Aufgaben - ETH Zürich

Übungsaufgaben zur Vorlesung Regelsysteme – Herbstsemester 2012
Übung 7: Reglerentwurf im Frequenzbereich
Prof. Dr. Manfred Morari
Institut für Automatik, ETH Zürich
A 7.1: Lead- / Lag-Kompensatoren mit SISO-Tool [FrPE94, Aufg. 6.15, 6.17]
In den allermeisten praktischen Fällen verlangt der Entwurf von Lead- und Lag-Kompensatoren
eine iterative Prozedur, ausgehend von geschätzten Parametern, um eine zufriedenstellende
Lösung zu erhalten. In dieser Übung soll diese iterative Prozedur mit Hilfe des bereits bekannten
MATLAB-Werkzeugs sisotool nachvollzogen werden.
Wir betrachten ein Temperaturreglersystem mit der Übertragungsfunktion
G(s) =
K
(2s + 1)(s + 1)( 1 . (1)
2s + 1)
Ziel dieser Übung ist es, zwei verschiedene Kompensatoren für G(s) mit Hilfe des sisotool
zu entwerfen. Dadurch sollen die Entwurfprozesse sowie die Unterschiede der Lead- und Lag-
Kompensatoren erarbeitet werden.
In beiden Fällen sollen die folgenden Spezifikationen erfüllt werden:
i) Der bleibende Regelfehler auf eine Einheitstufe als Referenz-Input sei 0.1.
ii) Die Phasenreserve (PR) vom kompensierten System betrage mindestens 40 ◦ .
1. Lead-Kompensator
a) Bestimmen Sie K gemäss der Spezifikation i) und geben Sie die entsprechende Übertragungsfunktion
in den MATLAB-Workspace ein.
Hinweis: Starten Sie die Entwurfsapplikation mit dem Befehl sisotool in MATLAB, und
importieren Sie die Übertragungsfunktion mit (File - Import).
Betrachten Sie die Sprungantwort für den geschlossenen unkompensierten Regelkreis
über Analysis Plots - Step - Closed Loop r to y.
b) Beginnen Sie die iterative Prozedur indem Sie die Werte für den Pol und die Nullstelle
des Lead-Kompensators entsprechend der Spezifikationen schätzen, und fügen Sie diesen
dem Kompensator im sisotool hinzu.
Hinweis: Befehlsfolge Compensator Editor - (Right-Click) - Add Pole/Zero.
Wie gross ist die Phasenreserve des Systems mit den geschätzten Werten? Wie sieht
das Übergangsverhalten des System für eine Sprungantwort aus?

Übung 7: Reglerentwurf im Frequenzbereich HS 2012
c) Durch das Verschieben der Pole und Nullstellen auf dem Bodediagramm können Sie
die Effekte auf das Verhalten des Systems beobachten.
Untersuchen Sie die Veränderung von PR und Durchtrittsfrequenz beim Verschieben
der Nullstellen und Pole, sowie die Veränderung der Sprungantwort. Was passiert, wenn
der Pol sehr weit nach links verschoben wird?
d) Finden Sie einen Lead-Kompensator für G(s), der die Spezifikationen erfüllt. Wie lauten
die Kompensatorparameter T und α?
2. Lag Kompensator
a) Benutzen Sie das sisotool um ein K so zu bestimmen, dass der offene (unkompensierte)
Regelkreis eine PR von mindestens 50 ◦ hat (40 ◦ aus Spezifikation ii) + 10 ◦ Reserve für
Lag Design).
b) Bestimmen Sie den Wert von β so, dass die Spezifikation des bleibenden Regelfehlers
erfüllt wird. Wie sollte die Nullstelle des Kompensators gewählt werden?
c) Testen und verbessern Sie Ihren Entwurf mithilfe des sisotool. Wie lauten die Kompensatorparameter
T und β?
d) Vergleichen Sie die Sprungantworten der beiden Kompensatoren.
A 7.2: Lag-Kompensator [FrPE94, Aufg. 6.47]
Die Übertragungsfunktion einer offenen Strecke sei
G(s) =
K
s(1 + s s
5 )(1 + 60 ).
Entwerfen Sie einen Lag-Kompensator D(s) für G(s), sodass der geschlossene Regelkreis die
folgenden Spezifikationen erfüllt:
• Der bleibende Regelfehler auf eine Einheitsrampe als Eingang beträgt nicht mehr als 0.01.
• Die Phasenreserve beträgt 40 ◦ ± 3 ◦ .
Verifizieren Sie anschliessend Ihren Entwurf mit MATLAB.
A 7.3: Lead-Kompensator [FrPE94, Aufg. 6.48]
Die Übertragungsfunktion einer offenen Strecke sei
G(s) =
K
s(1 + s s
5 )(1 + 250 )
Entwerfen Sie einen Lead-Kompensator D(s) für G(s), sodass der geschlossene Regelkreis die
folgenden Spezifikationen erfüllt:
• Der bleibende Regelfehler auf eine Einheitsrampe als Eingang beträgt nicht mehr als 0.01.
• Für die dominanten Pole des geschlossenen Kreises beträgt die Dämpfung ζ = 0.4.
Verifizieren Sie anschliessend Ihren Entwurf mit MATLAB.
Übungsaufgaben Regelsysteme 2 von 4
(2)
(3)

Übung 7: Reglerentwurf im Frequenzbereich HS 2012
A 7.4: Lead-Lag-Kompensator Design [Prüfung Herbst 2010]
Der Standardregelkreis in Abbildung 1 besitze eine Regelstrecke mit Übertragungsfunktion
G(s) =
20
. (4)
(s + 1)(s + 2)(s + 5)
Um das dynamische Verhalten zu verbessern soll in dieser Aufgabe ein Lead-Lag-Kompensator
entworfen werden. Der schrittweise auszulegende Kompensator habe die allgemeine Form
D(s) = K T1s + 1
αT1s + 1
=L1(s)
β(T2s + 1)
, (5)
βT2s + 1
=L2(s)
wobei L1(s) das Lead-Element des Kompensators (mit den Parametern T1 > 0, α < 1) und
L2(s) das Lag-Element des Kompensators (mit den Parametern T2 > 0, β > 1) darstellt.
r(s)
✲+ y(s)
❡ ✲ D(s) ✲ G(s)
✲
✻–
Abbildung 1 (zu A 7.4): Regelkreis
a) Anhand des Bode-Diagramms von G(s) (Abb. 2):
(i) Geben Sie die Amplitudenreserve AR, die Phasenreserve PR, sowie die Durchtrittsfrequenz
ωc des Systems (4) an.
(ii) Ermitteln Sie die proportionale Verstärkung K des Kompensators so, dass die Phasenreserve
von KG(s) 25 ◦ beträgt. Geben Sie auch die neue Durchtrittsfrequenz an.
Hinweis: Runden Sie K auf die nächste ganze Zahl.
b) Als erstes soll die erste Iteration zum Entwurf des Lead-Kompensators L1(s) durchgeführt
werden. Das Überschwingen des geschlossenen Kreises soll dadurch auf 25% reduziert werden.
(i) Durch Anwendung des MATLAB-Befehls roots auf den Nenner der Übertragungsfunktion
KG(s)/(1 + KG(s)), ermitteln Sie ob der geschlossene Kreis näherungsweise als
ein System zweiter Ordnung betrachten lässt.
(ii) Um welchen Betrag muss demnach die Phasenreserve angehoben werden, wenn Sie
einen zusätzlichen Puffer von 10 ◦ einplanen?
(iii) Bestimmen Sie die Parameter α und T1 so, dass die maximale Phasenanhebung 25 ◦
beträgt und auf der Durchtrittsfrequenz der Strecke KG(s) liegt.
c) Als zweites soll die erste Iteration zum Entwurf des Lag-Kompensators L2(s) durchgeführt
werden.
(i) Bestimmen Sie die Parameter β und T2 so, dass die bleibende Regelabweichung auf
einen Schritteingang weniger als 5% beträgt und die Nullstelle des Kompensators eine
Dekade unterhalb der Durchtrittsfrequenz der Strecke KG(s) liegt.
(ii) Simulieren Sie die Einheitsschrittantwort des geschlossenen Kreises (mit dem Kompensator
D(s)) mit MATLAB. Wie gross ist das Überschwingen? Welche der folgenden sind
mögliche Erklärungen für die Abweichung der erwarteten 25%?
Übungsaufgaben Regelsysteme 3 von 4

Übung 7: Reglerentwurf im Frequenzbereich HS 2012
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– Der Lag-Kompensator bewirkt eine geringe Absenkung der Phasenreserve P R, die hier
vernachlässigt wurde aber eine Erhöhung des Überschwingens zur Folge haben kann.
– Die Verschiebung der Durchtrittsfrequenz durch den Lead-Kompensator führt zu einer
geringeren als der geplanten Phasenreserve und damit zu stärkerem Überschwingen.
– Die angenommene Beziehung zwischen der Phasenreserve von D(s)G(s) und dem Überschwingen
des geschlossenen Kreises gilt in exakter Form nur für Systeme 2. Ordnung.
0
−5
−10
−15
Magnitude (dB)
−20
−25
−30
10 1
10 0
10 −1
10 −2
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
Phase (deg)
−160
−180
Abbildung 2 (zu A 7.4): Bode-Diagramm von G(s)
Übungsaufgaben Regelsysteme 4 von 4
−200
−220
10 1
10 0
10 −1
10 −2
Frequency (rad/sec)