Aufgaben - ETH Zürich

Übungsaufgaben zur Vorlesung Regelsysteme – Herbstsemester 2012
Übung 9: Zustandsraumdarstellung
Prof. Dr. Manfred Morari
Institut für Automatik, ETH Zürich
A 9.1: Regelungs- und Beobachtungsnormalform ([FrPE06] Aufg. 7.17)
Geben Sie die Zustandsgleichungen für die beiden folgenen Systeme in Regelungs- und Beobachtungsnormalform
an. Zeichnen Sie jeweils die Blockdiagramme.
1.
2.
s 2 − 2
s 2 (s 2 − 1)
3s + 4
s 2 + 2s + 2
A 9.2: Regelungsnormalform ([FrPE06] Aufg. 7.2-7.4)
a) Transformieren Sie die folgenden Systeme in die Regelungsnormalform im Zustandsraum:
1.
2.
3.
4.
5.
Tipp: Formen Sie um in a + b
s/10+1 .
1
4s + 1
5(s/2 + 1)
s/10 + 1
2s + 1
s 2 + 3s + 2
s + 3
s(s 2 + 2s + 2)
(s + 10)(s 2 + s + 25)
s 2 (s + 3)(s 2 + s + 36)
b) Transformieren Sie die Systeme aus Teil a) in die Jordan-Normalform (Modalform). Achten
Sie darauf, dass alle Elemente in den Zustandsraummatrizen reell seien müssen. (Hinweis:
Dies erreichen Sie, indem Sie konjugiert-komplexe Polpaare gemeinsam in einem Unterblock
belassen.)

Übung 9: Zustandsraumdarstellung HS 2012
A 9.3: Steuerbarkeit / Beobachtbarkeit (Prüfung WS 2010/11, Aufg. 3)
Gegeben sei das folgende LTI-System in Zustandsraumdarstellung:
⎡
0
⎢
˙x(t) = ⎣−1.5
0.5
−1
0.5
−0.5
⎤ ⎡
−1
(1 + α)/
⎥ ⎢
−1.5⎦
x(t) + ⎣
1.5
A
√ 2
0
(−1 + α)/ √ ⎤
⎥
⎦ u(t),
2
(1a)
y(t) = 3/
B
√ 2 −1/ √ 2 1/ √
2 x(t), (1b)
C
wobei u(t) den Eingang, x(t) den Zustandsvektor und y(t) den Ausgang bezeichnet. α ∈ R sei
ein Parameter des Systems.
a) (i) Berechnen Sie die Beobachtbarkeitsmatrix und ermitteln Sie daraus, ob das System
beobachtbar ist.
(ii) Berechnen Sie die Steuerbarkeitsmatrix und ermitteln Sie für welche Werte von α ∈ R
das System steuerbar ist.
b) Betrachten Sie nun eine Zustandstransformation des Systems (1) der Form
x(t) = T z(t),
wobei z(t) den transformierten Zustand bezeichnet und die Transformationsmatrix T und
ihre Inverse T −1 wie folgt gegeben sind:
T = 1
⎡ ⎤
1 1 0
⎢ ⎥
√ ⎣1
0 1 ⎦ , T
2
0 −1 −1
−1 = 1
⎡
⎤
1 1 1
⎢
⎥
√ ⎣ 1 −1 −1⎦
.
2
−1 1 −1
(i) Geben Sie die Zustandsraumsdarstellung des transformierten Systems an. Welche standardisierte
Form liegt hier vor?
(ii) Wie können Sie aus der transformierten Darstellung ohne Berechnung der Steuerbarkeitsund
der Beobachtbarkeitsmatrix sofort auf die Steuerbarkeit und die Beobachtbarkeit
von System (1) schliessen?
c) Nehmen Sie nun den Fall α = 0 an. Welche Dimension besitzt der steuerbare Unterraum
des Systems (1)? Geben Sie eine Basis für den steuerbaren Unterraum des Systems (1) an.
Übungsaufgaben Regelsysteme 2 von 2