REGELSYSTEME - ETH Zürich

Institut für Automatik D-ITET
ETH Zürich HS 08
Prof. Dr. M. Morari 11.11.2008
Name :
Stud.-Nr. :
REGELSYSTEME
Musterlösung Kurztest 2
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Aufgabe Punkte max.
1 8
2 8
3 11
27

Regelsysteme Musterlösung HS 08
1. Aufgabe
System 2. Ordnung
-
2 2 4 8 Punkte
R +
+
1
1 Y
K s+3 + s
W
Abbildung 1: Regelkreis.
Gegeben sei der in Abb. 1 dargestellte Regelkreis.
a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktionen Gr(s) und Gw(s) für die Gleichung
Y (s) = Gr(s)R(s) + Gw(s)W(s).
b) Berechnen Sie den statischen Regelfehler, wenn gleichzeitig eine Einheitsrampenfunktion
als Referenzgrösse r(t) und eine Einheitssprungfunktion
als Störung w(t) an dem Regelkreis anliegen.
c) Nehmen Sie an, dass r(t) = 0 und als Störung w(t) eine Einheitssprungfunktion
an dem Regelkreis anliegen. Berechnen Sie eine obere Schranke
für die Verstärkung K, so dass die Überschwingweite des Ausgangssignals
nicht mehr als Mp = 0.35 beträgt.
Hinweis: Systeme 2. Ordnung mit zusätzlicher Nullstelle besitzen die Standardform
s k + 1 αζωn
H(s) = 2 s + 2ζ ωn
s
.
+ 1 ωn
Berücksichtigen Sie bei Ihren Berechnungen Abb. 2, in der die Überschwingweite
Mp als Funktion der Dämpfung ζ und der relativen Lage
α der Nullstelle dargestellt ist.
2

Regelsysteme Musterlösung HS 08
Abbildung 2: Verlauf der Überschwingweite Mp als eine Funktion der Dämpfung ζ
und der relativen Lage α der Nullstelle bzgl. der Pole. Für α = 1 haben Nullstelle
und Pole den gleichen Realteil.
3

Regelsysteme Musterlösung HS 08
Lösung für Aufgabe 1
a)
b)
Gr(s) =
K
s 2 + 3s + K , Gw(s) =
s + 3
s 2 + 3s + K .
E(s) = R(s) − Y (s) = s2 + 3s
s2 s + 3
R(s) −
+ 3s + K s2 + 3s + K W(s).
Der Endwertsatz ergibt
lim e(t) = lim
t→∞ s→0 sE(s)
s
= lim
2 + 3s
s→0 s
s 2 + 3s + K
1 s + 3
− s
s2 s2 1
+ 3s + K s
c) Die Übertragungsfunktion Gw(s) kann dargestellt werden als
Gw(s) = 3
K
s
√K
s
3
+ 1
2 + 3
.
s + 1 K
= 0.
Ein Vergleich mit der Standardform für Systeme 2. Ordnung mit Nullstelle
ergibt:
ωn = √ K, ζ = 3
2 √ K .
Dem Zähler von Gw(s) entnehmen wir
αζωn = 3 .
Also ist α = 2. Aus dem in Abb. 2 dargestellten Diagramm lässt sich
ablesen, dass für eine Überschwungweite von Mp = 0.35 die Dämpfung
ζ = 0.5 betragen muss. Dies bedeutet
K ≤
4
2 3
= 9.
2 0.5

Regelsysteme Musterlösung HS 08
2. Aufgabe
Bode-Diagramm, Impuls- und Schritt-Antworten
8 8 Punkte
a) Assoziieren Sie die Bode-Diagramme und Impulsantworten von vier offenen
Kreisen sowie die Schrittantworten der jeweiligen geschlossenen Kreise
(mit Einheitsrückführung, siehe Abbildung 2) miteinander. Alle Graphen
können zugeordnet werden.
r
−
G(s)
Abbildung 3: Geschlossener Kreis mit Einheitsrückführung.
Bodediagramm Impulsantwort Schrittantwort (geschl. Sys.)
A
B
C
D
5
y

Regelsysteme Musterlösung HS 08
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Phase (deg)
20
0
-20
360
180
0
-40
10 -2
40
0
90
0
-90
10 -1
0
-100
-200
0
-180
-360
10 -1
0
-50
-100
180
90
0
10 -1
10 -1
Bode-Diagramme (offener Kreis)
10 0
10 0
10 0
10 0
10 1
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
6
10 1
10 1
10 1
10 2
10 3
10 2
10 2
10 2
A
B
C
D

Regelsysteme Musterlösung HS 08
Amplitude
Amplitude
Amplitude
1
0.5
Impulsantworten (offener Kreis)
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Time (sec)
20
0
-20
0 5 10 15
Time (sec)
0.5
0
-0.5
0 10 20 30 40 50
Amplitude
x 107
3
2
1
Time (sec)
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Time (sec)
7
I
II
III
IV

Regelsysteme Musterlösung HS 08
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
1
0.5
-0.1
Sprungantworten (geschl. Kreis mit Einheitsrückführung)
0
0 2 4
Time (sec)
6 8 10
0.1
0
-0.2
0 20 40 60 80 100
Time (sec)
1.5
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Time (sec)
1
0.5
0
0 2 4
Time (sec)
6 8 10
8
1
2
3
4

Regelsysteme Musterlösung HS 08
Lösung für Aufgabe 2
a)
Bodediagramm Impulsantwort Schrittantwort (geschl. Sys.)
A IV 3
B II 1
C I 4
D III 2
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Regelsysteme Musterlösung HS 08
3. Aufgabe
Stabilitätskriterium von Routh
Gegeben sei der in Abb. 4 dargestellte Regelkreis für die Strecke
G(s) =
(s + 1)(s + 3)
s(s − 1)(s + 2) .
9 2 11 Punkte
Der Regelkreis enthält eine Einheitsrückführung; durch einen Schalter s1 lässt
sich der P-Regler K hinzuschalten.
.
r
+
-
s 1
K
+
+
G(s)
Abbildung 4: Regelkreis mit Einheitsrückführung und P-Regler.
a) Nehmen Sie an, dass der Schalter s1 geschlossen ist. Benutzen Sie das
Stabilitätskriterium von Routh, um die Werte von K zu bestimmen, für
die der Regelkreis stabil ist.
b) Ist das geregelte System stabil, wenn der Schalter s1 geöffnet ist? Begründen
Sie Ihre Antwort.
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y

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Lösung für Aufgabe 3
a) Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises ist
T(s) =
=
=
=
=
G(s)(1 + K)
1 + G(s)(1 + K)
(K+1)(s2 +4s+3)
s3 +s2−2s 1 + (K+1)(s2 +4s+3)
s3 +s2−2s (K+1)(s2 +4s+3)
s3 +s2−2s s3 +s2−2s+(K+1)(s2 +4s+3)
s3 +s2−2s (K + 1)(s2 + 4s + 3)
s3 + s2 − 2s + (K + 1)(s2 + 4s + 3)
(K + 1)(s2 + 4s + 3)
s3 + (K + 2)s2 + (4K + 2)s + 3(K + 1) .
Für das charakteristische Polynom s 3 + (K + 2)s 3 + (4K + 2)s 2 + 3K + 3
ergibt sich das folgende Routh Tableau:
mit
s 3 1 4K + 2 0
s 2 K + 2 3K + 3 0
s 1 b1 b2
s 0 c1
b1
(K + 2)(4K + 2) − 3K − 3
=
K + 2
b2 = 0
c1 = 3K + 3
= 4K2 + 7k + 1
K + 2
Das System ist genau dann stabil, wenn die Koeffizienten des charakteristischen
Polynoms positiv sind,
1 > 0 (1)
4K + 2 > 0 ⇒ K > − 1
2
(2)
K + 2 > 0 ⇒ K > −2 (3)
3K + 3 > 0 ⇒ K > −1 (4)
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Regelsysteme Musterlösung HS 08
und es keine Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte des Routh Tableaus
gibt (also alle Elemente der ersten Spalte positiv sind).
K + 2 > 0 ⇒ K > −2 (5)
c1 > 0 ⇒ K > −1 (6)
b1 > 0 ⇒ (K+2>0) 4K 2 + 7K + 1 > 0 (7)
⇒ K > −0.1575 or K < −1.5925
Eine Kombination der Bedingungen ergibt Stabilität für K > −0.1575.
b) Das System ist auch für offenen Schalter s1 stabil. Der geöffnete Schalter
ist gleichbedeutend mit K = 0, und aus dem Ergebnis von Aufgabenteil
wissen wir, dass das geschlossene System für K = 0 stabil ist.
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