare Größe, die uns zeigt, wie die Mannigfaltigkeit der Materialbelegung 

innerhalb des Körpers anfällt, die Materialdichte bzw. üblicher Dichte 

ρ(x, y, z, t) > 0 

Die Dichte ist veränderlich mit der Lage des materiellen Elementes und der 

Zeit. Die Ungleichung ist stets erfüllt, da in der klassischen Physik der Körper 

per Definition D1 Materie enthält. Weisen wir nun jedem Volumenelement dV 

Dichte zu, so folgt zunächst aus dem Identitätsprinzip das Produkt 

ρ(x, y, z) dV = dm 

welches wir als Masse des Volumenelementes bezeichnen. Setzen wir die Dichte 

stetig und differenzierbar voraus, so erhalten wir als Masse des Körpers vom 

Volumen V durch Integration über sämtliche Volumenelemente des Körpers 

� 

m = 

� 

dm = 

V(t) 

ρ(x, y, z, t) dV 

Wegen der Ungleichung ist die Masse eine positive reelle Zahl, beschreibt 

die materielle Eigenschaft des Körpers, d. h. vereinfacht die Menge der darin 

enthaltenen Materie. Als Folge des Identitätsprinzips ist jedem Teilkörper Ki 

die Teilmasse mi, i = 1..n zugeordnet, was zur weiteren Beziehung führt 

� 

m = 

V 

� 

ρ(x, y, z, t) dV = 

V1 

� 

ρ(x, y, z, t) dV + 

V2 

ρ(x, y, z, t) dV = m1+m2 

d. h. die Gesamtmasse eines Körpers ist die Summe der Teilmassen. Schreiben 

wirdieDichtenuninderForm 

ρ(x, y, z, t) = d 

dV 

m(V )


so ist die Dichte deutbar als die Änderung der Masse bezüglich des Volumens, 

weist somit die Dimension auf dim(ρ) = M/L 3 . Setzen wir voraus, dass die Masse 

eines Körpers bzw. eines Systems von Körpern keine Änderung während 

der Zeit erfährt – massenkonstante Systeme –, so können wir schreiben 

� 

m = 

V(t) 

ρ(x, y, z) dV = konst 

Zeitliche Differentiation dieser Bilanz führt zur Kontinuitätsgleichung –auch 

als Satz von der Erhaltung der Masse bezeichnet 

˙m = ∂ 

m =0 

∂t 

ein wesentlicher Erhaltungssatz der Mechanik, aus dem weitreichende Konsequenzen 

folgen. Wesentlich ist, dass dieser Satz auch für zeitveränderliches 

Volumen V(t) gilt, da das Produkt aus 2 zeitveränderlichen Größen konstant 

sein kann. Eine beachtliche Zahl von Problemen der Praxis führt auch unter 

stark vereinfachenden Voraussetzungen – sehr grobe Modellbildung – zu befriedigenden 

Lösungen, wobei i. Allg. der analytische Aufwand gering ist – ein 

beachtlicher Vorteil. Auch können derartige Analysen oft als Abschätzungen 

bemüht werden. 

t1 t 2 

Q 

K K 

P 

P 

Q 

Bahn von P 

Abbildung 2.4: Starrer Körper 

Eines dieser groben Modelle ist der Starre Körper, welchen wir in Anlehnung 

an Abbildung 2.4 definieren: 

D2 Der Starre Körper ist die idealisierte Abbildung des realen Körpers mit

2.5 Gliederung der Technischen Mechanik 27 

der Eigenschaft, dass für sämtliche Ortsveränderungen der Abstand der Körperelemente 

stets konstant bleibt. Mathematisch formuliert lautet diese Definition 

mit Blick auf Abbildung 2.4 

(P Q)=(P(t)Q(t)) = konst 

2.5 Gliederung der Technischen Mechanik 

Betrachten wir Abbildung 2.4, so erkennen wir die Ortsveränderung des Starren 

Körpers innerhalb des Zeitintervalles t1..t2 –wirsprechenvonStarrkörperbewegung. 

Erfolgt die Ortsveränderung im Widerspruch zu D2, so sprechen wir 

vom verformbaren Körper, die Ortsveränderung bezeichnen wir dann als allgemeine 

Bewegung. Abhängig von der Belastung und der Art der Bewegung ist 

die Gliederung der Technischen Mechanik in der Form eines Flussdiagramms 

– siehe Abbildung 2.5 – dargestellt: 

oh 

ne 

Mechanisches System 

Belastung mi 

t 

Kinematik Dynamik 

St 

at 

ik 

sp 

ez 

ie 

ll 

e 

Bewegung al 

lg 

em 

ei 

ne 

Ki 

ne 

ti 

k 

verformbar Kö rp 

er 

starr starr Kö 

rp 

er 

verformbar 

Elastostatik 

Plastostatik 

Hydrostatik 

Aerostatik 

usw. 

St er 

eo 

st 

at 

ik 

St 

er 

eo 

ki 

ne 

ti 

k 

Elastokinetik 

Plastokinetik 

Hydrokinetik 

Aerokinetik 

usw. 

Abbildung 2.5: Gliederung der Technischen Mechanik


Kinematik Nur die Bewegungsmöglichkeit von Systemen wird analysiert, ohne 

zu fragen, wie diese Bewegung zustande kommt. Die Ursache der Bewegung 

– die Belastungen – wird nicht betrachtet, so dass die Behandlung 

geometrischen Charakter aufweist. Die Körper werden als masselos 

betrachtet. 

Dynamik Untersuchung der allgemeinen Bewegung infolge Belastung – Zusammenhang 

zwischen Bewegungsursache und Bewegung wird formuliert. 

Statik Als Bewegungszustand werden nur die gleichförmige und geradlinige 

Geschwindigkeit sowie der Zustand der Ruhe zugelassen. 

Stereostatik Wie Statik, jedoch ist nur die Starrkörperbewegung zugelassen. 

Stereokinetik Wie Kinetik, jedoch ist nur die Starrkörperbewegung zugelassen. 

Elasto-, Plasto-Statik Statik spezieller elastischer, plastischer Körper und 

Werkstoffe. 

Elasto-, Plasto-Kinetik Kinetik spezieller elastischer, plastischer Körper und 

Werkstoffe. 

Hydro-Statik und -Dynamik Statik und Kinetik der Fluide – thermische Prozesse 

können oftmals vernachlässigt werden. 

Aero-Statik und -Dynamik Statik und Kinetik spezieller Fluide – Gase. Thermische 

Prozesse müssen berücksichtigt werden. 

Mit usw. sei im Flussdiagramm angedeutet, dass weitere wesentliche Bereiche, 

z. B. Tribologie, Rheologie, Magnetohydrodynamik usw. einzuordnen sind. 

Für eine einführende Betrachtung der Technischen Mechanik sind diese jedoch 

ohne Belang. Die skizzierte Gliederung haben wir entsprechend dem 

Flussdiagramm vorgenommen, dabei als weiteres Kriterium das Materialverhalten 

zugrunde gelegt. Auch andere Kriterien könnten bemüht werden, z. B. 

der Systemaufbau – MKS (Mehrkörpersysteme). Die in Abbildung 2.6 skizzierte 

grobe Gliederung soll jedoch „Fahrplan“ sein. 

In diesem 1. Teil der Technischen Mechanik wollen wir nur die Kinematik darstellen. 

Als Folge ihres rein geometrischen Charakters ist sie der elementarste, 

auch der einfachste Bereich der Technischen Mechanik. Als Voraussetzung 

für die weiteren Bereiche ist sie grundlegend, hat allerdings auch wesentliche

2.5 Gliederung der Technischen Mechanik 29 


Technische Mechanik 

Dynamik 

Statik Kinetik 

Abbildung 2.6: Grobe Gliederung 

eigenständige Bedeutung in der industriellen Praxis – s. z. B. Getriebetechnik.

3 Kinematik 

In der Kinematik untersuchen wir die Lage und Lageänderungen von geometrischen 

und materiellen Punkten, von Körpern und Körpersystemen. Dabei 

interessiert die Ursache dieser Änderung nicht. Damit liegt eine rein geometrische 

Betrachtung vor, bei der die Masse nicht anfällt. Eine Lage bzw. deren 

zeitliche Änderung ist nur messbar bezüglich eines Bezugssystems – Koordinatensystem. 

Das heißt, dass bezüglich unterschiedlicher Koordinatensysteme 

die Messung für das gleiche Ergebnis unterschiedlich erfolgt, was bedeutet, 

dass die Lageänderung unterschiedlich wahrgenommen wird. Newton definierte 

einen ruhenden Absoluten Raum, in dem die Zeit für alle Systeme 

gleichmäßig abläuft, definierte derart die Absolute Zeit. Ein derartiges Koordinatensystem 

ist als Inertialsystem bekannt. Die Beobachtung eines absolut 

ruhenden Körpers ist nicht bekannt, daher auch kein Inertialsystem. Auch hat 

die Relativistische Mechanik gezeigt, dass die Zeit keine absolute Größe ist. 

Als Folge der Abgrenzung 2. 1 V1 hat sich gezeigt, dass in der Technischen 

Mechanik die Annahme eines ruhenden Bezugssystems und der gleichmäßig 

monoton wachsenden Zeit zu brauchbaren Ergebnissen führt und die Betrachtung 

wesentlich vereinfacht. 

3.1 Lagebestimmung 

Einerseits muss, um eine Lageänderung zu beschreiben, zunächst eine von 

Punkten und Körpern bestimmte Lage gegeben sein. Andererseits müssen die 

Maße von Teilsystemen derart bestimmt werden, dass das System funktionsfähig 

ist. Beides sind Aufgaben der Maßbestimmung. 

Die folgenden Beispiele zeigen die typischen Elemente der rechnerorientierten 

Kinematik: 

• Formulieren von Vektorschleifen, 

• Abbilden auf äquivalente Gleichungssysteme,

32 3 Kinematik 

• Lösung und Weiterverarbeitung der Gleichungssysteme. 


1 Zweiarm-Manipulator 

2 Dreistabaufhängung 

3 Dreistabaufhängung – Alternativlösung 

4 Stab-Seil-System 

5 Vorderradaufhängung 

6 Aufhängung einer Platte mittels Seilrolle 

7 Balkenbewegung durch Kanal 

8 Führung eines Stabes auf Achse und Wand 

9 Spannrolle eines Riementriebs 

10 Entwicklung der Gleichung einer Ellipse 

3.2 Bewegungszustand von Elementen 

Zur Beschreibung der Geometrie eines Elements benötigen wir ein Bezugssystem, 

welches wir zunächst als orthonormiertes Koordinatensystem raumfest 

durch den Ursprung O und die Basisvektoren ni, i=1..3 festlegen. Raumfest 

soll bedeuten, dass dieses System keine Änderung erfährt. Wie schon 

bemerkt, sind solche Systeme in der Realität nicht bekannt – somit für uns 

nur eine Hilfe. Die Lage eines Elementes P beschreiben wir bezüglich dieses 

Koordinatensystems durch den Ortsvektor 

r T =(r1, r2, r3) 

worin die Vektorkomponenten rj, j=1..3 konstant vorausgesetzt sind. Stellen 

wir uns in O einen Beobachter vor, so nimmt dieser die Lage von P wahr. 

Mittels r beschreiben wir, wo sich P dauernd befindet. Weist das Element zu 

verschiedenen Zeiten entsprechend Abbildung 3.1 t1 und t2 unterschiedliche 

Lagen auf – der Ortsvektor ist nun zeitabhängig

3.2 Bewegungszustand von Elementen 33 

r(t) T =(r1(t), r2(t), r3(t)) 

so sprechen wir von der Bewegung des Elementes P im Bezugssystem O. P 

beschreibt im R 3 eine Raumkurve C mit der Zeit t als Parameter. 

n 3 

P1 

r(t 1) 

r(t 2) 

O 

n1 

n2 

P 

2 

Bahn von P 

Abbildung 3.1: Bahn eines Punktes 

Wir definieren diese Kurve als die Bahn des Elementes, welche eindeutig beschrieben 

ist, wenn ∀t ∈ T der Vektor r(t) bekannt ist. Ausgehend von der 

Ausgangslage r(t0) =r0 beschreibt r(t) den Bewegungsablauf des Elementes. 

Ist r(t) ∈ R 2 bzw. ∈ R 1 , so sprechen wir von den Spezialfällen der Ebenenbzw. 

Geradlinigen Bewegung. Die Bahn des Elementes liegt dann in der Ebene 

bzw. entartet zu einer Geraden. Die Koordinatensysteme zur Beschreibung 

der Bewegung können mannigfaltig gewählt sein, z. B. Polar-, Zylinder-, 

Kugel-Koordinaten usw. 


1 Punktbewegung auf Kurve in Parameterform 

2 Gegeben ist die Parameterform der Bahn eines Elementes mit den Daten 

– zu erstellen ist die Grafik dieser Bahn 

3 Punkt bewegt sich auf Kurve gegebener Form 

4 Fluidspiegel in einer Kugelvase 

5 Kürzester Abstand von Punkt zu Kurve – Extremwertproblem


3.3 Geschwindigkeits- und 

Beschleunigungs-Zustand 

Wir splitten diesen Abschnitt in die Kinematik des Geometrischen und Materiellen 

Punktes und des Starren Körpers. 

3.3.1 Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zustand des 

Punktes 

Ein Punkt bewegt sich längs der Bahn – Raumkurve –, deren Zustand durch 

den Ortsvektor r(t) eindeutig gegeben ist. Wir setzen diesen Vektor stetig 

und zweimal bezüglich der Zeit t differenzierbar voraus. Nach Abbildung 3.2 

weist der Punkt zur Zeit t die Lage P(t) auf, die wir mittels r(t) beschreiben. 

Während des Zeitintervalls dt hat sich der Punkt in die Lage P(t+dt) bewegt, 

was durch r(t + dt) beschrieben ist. Der Vektor r(t) erfährt dabei während 

der Zeit dt den Zuwachs dr, die Bahn den Zuwachs der Bogenlänge ds. 

n1 

n 3 

P(t) 

O 

Maple Problem 

r(t) 

dr 

r(t+dt) 

n 2 

ds 

P(t+dt) 

Bahn von P 

Abbildung 3.2: Änderung im Zeitintervall dt 

Bedeutung der Differentiation 

Als wesentliche Folgerung für die Natur- und Ingenieurwissenschaften formulieren 

wir:

3.3 Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zustand 35 

Physikalisch bedeutet der Differentialquotient d 

dt f(t) die 

Änderung der Funktion f(t) nach t im momentan betrachteten 

Element t. 

Mittels diesem Verständnis bezüglich des Differentialquotienten definieren wir 

den Geschwindigkeitsvektor als die zeitlichen Ableitung des Ortsvektors der 

Bewegung 

v(t) = dr(t) 

dt 

und den Beschleunigungsvektor als die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors 

a(t) = dv(t) 

dt 

Berücksichtigen wir darin die Definition von v(t), so können wir den Beschleunigungsvektor 

auch wie folgt schreiben 

a(t) = d2 v(t) 

dt 2 

Im Spezialfall der geradlinigen Bewegung sind r, v und a skalare Größen. 

Abhängig vom gegebenen Bewegungsgesetz sind 7 Fälle – s(t), t(s), v(t), v(s), 

a(t), a(s), odera(v) gegeben – möglich: 

Maple Problem 

Bewegungsgesetz – die 7 Fälle 


1 Bremsvorgang eines Lifts 

2 Dissipationsfreier Schiefer Wurf 

3 Oszillatorische Aufnahme einer Bewegung 

4 Fluid durchströmt Rohrleitung veränderlichen Querschnitts 

5 Element bewegt sich nach gegebenem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm 

6 Bestimmung der Flughöhe eines Ballons 

7 Dissipationsfreier Schiefer Wurf zweier Kugeln


8 Bewegung eines Elementes nach gegebenen Beschleunigungs-Weg-Gesetz 

9 Bewegung eines Wagens nach gegebenen Beschleunigungs-Zeit-Gesetz 

10 Kinematik eines Elementes auf einer Ellipse 

11 Kinematik in Zylinderkoordinaten 

12 Kinematik in Kugelkoordinaten – Anwendung auf Roboter 

13 Flug auf der nördlichen Erdhalbkugel 

14 Andocken an ein bewegtes Objekt – Flugzeug 

15 Biegen eines Blechs um einen Zylinder 

16 Element bewegt sich auf einer cos-Funktion – Diskussion der Beschleunigungskomponenten 

17 Ermittlung des Normaleneinheitsvektors einer Kurve im R 3 

18 Bewegung einer Spindel aus einer Rotierenden Scheibe – Relativbewegung 

19 Bewegung von 2 Punkten 

20 Kinematik eines rotierenden Massenpunktes 

3.3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Zustand 

Starrer Körper und Mehrkörpersysteme (MKS) 

Wir definieren den Starren Körper als die Mannigfaltigkeit ∞ vieler Punkte, 

die als Folge der idealisiert angenommenen starren Bindung ihre Lage zueinander 

nicht ändern. Die Kinematik des Punktes gilt also weiterhin, wenn wir 

einen Punkt des Starren Körpers betrachten. Ein wesentlicher Unterschied 

zum materiellen Punkt – dieser weist keine Ausdehnung auf – ist, dass wir 

bei diesem eine Rotation nur um eine Achse wahrnehmen, die nicht durch 

den Punkt verläuft. Hingegen kann ein Körper sich um „seine eigene Achse“ 

drehen. Wir unterscheiden daher die Art der Bewegung in Translation und 

Rotation. Stellen wir uns zwei Punkte eines Starren Körpers vor, die durch 

eine Gerade verbunden sind, so erfährt bei der Translation diese Gerade nur 

parallele Lageänderungen – die einfachste Form der Bewegung. Bezüglich der 

Rotation sei auf das Projekt Nr. 3, Drehung von Vektoren, hingewiesen. Das 

folgende Beispiel macht die Begriffe deutlich.


Maple Beispiel 

1 Translation, Rotation und deren Überlagerung 

Um die allgemeine Bewegung Starrer Körper oder Starrkörpersysteme – Mehrkörpersysteme 

MKS – zu beschreiben, führen wir entsprechend Abbildung 3.3 

zum raumfesten Koordinatensystem O noch ein körperfestes System A ein. 

Dabei kann A ein beliebiger materieller Punkt des Körpers K sein. Der Punkt 

P, dessen Bewegung beschrieben werden soll, kann sich entweder relativ zu 

K bewegen – wir sprechen dann von Relativbewegung – oder wird fest mit 

dem Körper K bewegt – Starrkörperbewegung .ImerstenFallnimmtderin 

A installierte Beobachter die relative Bewegung von P gegenüber dem Körper 

K wahr, im zweiten Fall nimmt er keine Bewegung von P wahr. Wir 

bezeichnen mit r(t) die Absolute Bewegung von P gegenüber O, mit R(t) die 

Bewegung des körperfesten Koordinatensystems A gegenüber O und mit ρ(t) 

die Relative Bewegung von P gegenüber A. 

O 

R 

r 

A 

ρ 

P 

K 

Abbildung 3.3: Bewegung Starrer Körper 

Da die Starrkörperbewegung – AP = konst – einen Spezialfall der Relativbewegung 

darstellt, seien die Beziehungen der Relativkinematik entwickelt. 

Dabei werden Operationen aus dem Paket vekop bemüht. 

Maple Problem 

Beziehungen der Relativkinematik 


2 Bewegung eines Krans 

ω


3 Typische Aufgaben für Relativkinematik 

4 Weitere Aufgabe zur Relativkinematik 

5 Kinematik eines Getriebes 

6 Rast- und Gangpolbahn 

7 Kinematik eines Zapfenlagers – System Rote Erde 

8 Kinematik eines Reibradgetriebes 

9 Kinematik eines Kurbeltriebs 

10 Kinematik des Wankel-Motors 

11 Auf Ebene abrollendes Rad 

12 Quadrat rollt auf Kurve ab 

13 Führung eines Seils durch eine Kurbel – kinematisch unsinniges Beispiel 

14 Gegeben Hub eines Gleitstößels – gesucht Kurvenscheibe (Gleit-Kurvenscheibengetriebe) 

15 Gegeben Hub eines Rollenstößels – gesucht Kurvenscheibei (Rollenstößel- 

Kurvenscheiben-Getriebe) 

16 Rollenkurbel bewegt Walze auf gegebener Parabel – Interessantes Beispiel 

aus der theoretischen Kinematik 

Auslegung von Kurvenscheiben für typische Kurvenscheibengetriebe 

Bei der Konstruktion von Kurvenscheibengetrieben ist die grundlegende Aufgabe 

die Auslegung der Kurvenscheibe. Prinzipiell ist der Hub vorgegeben, 

die Kurvenscheibe entsprechend dem Typ des Getriebes auszulegen und deren 

Fertigungsdaten bereitzustellen. Diese Aufgabe kann unterschiedlich realisiert 

werden. Die einfachste Möglichkeit ist die mittels der Einhüllenden Kurvenschar 

– Theorie der Enveloppe. 

Ohne tief diese Theorie darzustellen, wollen wir anschaulich einen Einblick 

bereitstellen. Die Skizze zeigt eine Hüllkurve – zu fertigende Kurvenscheibe – 

und eine Kurvenschar F (x, y, C) mit dem Parameter C. Die erste Forderung 

an die Kurvenschar ist, dass diese die Hüllkurve berühren soll. Als zweite 

Forderung verlangen wir, dass die Kurvenschar die Hüllkurve stets tangiert.


Hüllkurve 

y 

O 

F(x,y,C+dC) 

F(x,yC) 

Abbildung 3.4: Einhüllenden Kurvenschar 

Maple Problem 

Einblick in die Theorie der Enveloppen 

Zunächst sind einige Beispiele mit dem Ziel dargestellt, die Theorie der Hüllkurven 

– Enveloppe –zu veranschaulichen. 


1 Enveloppe einer Geradenschar 

2 Ein Kreis mit dem Radius r rollt auf einer geraden Ebene. Welche Kurve 

hüllt ein im Kreis fester Durchmesser ein? 

3 Entsprechend Skizze liegt auf der Kurve y = f(x) =b + axn der Punkt P 

mit den Koordinaten OQ = ξ, OR = η . Welche Kurve hüllt die Gerade 

QR ein, wenn sich P auf der gegebenen Kurve bewegt? 

Nach diesen Vorbereitungen folgen die mechanischen Anwendungen. 


4 Skizziert ist ein Rollenhubkurvengetriebe mit exzentrischer – e ist Maß 

der Exzentrizität – Stößelanordnung. Der Hub sei mittels s(θ) gegeben. 

Die Kurvenscheibe ist auszulegen und deren Fertigungsdaten bereitzustellen. 

Das Kurvenscheibenprofil ist die Hüllkurve der abrollenden Stößelrolle. 

Der Kontaktpunkt weise die Koordinaten (x, y) auf. Der Radius 

der Stößelrolle R sei identisch mit dem Werkzeug – Fräser. Statt der Betrachtung 

der umlaufenden Kurvenscheibe – Umlaufwinkel ist θ – und 

der starr angeordneten Stößellagerung betrachten wir den Stößel umlaufend 

um die feststehende Scheibe, ausgehend von der Anfangslage – 

gestrichelt blau skizziert. Das wird für 2 Hubverläufe realisiert. 

x


5 Für das skizzierte Kurvenscheiben-Schwinghebel-Getriebe sind bei gegebenem 

Winkelverlauf des Hebels φ(θ) die Kurvenscheibe und deren 

Fertigungsdaten zu ermitteln. 

6 Für das skizzierte Gleitstößelgetriebe sind für gegebenen Hub s(φ) die 

Kurvenscheibe und deren Fertigungsdaten zu bestimmen. 

7 Für das skizzierte Schwenkhebel-Gleitgetriebe sind für gegebenen Winkelverlauf 

φ(θ) die Kurvenscheibe auszulegen, die Fertigungsdaten zu erstellen. 

3.3.3 Kinematik Ebener Systeme mittels Komplexer 

Funktionen 

Allgemeine Betrachtungen 

Beschreiben wir Systeme im R 3 , so bemühen wir stets die Vektoranalysis. Im 

R 2 können wir diese ebenfalls verwenden, einfacher und anschaulicher ist jedoch 

die Verwendung von Komplexen Funktionen –auchoftmalsalsKomplexe 

Vektoren bezeichnet. Diese werden formuliert im orthogonalen Gauß’schen 

Koordinatensystem. 

Um das Rechnen mit Zahlenpaaren und insbesondere das Gauß’sche Koordinatensystem 

anschaulich zu verstehen, gehen wir von einem einfachen Modell 

aus. 

Maple Problem 

Bestimmung des Wertes eines Warenlagers 

Große Bedeutung haben die Zahlenpaare z bei der Lösung von algebraischen 

Gleichungen. Bekanntlich weist die Gleichung 

z 2 = −1 

keine anschaulich erklärbare Lösung auf. Bezeichnet man eine imaginäre Lösung 

formal mit j, soistauch−j eine solche Lösung. Mit der Eigenschaft 

j 2 = −1 definieren wir die Zahlenpaare z = x + jy als Komplexe Zahlen.


Maple Problem 

Rechnen mit komplexen Zahlen 

Komplexe Funktionen 

Anwendung von Maple auf Komplexe Funktionen 

Maple stellt hervorragende Werkzeuge bezüglich Komplexer Funktionen bereit. 

Deren Anwendung wird in diesem Abschnitt bereitgestellt. 

Maple Aufgaben 

1 Die Komplexe Funktion z = a + i b ist um α zu drehen und um λ zu 

strecken. Wie lautet die Abbildung in Normal- und Exponentialform? 

2 Bringen Sie die Ausdrücke 

e √ i ,e (πi) , 2 i , ln(i), sin(i), i 

auf die Form Ausdruck = u + iv. 

� 

i +1 

, ln(−2 i), (−1+2i) 

1 − i 2+i 

17 

3 Gegeben ist die Komplexe Funktion z = z0 + re (iφ) 

Welches geometrisches Gebilde wird damit beschrieben? Zeichnen Sie 

dieses. 

4 Lösen Sie die Gleichung z 5 =16(1+i √ 3) und stellen Sie die Lösungen 

mittels Pfeilen dar. 


Nach diesen Vorbereitungen der Komplexen Funktionen entwickeln wir in 

diesem Abschnitt die Kinematik.



1 Punkt-Kinematik auf einer Ellipse 

2 Testfahrzeug durchfährt gegebene Bahn 

3 Abwickeln eines dehnstarren dünnen Seils von einem Zylinder 

4 Kinematik eines rotierenden Punktes gegebener Beschleunigungsänderung 

5 Kinematik eines Wasserelementes in einem Schaufelrad 

6 Auslegung einer Transportvorrichtung mittels Viergelenkgetriebe

4 Projekte 

Eine Fülle von Projekten – die Mehrzahl aus der Praxis – unterschiedlicher 

Schwierigkeit beschließt die Technische Mechanik: Kinematik. Diese 117 Projekte 

dienen der Vertiefung und Ergänzung, sollten nach Erarbeiten der Theorie 

und der bisherigen Beispiele bearbeitet werden. Der Umgang mit Maple 

muss inzwischen selbstverständlich sein. Der Schwerpunkt liegt auf der methodischen 

Entwicklung, Darstellung und Animation. 

Beispielprojekt: Quick-Step-Getriebe 

Nach Skizze bewegt die Antriebskurbel r mittels eines Gleitsteins P die Abtriebskurbel 

OP. Spielfreiheit und Starre Körper vorausgesetzt, ist die Kinematik 

des Systems zu entwickeln. 

h 

O 

l 

R 

n 

2 

φ 

a 1 

b 1 

L 

s 

n 

1 

r 

β 

P 

Abbildung 4.1: Quick-Step-Getriebe 

Dieses zunächst sehr einfach aussehende System weist beachtliche Eigenschaften 

auf, verlangt eine detaillierte Betrachtung. Durch Wahl der Maße 

r und OR wird ein unterschiedliches Systemübertragungsverhalten bewirkt:

44 4Projekte 

Für r with(student):with(plots):with(plottools):read"lager.m": 

Definition der Basen n, a und b 

> basen([[a,n,phi(t),3],[b,n,beta(t),3]]): 

Vektorschleife ORPO 

> ORPO := h*n[2]+l*n[1]+r*b[1]-s(t)*a[1]; 

ORPO := hn2 + ln1 

+ r (cos(β(t)) n1 +sin(β(t)) n2) − s(t)(cos(φ(t)) n1 +sin(φ(t)) n2) 

und äquivalentes nichtlineares Gleichungssystem 

> sys := equate(ORPO); 

sys :={0 =0, 

l + r cos(β(t)) − s(t)cos(φ(t)) = 0, h+ r sin(β(t)) − s(t)sin(φ(t)) = 0} 

für die Unbekannten 

> unb := {s,phi}(t); 

unb := {φ(t), s(t)} 

Die Lösung ergibt zunächst 

> geo := solve(sys,unb); 

� 

� 

� 

geo := φ(t) = arctan %1 (h + r sin(β(t))), %1 (l + r cos(β(t))) , s(t) = 1 

� 

%1 

� 

%1 := RootOf (h 2 +2hrsin(β(t)) + l 2 +2lrcos(β(t)) + r 2 ) _Z 2 − 1, 

� 

label = _L1

Beispielprojekt: Quick-Step-Getriebe 45 

Sämtliche Lösungen folgern wir mittels 

> geo := allvalues(geo); 

geo := 

� 

�√ √ � 

φ(t) = arctan %1 (h + r sin(β(t))), %1 (l + r cos(β(t))) , s(t) = 1 

� 

√ , 

%1 

{φ(t) = 

%1 := 

arctan(− √ %1 (h + r sin(β(t))), − √ %1 (l + r cos(β(t)))), s(t) =− 1 

√ %1 } 

1 

h 2 +2hrsin(β(t)) + l 2 +2lrcos(β(t)) + r 2 

Wir wählen die physikalisch sinnvolle Lösung für 0 < s(t) und vereinfachen 

> geo := radsimp(geo[1]); 

� 

geo := s(t) = √ � 

h + r sin(β(t)) 

%1, φ(t) = arctan √ , 

%1 

l + r cos(β(t)) 

%1 := h 2 +2hrsin(β(t)) + l 2 +2lrcos(β(t)) + r 2 

� 

√ 

%1 

� 

Die Antriebskoordinate setzen wir als gleichförmig beschleunigt voraus 

> dan := diff(omega(t),t)=alpha0,diff(beta(t),t)=omega(t); 

dan := d 

d 

dt ω(t) =α0, dt β(t) =ω(t) 

Bei Berücksichtigung allgemeiner Anfangsbedingungen lauten die Antriebsgrößen 

> bet := 

> dsolve({dan,beta(0)=beta0,omega(0)=omega0},{beta,omega}(t)); 

α0 t2 

bet := {ω(t) =α0 t + ω0, β(t) = + ω0 t + β0} 

2 

Wir wählen als Daten 

> dat := l=4,h=3,omega0=1,beta0=Pi/4,alpha0=1/2,L=12; 

dat := l =4,h=3,ω0=1,β0= π 

4 ,α0=1 

2 ,L=12 

Um das Systemübertragungsverhalten abhängig von r zu diskutieren, bilden 

wir den Operator 

> sph := unapply(subs(geo,bet,dat,[s,phi](t)),r);

46 4Projekte 

⎡ 

� 

sph := r → ⎣ 25 + 6 r sin( 1 

4 t2 + t + 1 

π)+8r cos(1 

4 4 t2 + t + 1 

4 π)+r2 , 

⎛ 

arctan ⎝� 

� 

3+r sin( 1 

4 t2 + t + 1 

4 π) 

25 + 6 r sin( 1 

4 t2 + t + 1 

π)+8r cos(1 

4 4 t2 + t + 1 

4 π)+r2 

4+r cos( 1 

4 t2 + t + 1 

4 π) 

⎞⎤ 

25 + 6 r sin( 1 

4 t2 + t + 1 

π)+8r cos(1 

4 4 t2 + t + 1 

4 π)+r2 

, 

⎠⎦ 

Die grafische Darstellung zeigt für r = 6 ein unstetiges, für r = 4 ein stetiges 

Übertragungsverhalten für φ(t), eine Folge der Eigenschaft der trigonometrischen 

Funktionen. 

> la := labels=[“,“]: 

> plot(map(op,[sph(6),sph(4)]),t=0..2*Pi, 

> color=[black,red,blue,gold],la); 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

–2 

s(t), φ(t) für r =4und r =6 

1 2 3 4 5 6 

Der Abstand OR ist 5. Wir diskutieren daher das Übertragungsverhalten 

beim Durchgang durch diesen Wert mittels for-Schleife 

> for r in [6,5.5,5,4.5,4] do print(phi[’ r’ = r]); 

> plot(sph(r)[2],t=0..2*Pi,la);od;


3 

2 

1 

0 

–1 

–2 

–3 

3 

2 

1 

0 

–1 

–2 

–3 

2 

1.5 

–0.5 

1 

0.5 

0 

φr=6 

1 2 3 4 5 6 

φr=5.5 

1 2 3 4 5 6 

φr=5 

1 2 3 4 5 6

48 4Projekte 

1.5 

0.5 

0 

–0.5 

1 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

–0.2 

φr=4.5 

1 2 3 4 5 6 

φr=4 

1 2 3 4 5 6 

In manchen Fällen können diese Unstetigkeiten durch geschickte Wahl der 

Koordinaten für deren Hauptwerte vermieden werden. Für beschleunigte Systeme 

– diese sind die Regel in der Praxis – ist dieses jedoch nicht möglich. 

Daher müssen weitere Möglichkeiten der Beschreibung derartiger Systeme untersucht 

werden, wobei wir o. E. d. A. die Anbtriebskoordinate mit konstanter 

Winkelgeschwindigkeit ω0 voraussetzen. Dann lautet β(t) 

> bet := beta(t)=omega0*t; 

bet := β(t) =ω0 t 

Der heute übliche Weg der Analyse derartiger Systeme ist die Formulierung 

der Beziehungen mittels Differentialgleichungen. Dazu definieren wir zunächst 

als Abkürzung


> d := u->diff(u,t): 

Neutralisieren von r, Differentiation von geo und Lösen des Gleichungssystems 

führt zu den Dgln für die Unbekannten 

> r := ’r’:dgln := collect(d(geo),diff,simplify); 

dgln := 

� 

d 

dt 

d 

dt 

r (−h cos(β(t)) + l sin(β(t))) ( 

s(t) =− 

d 

dt β(t)) 

� 

h2 +2hrsin(β(t)) + l2 +2lrcos(β(t)) + r2 , 

d 

r (cos(β(t)) l +sin(β(t)) h + r)( dt φ(t) = β(t)) 

h2 +2hrsin(β(t)) + l2 +2lrcos(β(t)) + r2 � 

Unabhängig von diesem Vorgehen können wir auch eine Geschwindigkeitsschleife 

formulieren 

> V := r*d(beta(t))*b[2]-s(t)*d(phi(t))*a[2]-d(s(t))*a[1]; 

� 

d 

V := r 

dt β(t) 

�� 

� � 

d 

− sin(β(t)) n1 +cos(β(t)) n2 − s(t) 

dt φ(t) 

�� 

− sin(φ(t)) n1 

� � 

d 

+cos(φ(t)) n2 − 

dt s(t) 

�� 

� 

cos(φ(t)) n1 +sin(φ(t)) n2 

folgern daraus das äquivalente Gleichungssystem 

> sys_v := equate(V); 

� 

sys_v := 0=0, 

− r ( d 

d 

d 

β(t)) sin(β(t)) + s(t)( φ(t)) sin(φ(t)) − ( s(t)) cos(φ(t)) = 0, 

dt dt dt 

r ( d 

d 

d 

� 

β(t)) cos(β(t)) − s(t)( φ(t)) cos(φ(t)) − ( s(t)) sin(φ(t)) = 0 

dt dt dt 

dessen Lösung nach Umformungen die Dgln ergibt 

> ls_V := combine(solve(sys_v,d({phi,s}(t)))); 

� d 

d ( dt β(t)) cos(φ(t) − β(t)) 

ls_V := φ(t) =r , 

dt s(t) 

� 

d d 

s(t) =r ( β(t)) sin(φ(t) − β(t)) 

dt dt 

Analytische Lösungen der Systeme dgln und ls_V sind nicht bekannt. Den 

Geschwindigkeitszustand in P erhalten wir zu (Vn bedeutet die Relativge-

50 4Projekte 

schwindigkeit des Gleitsteins gegenüber der Abtriebskurbel, ist ein Maß für 

den Verschleiß) 

> V := d(s(t)*a[1]);Vn := simplify(V &. a[1]); 

> Vt := simplify(V &. a[2]); 

V := ( d 

dt s(t)) (cos(φ(t)) n1 +sin(φ(t)) n2) 

+s(t)(−sin(φ(t)) ( d 

dt φ(t)) n1 +cos(φ(t)) ( d 

φ(t)) n2) 

dt 

Vn := d 

dt s(t) 

Vt := s(t)( d 

dt φ(t)) 

Zur grafischen Darstellung vereinbaren wir den Operator 

> pv := unapply(eval(subs(bet,dat,eval([Vn,Vt],geo))),r): 

> plot(map(op,[pv(4),pv(6)]), t=0..2*Pi, 

> color=[black,red,blue,gold], la, 

> title=‘vt(t),vn(t) für r = 4 und r = 6‘); 

6 

4 

2 

0 

–2 

–4 

vt(t),vn(t) für r =4und r =6 

vt(t),vn(t) f r r = 4 und r = 6 

1 2 3 4 5 6 

Entsprechend beschreiben wir den Beschleunigungszustand in P 

> A := d(d(s(t)*a[1]));


� � 2 d 

A := s(t) (cos(φ(t)) n1 +sin(φ(t)) n2) 

dt2 � 

d 

+2 

dt s(t) 

�� 

−sin(φ(t)) ( d 

dt φ(t)) n1 +cos(φ(t)) ( d 

� 

φ(t)) n2 

dt 

� 

+s(t) −cos(φ(t)) ( d 

dt φ(t))2 n1 − sin(φ(t)) ( d2 

φ(t)) n1 

dt2 − sin(φ(t)) ( d 

dt φ(t))2 n2 +cos(φ(t)) ( d2 

� 

φ(t)) n2 

dt2 > An := simplify(A &. a[1]);At := simplify(A &. a[2]); 

An := ( d2 

dt 2 s(t)) − s(t)( d 

dt φ(t))2 

At := 2 ( d 

dt 

> pa := 

d 

d2 

s(t)) ( dt φ(t)) + s(t)( dt2 φ(t)) 

> unapply(eval(subs(bet,dat,collect(eval([An,At],geo),diff))),r): 

> plot(map(op,[pa(4),pa(6)]),t=0..2*Pi, 

> color=[black,red,blue,gold],la, 

> title=‘at(t),an(t) für r = 4 und r = 6‘); 

4 

2 

0 

–2 

–4 

–6 

at(t),an(t) für r =4und r =6 

at(t),an(t) f r r = 4 und r = 6 

1 2 3 4 5 6 

Im vorliegenden Fall erscheint die Unstetigkeit nur für den Abtriebswinkel. 

Dieses ist jedoch nicht die Regel. In der Praxis wird daher der Weg der numerischen 

Lösung der Dgln bevorzugt, i. Allg. der einfachste Weg. Wir gehen aus 

von ls_V. Um dieses System zu lösen, werden Anfangsbedingungen benötigt. 

Diese bilden wir aus geo

52 4Projekte 

> an := unapply(evalf(eval(subs(bet,dat,t=0,geo))),r); 

� 

� 

3. 

an := r → φ(0) = arctan √ 

25. +8.r+ r2 , 

� 

4. + r 

√ , 

25. +8.r+ r2 � 

s(0) = � 25. +8.r+ r 2 

So folgt z. B. für r = 4 und r = 6 

> an(4);an(6); 

{φ(0) = 0.3587706703, s(0) = 8.544003745} 

{φ(0) = 0.2914567944, s(0) = 10.44030651} 

Vereinigungsmenge von Dgln und Anfangsbedingungen 

> num := unapply(subs(dat,eval(ls_V,bet)) union an(r),r): 

Untersucht sei das System für r = 4.8 und r = 5.2. Zunächst bilden wir die 

Liste mit diesen Elementen 

> r_ := [4.8,5.2]: 

Die numerische Lösung für beide Fälle folgt nun mittels der for-Schleife 

> for i to 2 do t:=’t’:ls_num := 

> dsolve(num(r_[i]),{s,phi}(t),numeric,output=listprocedure): 

> assign(subs(s(t)=st||i,phi(t)=pt||i,ls_num)): 

> p||i := plot([st||i,pt||i],0..2*Pi): 

> od: 

Die Grafik der Koordinaten s und φ zeigt nun stetiges Verhalten 

> display(p1,p2);


10 

8 

6 

4 

2 

0 

s(t), φ(t) 

1 2 3 4 5 6 

Mittels der numerisch ermittelten Koordinaten bilden wir den Ausdruck für 

die Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten 

> va := i->subs(phi(t)=pt||i(z),t=z,dat,r=r_[i], 

> simplify(eval(subs( 

> ls_V,bet,eval(subs(ls_V,bet,[Vt,At,An])))))): 

und deren Grafik 

> for i to 2 do print(‘r‘=r_[i]); 

> plot(va(i)(z),z=0..2*Pi,color=[black,red,blue], 

> la,title=‘vt(t),at(t),an(t)‘);od; 

4 

2 

0 

–2 

–4 

r =4.8 

vt(t),at(t),an(t) 

1 2 3 4 5 6

54 4Projekte 

4 

2 

0 

–2 

–4 

r =5.2 

vt(t),at(t),an(t) 

1 2 3 4 5 6 

Um Winkel-Geschwindigkeit, Beschleunigung und Abtriebswinkel zu erhalten, 

bilden wir zunächst 

> ome := eval(subs(ls_V,bet,d(phi(t)))); 

rω0cos(−φ(t)+ω0 t) 

ome := 

s(t) 

sodann mit geo weiter 

> om := omega(t)=simplify(expand(subs(geo,bet,ome))); 

om := ω(t) = 

rω0(sin(ω0 t) h + r + l cos(ω0 t)) 

h 2 +2hrsin(ω0 t)+l 2 +2lrcos(ω0 t)+r 2 

> al := collect(d(om),r,factor); 

al := d 

dt ω(t) = rω02 (−cos(ω0 t) h + l sin(ω0 t)) (−h2 − l2 + r2 ) 

(h2 +2hrsin(ω0 t)+l2 +2lrcos(ω0 t)+r2 ) 2 

> ph := phi(t)=subs(geo,bet,phi(t)); 

� 

h + r sin(ω0 t) 

ph := φ(t) = arctan � 

h2 +2hrsin(ω0 t)+l2 +2lrcos(ω0 t)+r2 , 

� 

l + r cos(ω0 t) 

� 

h2 +2hrsin(ω0 t)+l2 +2lrcos(ω0 t)+r2 Deren grafische Darstellung für r = 4.8 und r = 5.2 

> pw := unapply(subs(dat,map(rhs,[ph,om,al])),r): 

> plot(map(op,[pw(r_[1]),pw(r_[2])]),t=0..2*Pi,-5..5, 

> color=[black,red,blue,gold,green,violet],la);


4 

2 

0 

–2 

–4 

φ(t), ω(t), α(t) 

1 2 3 4 5 6 

Ermittelt sei noch die Abtriebswinkelgeschwindigkeit mittels der numerischen 

Ergebnisse. Wir gehen aus von ome und substituieren die Koordinaten 

> o := (i,z)->subs(dat,r=r_[i],s(t)=st||i(z), 

> phi(t)=pt||i(z),t=z,ome): 

Die Grafik zeigt Übereinstimmung mit der zuvor erstellten Grafik 

> plot([o(1,z),o(2,z)],z=0..2*Pi,-5..5,la); 

4 

2 

0 

–2 

–4 

ω(t) 

1 2 3 4 5 6 

Bleibt noch die Animation mittels Programm – N bedeutet Zahl der Bilder, 

i der Fall entsprechend der Liste r_

56 4Projekte 

> an := proc(N,i) local ins,th,su,lag,k,K,p,P,tr,g,G: 

> ins := insequence=true:su := u->subs(dat,u): 

> th := thickness=2: 

> lag := (u,v)->translate(lager(.3,fl),su([u,v])[]): 

> k := curve([[0,0],[r_[i],0]],color=black,th): 

> K := translate(display([seq(rotate(k,u*2*Pi/N),u=0..N)],ins), 

> su([l,h])[]): 

> p := curve([[0,0],[su(L),0]],color=blue,th): 

> P := display([seq(rotate(p,pt||i(u*2*Pi/N)),u=0..N)],ins): 

> g := disk([0,0],.25,color=red): 

> G := display([seq(rotate(translate( 

> g,st||i(u*2*Pi/N),0),pt||i(u*2*Pi/N)),u= 0..N)],ins): 

> display(lag(0,0),lag(l,h),K,P,G): 

> end: 

Animation mit 200 Bildern 

> display(an(200,1),translate(an(200,2),16,0));

Die Projekte im Überblick 57 

Die Projekte im Überblick 

Maple Projekte 

1 Maßbestimmung eines Pumpengehäuses 

2 Differentiation zeitveränderlicher Vektoren 

3 Drehung von Vektoren 

4 Heuristische Darstellung unstetiger Funktionen - Distributionen 

5 Weg innerhalb kürzester Zeit – Extremwertaufgabe 

6 Geradlinige Bewegung infolge gegebenem a(s) 

7 Geradlinige Bewegung infolge gegebenem v(s) 

8 Rohrströmung mit veränderlichem Rohrquerschnitt 

9 Schließen einer Dachluke 

10 Drehplatte – Kreisplatte aufgehängt an 3 Seilen 

11 Kugel prallt auf elastische Platte und wird reflektiert 

12 Regen prallt auf Dach – 

Neigungswinkel, damit Wasser schnellstens abfließt 

13 Einfaches Modell eines Tornados 

14 Teleskopzylinder im 3D 

15 Einholen eines Flugzeug-Bugrades 

16 Dreigelenk-Gleitgetriebe 

17 Doppelgleitgetriebe 

18 Ebenes Getriebe – Rechteck wird in 2 Ecken geführt 

19 Landeanflug eines Falters an Litfasssäule 

20 Ellipsengetriebe 

21 Auslegung eines Kinos – optimaler Sehwinkel 

22 Drehende Ellipsenscheibe führt gleitenden Winkelhebel 

23 Verbindungsstraße

58 4Projekte 

24 Flaschenzug – nicht parallel verlaufende Seile 

25 Flugkontrolle – Radarpeilung eines Flugobjekts 

26 Flugpeilung – Flugobjekt peilt Objekt an 

27 Kinematik eines Garagentors 

28 Getriebespiel – Einfluss von Spiel in einem Kreisgelenk 

29 Kinematik eines Gleitsteingetriebes 

30 Antrieb mittels gleitender Zahnstange 

31 Stößelhub-Scheibengetriebe – 

Hub ist gegeben, Kurvenscheibenform gesucht 

32 Kinematik einer Kapsel-Exzenter-Kolbenpumpe 

33 Fertigung von Kurvenscheibenformen mittels Zwei-Koordinaten-Maschine 

34 Zebrastreifen – Kinematik Auto-Fußgänger 

35 Marterpfahl – 3 Indianer wollen den Skalp 

36 Schatten – welchen Schatten wirft ein längs einer Kurve sich bewegender 

Fussgänger? 

37 Kardan- und Homokinetisches Getriebe 

38 Zahn-Kurbelgetriebe zur Erzeugung von Kardioiden 

39 Kinematik eines komplexen Karussells 

40 Kegel-Differentialgetriebe mit „rückkehrendem“ Abtrieb 

41 Maßbestimmung einer Kegelradpaarung 

42 Keilförmige Schikane bewegt Hubrolle 

43 Analyse eines Zweirollen-Kollergangs 

44 Analyse eines Kontainer-Verladekrans minimaler Arbeit 

45 Kinematik eines Kreisels 

46 Kreisbogen wird zwischen zwei senkrechten Wänden geführt 

47 Analyse eines Kreuzschiebers 

48 Kugel rollt im 3D auf einer V-förmigen Führung


49 Synthese – 

mittels Zahn-Kurbelgetriebe sollen 3 Bedingungen erfüllt sein 

50 Gleitstein wird in Halbkreis bewegt und führt eine Kurbel 

51 Pleuel eines Kurbeltriebs wird auf gegebener Kurve geführt 

52 3D-Viergelenkgetriebe 

53 3D-Kurbelgleitgetriebe 

54 Kurbelkupplung 

55 Kurbeltrieb treibt Rolle an 

56 Kurbelschere zum Längen von Bändern 

57 Viergelenk-Zahnradgetriebe 

58 Kurvenstößel – Kurvenscheibe bewegt Hubstößel 

59 Analyse einer Kurzhobelmaschine 

60 Kinematik eines Labor-Schwingers 

61 Kinematik eines Kippladers 

62 Landeanflug eines Flugzeugs bei Seitenwind 

63 Analyse einer Legemaschine 

64 Kinematik eines Nocken-Steuer-Getriebes 

65 Analyse einer Ölförderpumpe 

66 Bewegung einer Oldham-Kupplung 

67 Dünnes parabelförmiges Blech gleitet zwischen zwei 

zueinander senkrechten Wänden 

68 Zwischen zwei parallelen Platten wird eine Kugel bewegt 

69 Auslegung eines Fahrzeug-Scheibenwischers 

70 Kinematik eines Plattenspielers 

71 Rädergetriebe – Analyse verschiedener Formen 

72 Radfahrer 

73 Rast- und Gangpolbahn

60 4Projekte 

74 Analyse eines Raumgetriebes 

75 Wahrnehmung im rotierenden Koordinatensystem 2D 

76 Wahrnehmung im rotierenden Koordinatensystem 3D 

77 Auslegung eines Roboters für eine Bandbeschickung 

78 Auslegung eines Roboters für eine Dreipunktbedingung 

79 Rollenstößel wird über Kurvenschikane bewegt 

80 Rollendes Rad zieht Stab 

81 Kurbel bewegt Zweiradwagen 

82 Beobachtung eines Satellits 

83a Kurvenscheibe gegebener Form bewegt Rollenstößel 

83b Kurvenscheibe gegebener Form bewegt Rollenstößel: 

Alternative Lösung 

84 Bewegung eines speziellen Scheibenwischers 

85 Analyse einer Flussfähre 

86 Zwei Schiffe überqueren gleichzeitig einen Kanal – Gefahrenbereich 

87 Analyse eines Räder-Schrittgetriebes 

88 Kinematik eines Schwenkgetriebes 

89 Kinematik einer 3D-Schwingstange 

90 Schiff wird über einen Fluss mittels Seil gezogen 

91 Seil wird nach gegebenem v(t)-Verhalten von einer Rolle abgwickelt 

92 Bewegung eines Förderkorbs mittels Seilgetriebe 

93 Spezielles Seilpendel 

94 Mittels Umlaufrolle wird eine Last bewegt 

95 Abwickeln eines Seils der Dicke d von einer Rolle 

96 Abwickeln eines Seils der Dicke d von einer kegelförmigen Rolle 

97 Abwicklung eines Seils der Dicke d von einer parabelförmigen Rolle 

98 Synthese einer Shapping-Kurzhobel-Maschine


99 Analyse einer speziellen Spiralbewegung 

100 Antrieb einer Stanze 

101 Analyse eines 3D-Steuergetriebes 

102 Synthese von Viergelenkgetrieben 

103 Antrieb einer Tiefziehpresse 

104 Analyse einer Viergelenk-Transportvorrichtung 

105 3D-Bewegung eines T-Sücks auf gegebener Bahn 

106 Wann decken sich die Zeiger einer Uhr? 

107 Um eine Kurvenscheibe wird eine Rolle geführt 

108 Hund-Hase-Verfolgungskurven 

109 Analyse des 2D-Viergelenkgetriebes 

110 Kinematik eines speziellen Vierkantantriebs 

111 Kinematik eines speziellen Wälz-Kurbel-Getriebes 

112 Ein Gleitstein ist auf einer Parabel geführt 

113 Kinematische Analyse eines speziellen Scheibenwischers 

114 Analyse eines speziellen Zahnrad-Kurbelgetriebes 

115 Einfache Analyse des Fahrplans der Bahn 

116 Spezielle Bewegungen eines starren Stabs 

117 Analyse eines Systems mit 2 Freiheitsgraden

Anhang 

Literatur zu Maple 

Kofler, M., Bitsch, G., Komma, M.: Maple, 

Pearson Studium 2002, ISBN 978-3-8273-7036-5 

Heck, A.: Introduction to Maple, 

Springer Verlag New York 2003, ISBN 978-0-387-00230-9 

Walz, A.: Maple 7, 

Oldenbourg Wissenschaftsverlag München 2002, ISBN 978-3-486-25542-3 

Grotendorst, J.: Computer Mathematik mit Maple, 

Forschungszentrum Jülich 2003, ISBN 978-3-89336-325-4 

Ansprechpartner bei Fragen zu den 

Programmmen 

Herr Richards: Fragen zu Maple 

scientific Computers Aachen, t.richard@scientific.de 

Herr Weymar: Fragen zu MegaCad 

Megatech Software Berlin, weymar@megatech.de

Technische Mechanik Kinematik

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?