Harri Deutsch
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Verlag<br />
<strong>Harri</strong><br />
<strong>Deutsch</strong>
Statik<br />
insbesondere Schnittprinzip<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)
G. Knappstein<br />
Statik<br />
insbesondere Schnittprinzip<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)
Der Autor<br />
Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und dem<br />
Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Berechnungsingenieur in der Industrie tätig.<br />
Er ist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der<br />
Universität Siegen.<br />
Die Webseite zum Buch<br />
http://www.harri-deutsch.de/1876.html<br />
Der Verlag<br />
Wissenschaftlicher Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> GmbH<br />
Gräfstraße 47<br />
60486 Frankfurt am Main<br />
verlag@harri-deutsch.de<br />
www.harri-deutsch.de<br />
Bibliografische Information der <strong>Deutsch</strong>en Nationalbibliothek<br />
Die <strong>Deutsch</strong>e Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der <strong>Deutsch</strong>en Nationalbibliografie;<br />
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de<br />
abrufbar.<br />
ISBN 978-3-8171-1876-2<br />
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.<br />
Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches<br />
– oder von Teilen daraus – sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche<br />
Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes<br />
Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung<br />
elektronischer Systeme verarbeitet werden.<br />
Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.<br />
Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für<br />
die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler<br />
keine Haftung.<br />
4., erweiterte Auflage 2011<br />
c○Wissenschaftlicher Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> GmbH, Frankfurt am Main, 2011<br />
Druck: fgb – freiburger graphische betriebe <br />
Printed in Germany<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)
Vorwort<br />
Das Buch wendet sich in erster Linie an Studierende in den Anfangssemestern technischer<br />
Fachrichtungen an Fachhochschulen und Universitäten. Es entspricht dem Lehrstoff des<br />
Teilgebiets Statik starrer Körper im Grundlagenfach Technische Mechanik.<br />
In der vorliegenden Auflage wird das Schnittprinzip (Schnittmethode oder Schnittverfahren)<br />
weiterhin besonders ausführlich behandelt, weil ihm in der Technischen Mechanik<br />
eine grundlegende Bedeutung zukommt.<br />
Besondere Aufmerksamkeit habe ich den Zeichnungen gewidmet, da Studierende dadurch<br />
viel schneller und besser über schwierigere Sachverhalte „im Bilde“ sind, als das je<br />
mit Text geschehen könnte.<br />
Beobachten kann man immer wieder bei den Studierenden, welch große Schwierigkeiten<br />
sie beim Lösen von Mechanikaufgaben haben, obwohl sie glauben, die - oft einfachen -<br />
Gesetzmäßigkeiten der Mechanik vollkommen verstanden zu haben. Um hier zu mehr Verständnis<br />
beizutragen, wird die vorgetragene Theorie zusätzlich mit vielen ausführlich gelösten<br />
Beispielen verständlich gemacht.<br />
Zum Erreichen eines optimalen Lernerfolgs, sollte sich der Lernende die Mühe machen,<br />
mit Bleistift und Papier die Beispiele und Aufgaben durchzuarbeiten. Der Übende kann testen,<br />
ob er in der Lage ist, ein Problem selbständig zu lösen. Unbedingt erforderlich ist, dass<br />
Aufgabenlösungen – nicht nach „Schema F“, sondern mit Verstand und den Grundgesetzen<br />
der Mechanik – durchzuführen sind. Hilfreich ist oft, die Beispiele und Aufgaben zu zweit<br />
oder zu dritt durchzuarbeiten, zu vergleichen und die Lösungen zu diskutieren.<br />
Da oft viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lösung verlieren,<br />
wenn man ihn nicht systematisch anlegt, wird ergänzend die „Technik des Aufgabenlösens“<br />
in einem eigenen Kapitel behandelt. Weiterhin werden Leitlinien zum Lösen von Mechanik-<br />
Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren angegeben. Im Anhang werden die Grundbegriffe<br />
der Vektorrechnung erläutert.<br />
Die vorliegende 4. Auflage wurde durch den neuen Abschnitt „Arbeit, Potential, Prinzip<br />
der virtuellen Verrückungen, Stabilität einer Gleichgewichtslage“ ergänzt. Außerdem habe<br />
ich das Kapitel „Aufgaben mit ausführlichen Lösungen“ neu gestaltet und auf 114 Aufgaben<br />
erweitert, eine Reihe von Ergänzungen eingearbeitet sowie im Anhang eine Zusammenstellung<br />
der Grundlagen (Formelsammlung) aufgenommen.<br />
Mein Dank gilt Frau Nicole Dröge für die Mitarbeit bei der Umsetzung der Texte und Bilder<br />
der neuen Aufgaben in eine elektronische Form. Dem Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> danke ich für<br />
die gute Zusammenarbeit.<br />
Siegen Gerhard Knappstein<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)
Inhaltsverzeichnis<br />
0 Einleitung 1<br />
1 Grundbegriffe 3<br />
1.1 Begriffserklärung „Statik starrer Körper“ ....................................................................... 3<br />
1.2 Kräfte und Kräftearten .................................................................................................... 3<br />
1.3 Streckenlasten ................................................................................................................. 4<br />
1.4 Was ist ein mechanisches System ................................................................................... 5<br />
1.5 Einteilung der Kräfte ....................................................................................................... 6<br />
1.6 Aufgabe der Statik .......................................................................................................... 7<br />
1.7 Modellbildung, Ersatzsystem, Idealisierung ................................................................... 8<br />
1.8 Rechnerische Bearbeitung von Gleichgewichtsproblemen ............................................. 8<br />
1.9 Lagerungen ...................................................................................................................... 9<br />
1.9.1 Lagerungen in der Ebene ..................................................................................... 9<br />
1.9.2 Lagerungen im Raum .......................................................................................... 10<br />
1.9.3 Verbindungselement zwischen zwei Körpern in der Ebene ................................ 11<br />
1.10 Abgrenzen (Aufteilen) eines mechanischen Systems ..................................................... 12<br />
1.11 Das Freimachen ............................................................................................................... 12<br />
1.11.1 Beispiele zum Freimachen .................................................................................. 16<br />
1.12 Erstarrungsmethode ........................................................................................................ 20<br />
1.13 Axiome der Statik ........................................................................................................... 21<br />
1.13.1 Das Gleichgewichtsaxiom ................................................................................... 21<br />
1.13.2 Das Reaktionsaxiom (Wechselwirkungsgesetz) ................................................. 21<br />
1.13.3 Das Axiom von der Verschiebbarkeit einer Kraft auf ihrer Wirkungslinie ........ 22<br />
1.13.4 Das Axiom vom Kräfteparallelogramm .............................................................. 22<br />
1.14 Schnittprinzip (Schnittmethode oder Schnittverfahren) ................................................. 22<br />
1.15 Fragen und Antworten .................................................................................................... 26<br />
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VIII Inhaltsverzeichnis<br />
2 Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt (zentrales Kräftesystem) 29<br />
2.1 Zusammensetzung und Zerlegen von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung . 29<br />
2.1.1 Beispiel ................................................................................................................ 30<br />
2.2 Gleichgewicht in der Ebene ............................................................................................ 32<br />
2.2.1 Drei nichtparallele Kräfte im Gleichgewicht ...................................................... 32<br />
2.2.2 Beispiele .............................................................................................................. 33<br />
2.3 Räumliches zentrales Kräftesystem ................................................................................ 36<br />
2.4 Fragen und Antworten .................................................................................................... 39<br />
3 Allgemeines Kräftesystem 41<br />
3.1 Allgemeines Kräftesystem in der Ebene ......................................................................... 41<br />
3.1.1 Kräftepaar und Moment des Kräftepaares .......................................................... 41<br />
3.1.2 Moment einer Kraft, Versatzmoment (Parallelverschiebung einer Kraft),<br />
Momentensatz ..................................................................................................... 42<br />
3.1.3 Resultierende und resultierendes Moment ebener Kraftsysteme ........................ 44<br />
3.1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen im ebenen Kräftesystem ........ 46<br />
3.1.4.1 Beispiele ................................................................................................ 48<br />
3.1.5 Gleichgewicht bei vier Kräften in der Ebene (Verfahren nach CULMANN) ......... 51<br />
3.1.5.1 Beispiel .................................................................................................. 51<br />
3.2 Allgemeines Kräftesystem im Raum .............................................................................. 52<br />
3.2.1 Moment einer Kraft (Momentenvektor) .............................................................. 52<br />
3.2.2 Gleichgewichtsbedingungen ............................................................................... 53<br />
3.2.3 Beispiele .............................................................................................................. 54<br />
3.3 Fragen und Antworten .................................................................................................... 58<br />
4 Schnittprinzip beim Lager sowie beim Gelenk 59<br />
4.1 Einteilige ebene Tragwerke ............................................................................................ 60<br />
4.1.1 Statische Bestimmtheit ........................................................................................ 60<br />
4.1.2 Beispiele .............................................................................................................. 61<br />
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Inhaltsverzeichnis IX<br />
4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke ......................................................................................... 63<br />
4.2.1 Statische Bestimmtheit ........................................................................................ 63<br />
4.2.2 Beispiele .............................................................................................................. 64<br />
4.3 Räumliche Tragwerke ..................................................................................................... 69<br />
4.3.1 Beispiel ................................................................................................................ 69<br />
4.4 Fragen und Antworten .................................................................................................... 72<br />
5 Schnittprinzip bei Seil, Kette und beim Stab für ebene Kraftsysteme 73<br />
5.1 Seil und Kette .................................................................................................................. 73<br />
5.1.1 Beispiele .............................................................................................................. 74<br />
5.2 Stab, ebenes Fachwerk .................................................................................................... 75<br />
5.2.1 Statische Bestimmtheit beim Fachwerk .............................................................. 76<br />
5.2.2 Aufbau eines Fachwerks ..................................................................................... 77<br />
5.2.3 Ermittlung der Stabkräfte .................................................................................... 78<br />
5.2.3.1 Knotenpunktverfahren .......................................................................... 78<br />
5.2.3.2 RITTERsches Schnittverfahren ............................................................... 79<br />
5.2.3.3 Nullstäbe erkennen ........................................................................... 85<br />
5.3 Fragen und Antworten .................................................................................................... 86<br />
6 Schnittprinzip bei Balken, Rahmen, Bogen und bei räumlich belasteten Tragwerken 87<br />
6.1 Schnittgrößen am Balken ................................................................................................ 87<br />
6.1.1 Beispiel ................................................................................................................ 88<br />
6.1.2 Differentielle Zusammenhänge zwischen Belastung und Schnittgrößen ............ 93<br />
6.1.3 Wichtige Aussagen zu den Schnittgrößen Q und M ........................................... 94<br />
6.1.4 Beispiele .............................................................................................................. 95<br />
6.1.5 Punktweise Ermittlung der Schnittgrößen ........................................................... 105<br />
6.1.6 Übersichtstabellen zu den Schnittgrößen Q und M in Abhängigkeit von<br />
Belastung, Lagerung und Verbindungsart ........................................................... 108<br />
6.2 Schnittgrößen beim Rahmen ........................................................................................... 109<br />
6.2.1 Beispiel ................................................................................................................ 110<br />
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X Inhaltsverzeichnis<br />
6.3 Schnittgrößen beim Bogen .............................................................................................. 114<br />
6.3.1 Beispiel ................................................................................................................ 114<br />
6.4 Schnittgrößen bei räumlich belasteten Tragwerken ........................................................ 118<br />
6.4.1 Beispiele .............................................................................................................. 118<br />
6.5 Fragen und Antworten .................................................................................................... 122<br />
7 Der Schwerpunkt 125<br />
7.1 Massen- bzw. Gewichtsschwerpunkt .............................................................................. 125<br />
7.1.1 Beispiel ................................................................................................................ 126<br />
7.2 Volumenschwerpunkt ..................................................................................................... 128<br />
7.2.1 Beispiel ................................................................................................................ 128<br />
7.3 Flächenschwerpunkt ........................................................................................................ 129<br />
7.3.1 Beispiel ................................................................................................................ 130<br />
7.4 Linienschwerpunkt .......................................................................................................... 131<br />
7.4.1 Beispiel ................................................................................................................ 131<br />
7.5 Tabellen mit Schwerpunktkoordinaten ........................................................................... 132<br />
7.6 Regeln von PAPPUS und GULDIN bei Rotationskörpern ................................................... 134<br />
7.6.1 Oberflächenberechnung von drehsymmetrischen Körpern ................................. 134<br />
7.6.1.1 Beispiel .................................................................................................. 134<br />
7.6.2 Volumenberechnung von drehsymmetrischen Körpern ...................................... 135<br />
7.6.2.1 Beispiel .................................................................................................. 135<br />
7.7 Fragen und Antworten .................................................................................................... 136<br />
8 Haftung und Reibung 137<br />
8.1 COULOMBsches Reibungsgesetz ...................................................................................... 137<br />
8.1.1 Beispiele .............................................................................................................. 139<br />
8.2 Haftung und Reibung an Schrauben ............................................................................... 144<br />
8.3 Reibung am Keil ............................................................................................................. 146<br />
8.4 Seilhaftung und Seilreibung............................................................................................. 147<br />
8.4.1 Beispiel ................................................................................................................ 147<br />
8.5 Rollwiderstand (rollende Reibung) ................................................................................. 148<br />
8.6 Fragen und Antworten .................................................................................................... 150<br />
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Inhaltsverzeichnis XI<br />
9 Das biegeschlaffe Seil 151<br />
9.1 Seil mit beliebigem Durchhang ....................................................................................... 151<br />
9.2 Seil mit geringem Durchhang ......................................................................................... 153<br />
9.3 Beispiel ............................................................................................................................ 153<br />
9.4 Fragen und Antworten .................................................................................................... 156<br />
10 Standsicherheit 157<br />
10.1 Definition der Standsicherheit ........................................................................................ 157<br />
10.2 Beispiele .......................................................................................................................... 157<br />
11 Arbeit 161<br />
11.1 Arbeit einer Kraft, Potential …........................................................................................ 161<br />
11.2 Prinzip der virtuellen Verrückungen ............................................................................... 163<br />
11.3 Ermittlung von Schnitt- und Reaktionskräften ............................................................... 166<br />
11.4 Stabilität einer Gleichgewichtslage ................................................................................. 166<br />
11.5 Beispiele .......................................................................................................................... 167<br />
Anhang 181<br />
A1 Zeichenvereinbarungen ................................................................................................... 182<br />
A2 Rechtwinkliges Rechts-Koordinatensystem ................................................................... 182<br />
A3 Einige Grundbegriffe der Vektorrechnung<br />
(mit Beispiel: Räumlich belastetes mechanisches System) ............................................ 182<br />
- Skalare .......................................................................................................................... 182<br />
- Vektoren ....................................................................................................................... 183<br />
- Gleichheit von Vektoren ............................................................................................... 183<br />
- Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ............................................................ 183<br />
- Addition und Subtraktion von Vektoren ....................................................................... 184<br />
- Einheitsvektor ............................................................................................................... 184<br />
- Vektoren im rechtwinkligen Koordinatensystem ......................................................... 185<br />
- Skalarprodukt ................................................................................................................ 185<br />
- Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ..................................................................................... 186<br />
- Beispiel: Räumlich belastetes mechanisches System ................................................... 188<br />
A4 CREMONA-Plan ................................................................................................................. 192<br />
A5 Anschauungsmodelle zum Schnittprinzip ....................................................................... 192<br />
- Schaumgummi-Balken mit biegesteifem Stoß ............................................................. 192<br />
- Balken auf zwei Stützen mit drei herausnehmbaren Stäben ......................................... 193<br />
- Fachwerk ....................................................................................................................... 195<br />
A6 Zur Technik des Aufgabenlösens .................................................................................... 196<br />
- Das Verstehen der Aufgabe .......................................................................................... 196<br />
- Das Aufstellen des Lösungsplanes ............................................................................... 196<br />
- Die Lösung .................................................................................................................... 197<br />
- Kontrolle der Lösung .................................................................................................... 197<br />
- Wie eignen wir uns die Technik des Aufgabenlösens an? ........................................... 197<br />
- Lehrbeispiel .................................................................................................................. 198<br />
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XII Inhaltsverzeichnis<br />
A7 Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben aus der Statik ....................................... 201<br />
Aufgaben mit ausführlichen Lösungen …………………………………………………………. 203<br />
• Aufgaben zum Thema „Allgemeines Kräftesystem“ (Aufgabe 1 - Aufgabe 45) ................ 203<br />
• Aufgaben zum Thema „Gelenkträger, Dreigelenkbogen“ (Aufgabe 46 - Aufgabe 53) ...... 252<br />
• Aufgaben zum Thema „Fachwerk“ (Aufgabe 54 - Aufgabe 63) ......................................... 265<br />
• Aufgaben zum Thema „Schnittgrößenverläufe an mechanischen Systemen“ (Aufgabe 64<br />
- Aufgabe 79) ....................................................................................................................... 279<br />
• Aufgaben zum Thema „Schwerpunkt“ (Aufgabe 80 - Aufgabe 86) ................................... 312<br />
• Aufgaben zum Thema „Haftung und Reibung“ (Aufgabe 87 - Aufgabe 101) .................... 321<br />
• Aufgaben zum Thema „Kräftesystem im Raum“ (Aufgabe 102 - Aufgabe 111) ............... 344<br />
• Aufgaben zum Thema „Biegeschlaffes Seil“ (Aufgabe 112 - Aufgabe 113) ...................... 363<br />
• Aufgaben zum Thema „Standsicherheit“ (Aufgabe 114) .................................................... 366<br />
Zusammenstellung von Grundlagen aus der Statik (Formelsammlung) ………………..………. 369<br />
F1 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip ............................................. 369<br />
F2 Zentrales Kräftesystem .................................................................................................... 374<br />
F3 Allgemeines Kräftesystem .............................................................................................. 377<br />
F4 Ebenes Fachwerk ............................................................................................................ 380<br />
F5 Schnittgrößen am Balken ................................................................................................ 382<br />
F6 Schwerpunkt .................................................................................................................... 384<br />
F7 Haftung und Reibung ...................................................................................................... 388<br />
F8 Biegeschlaffes Seil .......................................................................................................... 389<br />
F9 Arbeit; Potential; Prinzip der virtuellen Verrückungen; Stabilität einer Gleichgewichtslage<br />
………………………………………………………………...……………. 391<br />
Das griechische Alphabet ……………………………………………………………….………. 393<br />
Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten ……………..…. 393<br />
Einheitennamen und Einheitenzeichen …………………………………………..……..………. 394<br />
Einige Formeln aus der Mathematik ……………………………………………..……..………. 395<br />
Literatur ......................................................................................................................................... 397<br />
Sachwortverzeichnis ...................................................................................................................... 399<br />
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Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XIII<br />
Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
• Beispiele<br />
Erstarrungsmethode <br />
Erstarrungsmethode<br />
Kräfte mit einem<br />
gemeinsamen<br />
Angriffspunkt<br />
Kräfte mit einem<br />
gemeinsamen<br />
Angriffspunkt<br />
Gleichgewicht<br />
bei drei Kräften<br />
in der Ebene<br />
(zentrales<br />
Kräftesystem)<br />
Gleichgewicht<br />
bei drei Kräften<br />
in der Ebene<br />
(zentrales<br />
Kräftesystem)<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Dachbinder-Konstruktion aus Fachwerk<br />
und Vollwandträger;<br />
Auflagerkräfte<br />
Kran-Konstruktion;<br />
Auflagerkräfte<br />
Mast mit Einzelkräften in einer Ebene;<br />
resultierende Kraft<br />
Knotenpunkt eines Fachwerks;<br />
Kräfte in den Stäben<br />
analytische und zeichnerische Lösung;<br />
Lagerkräfte<br />
analytische und zeichnerische Lösung;<br />
Lagerkräfte<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
20<br />
21<br />
30<br />
33<br />
34<br />
35
XIV Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Räumliches<br />
zentrales<br />
Kräftesystem<br />
Allgemeines<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Allgemeines<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Allgemeines<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Gleichgewicht<br />
bei vier Kräften<br />
in der Ebene<br />
(Verfahren nach<br />
CULMANN)<br />
Allgemeines<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Allgemeines<br />
Kräftesystem im<br />
Raum; skalare<br />
Gleichgewichtsbedingungen<br />
Schnittprinzip<br />
beim Lager<br />
Räumliches Fachwerk;<br />
Bestimmung der Stabkräfte<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Einseitig eingespannter Träger;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Balken, gelagert mit einem festen Lager<br />
und einem Stab;<br />
Auflagerreaktionen<br />
System, gelagert mit einem festen Lager<br />
und einem losen Lager;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Stabgestützte Scheibe, CULMANNsche<br />
Gerade;<br />
Stabkräfte<br />
gelagerter Quader;<br />
resultierendes Moment<br />
Starre Platte durch sechs Stäbe gestützt;<br />
Stabkräfte<br />
Träger auf 2 Stützen mit Kragteil;<br />
Lagerkräfte<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
37<br />
48<br />
48<br />
50<br />
51<br />
54<br />
55<br />
61
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Schnittprinzip<br />
beim Lager<br />
Schnittprinzip<br />
beim Gelenk<br />
Schnittprinzip<br />
beim Gelenk<br />
Schnittprinzip<br />
bei räumlichen<br />
Systemen<br />
Schnittprinzip<br />
bei Seil und<br />
Kette<br />
Schnittprinzip<br />
bei Seil und<br />
Kette<br />
Schnittprinzip<br />
beim Stab<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XV<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Einseitig eingespanntes Tragwerk;<br />
Lagerreaktionen<br />
Dreigelenkbogen;<br />
Lager- und Gelenkkräfte<br />
Gelenkbalken;<br />
Lager- und Gelenkkräfte<br />
Räumlich gelagerter Träger;<br />
Lager- und Stabkräfte<br />
Lastaufhängung mit Ketten;<br />
Kräfte in den Ketten<br />
Mit Seilen und losem Lager gelagerter<br />
Balken;<br />
Kräfte in den Seilen<br />
Einfaches ebenes Fachwerk;<br />
Stabkräfte<br />
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62<br />
64<br />
66<br />
69<br />
74<br />
75<br />
78
XVI Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Schnittprinzip<br />
beim Stab<br />
Schnittprinzip<br />
beim Stab<br />
Schnittprinzip<br />
am Balken<br />
Schnittprinzip<br />
am Balken<br />
Schnittprinzip<br />
am Balken<br />
Schnittprinzip<br />
am Balken<br />
Schnittprinzip<br />
am Balken<br />
Schnittprinzip<br />
am Balken.<br />
Punktweise<br />
Berechnung der<br />
Schnittgrößen<br />
Schnittprinzip<br />
am Rahmen<br />
Schnittprinzip<br />
am Bogen<br />
Fachwerk;<br />
Stabkräfte<br />
Fachwerk;<br />
Stabkräfte<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Balken auf 2 Stützen mit Kragteil;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Balken auf 2 Stützen mit Kragteil und<br />
Einzelkraftbelastung;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Balken auf 2 Stützen mit konstanter<br />
Streckenlast;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Balken auf 2 Stützen mit Belastung<br />
durch ein äußeres Moment;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Gelenkbalken mit dreiecksförmiger Streckenlast;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Balken auf 2 Stützen;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Rahmen mit einem beweglichen Lager;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Bogen mit einem beweglichen Lager;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
79<br />
80<br />
88<br />
95<br />
97<br />
100<br />
102<br />
105<br />
110<br />
114
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Schnittprinzip<br />
bei räumlichen<br />
Systemen<br />
Schnittprinzip<br />
bei räumlichen<br />
Systemen<br />
Gewichtsschwerpunkt <br />
Massenschwerpunkt <br />
Volumenschwerpunkt <br />
Flächenschwerpunkt <br />
Linienschwerpunkt <br />
Oberflächenberechnung<br />
von<br />
Rotationskörpern <br />
Volumenberechnung<br />
von<br />
Rotationskörpern<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XVII<br />
Räumlich belasteter Balken;<br />
Schnittgrößen<br />
Räumlich gekröpfter Träger;<br />
Schnittgrößen<br />
Zusammengefügter Körper;<br />
Schwerpunktkoordinate;<br />
Anwendung Momentensatz<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Quader mit eingesetztem Kunststoffzylinder;<br />
Schwerpunktkoordinaten<br />
Kreiskegelstumpf;<br />
Schwerpunktkoordinate<br />
Aus Grundformen aufgebaute Fläche;<br />
Schwerpunktkoordinaten<br />
Ebener Linienzug;<br />
Schwerpunktkoordinaten<br />
Zylindrisches Gefäß;<br />
PAPPUS-GULDINsche Regel;<br />
Oberfläche<br />
Drehsymmetrischer Ringkörper;<br />
PAPPUS-GULDINsche Regel;<br />
Volumen<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
118<br />
120<br />
126<br />
126<br />
128<br />
130<br />
131<br />
134<br />
135
XVIII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Seilhaftung und<br />
Seilreibung<br />
Biegeschlaffes<br />
Seil<br />
Masse an rauer Wand;<br />
Haftungskraft<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Masse auf rauer schiefer Ebene;<br />
Haftkraft zwischen Masse und schiefer<br />
Ebene<br />
Walze auf rauer schiefer Ebene;<br />
Kräfte zwischen Walze und schiefer<br />
Ebene und Kraft im Seil;<br />
Haftungskoeffizient<br />
Körper auf rauer schiefer Ebene;<br />
maximal mögliche Kraft F.<br />
Wann setzt Kippen ein?<br />
Rolle an rauer Wand;<br />
maximal mögliche Kraft F<br />
Ringspurzapfen;<br />
Grenzdrehmoment<br />
Seil mit Haftung;<br />
Grenzen für die Kraft F<br />
Über eine Rolle geführtes Seil;<br />
Länge des vertikalen Seilstückes<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
F<br />
F<br />
F<br />
137<br />
139<br />
140<br />
141<br />
142<br />
143<br />
147<br />
152
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XIX<br />
Standsicherheit Standsicherheit einer Zugmaschine auf<br />
geneigter Fahrbahn<br />
Standsicherheit Kippgefahr beim Stehaufmännchen<br />
Prinzip der<br />
virtuellen<br />
Verrückungen<br />
Prinzip der<br />
virtuellen<br />
Verrückungen<br />
Prinzip der<br />
virtuellen<br />
Verrückungen<br />
Prinzip der<br />
virtuellen<br />
Verrückungen<br />
Prinzip der<br />
virtuellen<br />
Verrückungen<br />
Prinzip der<br />
virtuellen<br />
Verrückungen<br />
Stabilität einer<br />
Gleichgewichtslage<br />
Kniehebelpresse;<br />
Kräfte im Gleichgewicht<br />
Scherenhebebühne;<br />
Hub- und Haltekraft<br />
ROBERVALsche Waage;<br />
Kräfte im Gleichgewichtsfall<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Flaschenzug;<br />
Gleichgewicht am Flaschenzug<br />
Scherenkonstruktion;<br />
Lagerreaktionen<br />
Gelenkträger;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Ringkörper mit zwei miteinander<br />
verbundenen Massen;<br />
Stabiles Gleichgewicht?<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
157<br />
158<br />
167<br />
168<br />
170<br />
171<br />
172<br />
174<br />
175
XX Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Stabilität einer<br />
Gleichgewichtslage<br />
Stabilität einer<br />
Gleichgewichtslage<br />
Vektorrechnung<br />
beim räumlich<br />
belasteten<br />
System<br />
Zur Technik des<br />
Aufgabenlösens:<br />
Ebenes,<br />
allgemeines<br />
Kräftesystem<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Stab mit zwei Gewichten;<br />
Stabile Gleichgewichtslagen?<br />
Balken mit Feder;<br />
Kräfte im Gleichgewicht,<br />
stabiles Gleichgewicht?<br />
Räumlich gelagerter Träger;<br />
Lager- und Stabkräfte<br />
Lehrbeispiel: Scheibe mit vier Kräften in<br />
einer Ebene;<br />
Bestimmung der Kräfte für das<br />
Gleichgewicht<br />
• Aufgaben im Anhang<br />
Kräftesystem in Laufkatze eines Kranes;<br />
der Ebene<br />
resultierende Kraft<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Drei Kräfte in einer Ebene;<br />
resultierende Kraft<br />
Rundhaken;<br />
resultierende Kraft<br />
Kräfte in der Ebene;<br />
resultierende Kraft,<br />
Moment der Kräfte<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
A<br />
177<br />
178<br />
188<br />
198<br />
203<br />
204<br />
205<br />
206
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Allgemeines<br />
Kräftesystem<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXI<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Drei Kräfte in einer Ebene;<br />
resultierende Kraft und Moment<br />
Fünf Kräfte in einer Ebene;<br />
Resultierende<br />
Seilaufhängung;<br />
Seilkräfte<br />
Seil mit zwei Lasten;<br />
Seilkräfte<br />
Tragwerk aus zwei Stäben;<br />
Stabkräfte<br />
Abgespannter Mast;<br />
Komponenten und Lage der Seilkraft<br />
Zwei gelagerte Walzen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Walze über Hindernis;<br />
Horizontale Zugkraft<br />
Walze am Hindernis;<br />
Horizontale Zugkraft beim Abheben<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
F<br />
G r<br />
208<br />
209<br />
211<br />
212<br />
213<br />
214<br />
216<br />
218<br />
218
XXII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Gelagerte Kugel;<br />
Seilkraft und Normalkraft<br />
Zwei verbundene Walzen;<br />
Seilkraft und Winkel<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Kräfte an einem Punkt;<br />
Lage der Kräfte für Gleichgewicht<br />
Zwei Walzen auf Hubgabel;<br />
Winkel für Gleichgewichtslage<br />
Balken;<br />
Lagerkräfte<br />
Scheibe;<br />
Lagerkräfte<br />
Scheibenförmiger Körper;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Balken mit Kragteil;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Schräg gelagerter Träger;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
r<br />
r 2<br />
219<br />
220<br />
221<br />
223<br />
224<br />
225<br />
226<br />
227<br />
227
I Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXIII<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Wagen auf schiefer Ebene;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Abgestütztes Fahrzeug;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Gelagerter Lastwagen;<br />
Lager- und Haltekräfte für<br />
Gleichgewicht<br />
Träger auf 2 Stützen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Abgewinkelter Träger auf 2 Stützen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Geknickter Träger auf 2 Stützen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Träger auf 2 Stützen mit Kragteil;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Fachwerk mit Seilscheibe;<br />
Auflagerreaktionen und Stabkräfte C<br />
Einseitig eingespannter Träger;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Gekrümmter Balken;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
228<br />
229<br />
230<br />
231<br />
232<br />
233<br />
234<br />
235<br />
236<br />
237
XXIV Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
System mit zwei Seilrollen;<br />
Stabkräfte<br />
Befestigte Stange;<br />
Seilkraft und Stangenkraft<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Lagerung von 3 Walzen;<br />
Untersuchung der Gleichgewichtslage<br />
Gegabelter Balken mit Rollen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Tragwerk aus Rahmen und Bogen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Tragwerk aus Balken und Bogen;<br />
Auflagerreaktionen<br />
Gelenkträgersystem;<br />
Auflagerreaktionen und Gelenkkräfte<br />
Greifzange mit Werkstück;<br />
Seilkräfte, Stabkraft, Greifkraft<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
238<br />
239<br />
240<br />
241<br />
242<br />
243<br />
244<br />
245
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Kräftesystem in<br />
der Ebene<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXV<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Spannvorrichtung;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft,<br />
Spannkraft<br />
System aus Balken und Stäben;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkräfte,<br />
Stabkräfte<br />
Speichenrad;<br />
Kräfte in den Speichen<br />
Aufgehängte quadratische Scheibe;<br />
Winkel für die Gleichgewichtslage<br />
Sechseckscheibe mit drei Stäben;<br />
Stabkräfte<br />
Gelenkträger;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkräfte<br />
GERBER-Träger;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkräfte<br />
Gelenkträger;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Gelenkkraft<br />
Dreigelenkkonstruktion;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Dreigelenkbogen;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
246<br />
247<br />
248<br />
249<br />
250<br />
252<br />
254<br />
255<br />
256<br />
258
XXVI Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Mehrteilige<br />
ebene Tragwerke<br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Dreigelenkbogen;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft<br />
Tragwerk mit Umlenkrolle;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft<br />
Dreigelenkrahmen;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft<br />
Arbeitsbühne;<br />
Auflagerreaktionen, Stabkräfte<br />
Rolle am Fachwerk;<br />
Seilkraft, Auflagerreaktionen,<br />
Stabkräfte<br />
Transportgestell;<br />
Seilkraft,<br />
Stabkräfte<br />
Rettungsleiter;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Stabkräfte<br />
Fachwerk;<br />
Auflagerreaktionen, Stabkräfte<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
259<br />
260<br />
261<br />
265<br />
266<br />
268<br />
269<br />
270
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Fachwerkkonstruktionen <br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXVII<br />
Fachwerkkran;<br />
Stabkräfte<br />
Fachwerk;<br />
Stabkräfte<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Fachwerk mit abgewinkeltem Träger;<br />
Auflagerreaktionen, Stabkräfte<br />
An Wand befestigtes Fachwerk;<br />
Auflagerreaktionen, Stabkräfte<br />
Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau;<br />
Stabkräfte<br />
Balken mit Strebe;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Eingespannter Balken;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Gelenkträger;<br />
maximale Biegemomente<br />
Träger auf 2 Stützen mit Kragteil;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Träger auf 2 Stützen;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
271<br />
272<br />
273<br />
275<br />
276<br />
279<br />
281<br />
282<br />
283<br />
285
XXVIII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößen an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Abgeknickter Träger auf 2 Stützen;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Biegemomentenverlauf<br />
Balken mit auskragendem Bogen;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Abgeknickter Träger auf 2 Stützen;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Schräger Balken mit Streckenlast;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Gegabelter Balken mit Pendelstab;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Rahmen;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Dreigelenkrahmen;<br />
Auflagerreaktionen, Gelenkkraft,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Gerader Träger mit Kragteilen;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Teilweise gekrümmter Träger;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Abgewinkelter Träger;<br />
Auflagerreaktionen,<br />
Schnittgrößenverläufe, maximales<br />
Biegemoment<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
.<br />
287<br />
288<br />
290<br />
293<br />
296<br />
298<br />
301<br />
304<br />
306<br />
307
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
an<br />
mechanischen<br />
Systemen<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXIX<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Halbkreisförmige Rinne;<br />
Momenten- und Querkraftverlauf<br />
Schwerpunkt Geradlinig begrenzte Querschnittsfläche;<br />
Lage des Schwerpunktes<br />
Schwerpunkt Kreisrunder Querschnitt mit Aussparung;<br />
Lage des Schwerpunktes<br />
Schwerpunkt Stanzteil;<br />
Linien- und Flächenschwerpunkt<br />
Schwerpunkt Aufgehängte Scheibe;<br />
Flächenschwerpunkt<br />
Schwerpunkt Räumlich abgewinkelter Körper;<br />
Volumenschwerpunkt<br />
Schwerpunkt<br />
(PAPPUS-<br />
GULDIN)<br />
Schwerpunkt<br />
(PAPPUS-<br />
GULDIN)<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Drehsymmetrischer Ringkörper;<br />
Volumen, Oberfläche,<br />
Gewichtsschwerpunkt<br />
Drehsymmetrischer Ringkörper;<br />
Volumen, Oberfläche,<br />
Gewichtsschwerpunkt<br />
Gestützte Halbkugel;<br />
erforderliche Last für Gleichgewicht<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
Flüssigkeit<br />
r<br />
310<br />
312<br />
313<br />
313<br />
315<br />
316<br />
317<br />
319<br />
321
XXX Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Halbzylinder in Ecke;<br />
Erforderlicher Haftungskoeffizient<br />
Gelagerte Scheibe (raue und glatte<br />
Wand);<br />
Erforderlicher Haftungskoeffizient,<br />
Stangenkraft<br />
Brett über Graben;<br />
Untersuchung der Gleichgewichtslage<br />
Brett über Graben;<br />
Untersuchung der Gleichgewichtslage<br />
Wagen auf schiefer Ebene;<br />
Erforderlicher Reibungskoeffizient<br />
Zwei aufeinanderliegende Klötze;<br />
erforderliche Kraft zum Herausziehen<br />
Leiter;<br />
maximale Schrägstellung<br />
Rammbär;<br />
erforderliche Kraft zum Hochheben<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
S<br />
r<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
323<br />
323<br />
325<br />
326<br />
327<br />
329<br />
330<br />
331
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Haftung und<br />
Reibung<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXXI<br />
Keile;<br />
Hebe- und Senkkraft<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Stabwerk durch Seile gehalten;<br />
Seilkräfte, Stabkräfte,<br />
Haftungskoeffizient<br />
Bandbremse;<br />
Bremskraft, Selbsthemmung<br />
Zwei durch ein Seil verbundene Quader;<br />
erforderlicher Haftungskoeffizient<br />
Förderband;<br />
erforderliches Antriebsmoment,<br />
Bandkräfte und Lagerkräfte<br />
Kraftfahrzeug (rollende Reibung);<br />
Antriebsmoment<br />
Kräfte an einem Knoten;<br />
Stabkräfte<br />
Dreibock;<br />
Stabkräfte<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
C<br />
333<br />
334<br />
337<br />
338<br />
340<br />
341<br />
344<br />
344
XXXII Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben<br />
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Dreibein;<br />
Stabkräfte<br />
Räumlicher Rahmen;<br />
Lagerkräfte und Seilkraft<br />
Sechskomponentenwaage;<br />
Stabkräfte<br />
Räumlich gelagerte Platte;<br />
Einheitsvektoren, Stabkräfte<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Räumlich gelagerte Platte;<br />
Auflagerreaktionen, Stabkräfte<br />
Räumlich gelagerter Körper;<br />
Auflagerreaktionen, Seilkräfte<br />
Räumlich gelagerter Quader;<br />
Stabkräfte<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
y<br />
346<br />
348<br />
350<br />
351<br />
354<br />
356<br />
359
Mechanisches<br />
Stoffgebiet<br />
Kräftesystem im<br />
Raum<br />
Biegeschlaffes<br />
Seil<br />
Biegeschlaffes<br />
Seil<br />
Inhalt / Übersicht der ausführlich gelösten Beispiele und Aufgaben XXXIII<br />
Räumlich belasteter Träger;<br />
Schnittgrößenverläufe<br />
Erläuterung "Info"-Bild Seite<br />
Seil unter Eigengewicht;<br />
Integrationskonstanten der Seillinie,<br />
Seillänge, Seilkraft<br />
Seil mit konstanter Streckenlast;<br />
Horizontalzug, Seillänge,<br />
maximale Seilkraft<br />
Standsicherheit Autodrehkran;<br />
Standsicherheit<br />
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360<br />
363<br />
365<br />
366
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0 Einleitung<br />
Die Mechanik ist ein grundlegendes Teilgebiet der Physik. Sie hat die Aufgabe, die in der Natur<br />
auftretenden Bewegungen der Körper einschließlich der Bewegung mit der Geschwindigkeit Null,<br />
also die Ruhe, zu beschreiben. Außerdem beschäftigt sie sich mit den durch Kräfte hervorgerufenen<br />
Formänderungen.<br />
Unter der Technischen Mechanik verstehen wir die klassische Mechanik mit Zuschnitt auf die<br />
Behandlung ingenieurtechnischer Probleme.<br />
Das folgende Schema gibt eine grobe Einteilung der Technischen Mechanik.<br />
Kinematik<br />
Lehre von den Bewegungen<br />
(ohne Betrachtung der Kräfte)<br />
Technische Mechanik<br />
Statik<br />
Dynamik<br />
Lehre von den Kräften und den mit ihnen im<br />
Zusammenhang stehenden Bewegungen<br />
Kräfte sind im Gleichgewicht<br />
(Zeit spielt keine Rolle)<br />
Festigkeitslehre<br />
Kinetik<br />
(auch Elastostatik genannt)<br />
Bewegungen von Massen<br />
unter der Wirkung von Kräften<br />
Eine weitere Einteilung nach der Beschaffenheit der Körper ist ebenso üblich. So sprechen wir je<br />
nach Aggregatzustand der Körper von<br />
• der Mechanik fester Körper,<br />
• der Mechanik flüssiger Körper und<br />
• der Mechanik gasförmiger Körper.<br />
Die festen Körper können wir unterteilen in<br />
• starre Körper,<br />
• elastische Körper oder<br />
• plastische Körper.<br />
Verformungen und Beanspruchungen von elastischen Körpern zu ermitteln, ist Aufgabe der Festigkeitslehre,<br />
zu deren Behandlung mindestens aus dem Gebiet der Statik Grundkenntnisse vorhanden<br />
sein müssen.<br />
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2<br />
Notizen<br />
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1 Grundbegriffe<br />
Die Statik ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf<br />
Körper in Ruhe bzw. im Gleichgewicht (Bild 1.1).<br />
Im Folgenden werden weitere Grundbegriffe und Erfahrungstatsachen<br />
erläutert, die bei der Untersuchung statischer Probleme<br />
immer wieder auftauchen.<br />
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S<br />
Gewicht in Ruhelage;<br />
Seilkraft S wirkt der<br />
Gewichtskraft G<br />
entgegen<br />
G<br />
Bild 1.1: Gewicht in Ruhelage<br />
1.1 Begriffserklärung „Statik starrer Körper“<br />
Sind die Deformationen<br />
an einem festen Körper infolge<br />
der auf ihn wirkenden<br />
Kräfte so klein, dass<br />
dabei die Änderung der<br />
Geometrie des Gebildes<br />
auf die statische Berechnung<br />
praktisch ohne Ein-<br />
Körper vor der<br />
Belastung<br />
fluss bleibt, so wird der Körper idealisiert zu einem starren Körper (Bild 1.2).<br />
Ein starrer Körper ändert unter Einfluss von Kräften seine Gestalt nicht.<br />
Die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewicht nennen wir „Statik<br />
starrer Körper“.<br />
1.2 Kräfte und Kraftarten<br />
Körper nach<br />
der Belastung<br />
Bild 1.2: Starrer Körper – deformierbarer Körper<br />
In der Statik ist die Kraft einer der wichtigsten Begriffe. Die Kraft kann an ihrer Wirkung erkannt<br />
und gemessen werden. Zum Beispiel verspüren wir beim Heben eines Körpers über unsere Muskelkraft<br />
das Eigengewicht des Körpers.<br />
Die Einzelkraft ist eine vektorielle Größe und<br />
ist durch drei Bestimmungsstücke zu beschreiben<br />
(Bild 1.3):<br />
1. Betrag (Größe) der Kraft,<br />
2. Richtung der Kraft (Wirkungslinie und<br />
Richtungssinn),<br />
3. Angriffspunkt der Kraft.<br />
Die zeichnerische Darstellung einer Kraft erfolgt<br />
durch einen Pfeil, der gemäß Bild 1.3 die<br />
Richtung bestimmt und dessen Länge den absoluten<br />
Betrag angibt, wozu ein Umrechnungs-<br />
2 kN<br />
maßstab (z.B. Kräftemaßstab m F = ) notwendig ist.<br />
1cm<br />
Hinweis: Da aus der zeichnerischen Darstellung einer Kraft durch einen Pfeil der Vektorcharakter<br />
eindeutig hervorgeht, schreiben wir meistens nur noch an den Pfeil den entsprechenden<br />
Schriftbuchstaben (z.B. F statt F r Betrag<br />
F<br />
Wirkungslinie<br />
Richtungssinn<br />
F<br />
Angriffspunkt<br />
Bild 1.3: Darstellung einer Einzelkraft<br />
).<br />
F<br />
Körper nach<br />
der Belastung<br />
deformierbarer Körper starrer Körper<br />
F
4 Grundbegriffe<br />
Die Einheit der Kraft ist das NEWTON (N), benannt nach dem englischen Naturforscher ISAAC<br />
NEWTON�, m<br />
N = kg . 2<br />
s<br />
Je nach Einwirkung auf einen Körper können die Kräfte in verschiedenen Formen auftreten (siehe<br />
folgende Tabelle).<br />
Es sind dies folgende Kraftarten:<br />
Kraftart Symbol Dimension<br />
(beispielhaft)<br />
Einzelkraft<br />
Linienkraft<br />
(Streckenlast)<br />
Flächenkraft<br />
Volumenkraft<br />
N<br />
kN<br />
MN<br />
N/m<br />
kN/m<br />
MN/m<br />
2<br />
N/m<br />
2<br />
kN/m<br />
2<br />
MN/m<br />
3<br />
N/cm<br />
3<br />
kN/m<br />
3<br />
MN/m<br />
Bemerkung Beispiel<br />
wirkt auf einem Punkt<br />
(Idealisierung, da Kräfte nur<br />
auf Flächen wirken)<br />
wirkt längs einer Linie<br />
(Idealisierung)<br />
wirkt flächenhaft verteilt<br />
wirkt räumlich verteilt an<br />
allen Elementen eines Körpers<br />
Stabkräfte,<br />
Lagerkräfte<br />
Gewichtskraft eines<br />
Trägers<br />
Schneelast,<br />
Windlast,<br />
Erddruck,<br />
Flächenlager<br />
Schwerkraft,<br />
spezifische Gewichte<br />
Zu beachten ist außerdem die Art der Aufbringung der äußeren Kräfte.<br />
Bei allmählich anwachsender Belastung über einen längeren Zeitraum verteilt sprechen wir von<br />
einer statischen Belastung. Tritt eine plötzliche Belastung in Verbindung mit Bewegungsenergie<br />
(z.B. Stoß) auf, so wird neben dem Eigengewicht noch kinetische Energie wirksam, so dass eine<br />
dynamische Belastung vorliegt und äußere und innere Kräfte nicht im Gleichgewicht sind.<br />
1.3 Streckenlasten<br />
x<br />
q( x)<br />
Bild 1.4: Balken mit<br />
Streckenlast q( x<br />
)<br />
Streckenlasten (Ausdruck Linienlasten ist auch gebräuchlich) sind<br />
über eine gewisse Strecke kontinuierlich verteilt am Balken angreifende<br />
Lasten (Bild 1.4). Die Maßangabe ist Kraft je Längeneinheit<br />
(z.B. N/m, kN/m). Streckenlasten sind zum Beispiel: Eigengewichte<br />
von Balken, Schneelast, durch Wind oder elektromagnetische Felder<br />
verursachte Belastung. Sie werden mit q bezeichnet. Die Streckenlast<br />
kann sich also von Punkt zu Punkt ändern.<br />
Für Gleichgewichtsbetrachtungen können wir die Streckenlast über die Länge durch die Resultierende<br />
R q im Schwerpunkt der Intensitätsfläche ersetzen (siehe nachfolgende Beispiele). Die Resultierende<br />
R q ergibt sich aus der Integration über die Länge (entspricht der eingeschlossenen Fläche<br />
unter der q( x)<br />
-Linie).<br />
� NEWTON, ISAAC (1643-1727), englischer Naturforscher. Entdecker des Gesetzes der Gravitation.<br />
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Beispiele:<br />
• Konstante Streckenlast<br />
• Dreiecksförmige Streckenlast<br />
• Trapezförmige Streckenlast<br />
l<br />
Was ist ein mechanisches System? 5<br />
q 0<br />
R 1<br />
q = q l<br />
2 0<br />
Bild 1.6: Dreiecksförmige Streckenlast und deren Resultierende R q<br />
q 0<br />
l<br />
q 1<br />
1.4 Was ist ein mechanisches System?<br />
(Flächeninhalt<br />
des Lastdreiecks)<br />
Eine Maschine, ein Tragwerk oder eine andere technische Konstruktion bezeichnen wir als ein<br />
mechanisches System. Mechanische Systeme sind z.B. in den Bildern 1.8, 1.9, 1.10 und 1.11 dargestellt.<br />
Ein mechanisches System besteht aus mehreren Teilen oder Körpern, die unter gewissen<br />
Voraussetzungen als starr angesehen werden können und aufeinander Kräfte ausüben.<br />
F<br />
F<br />
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q 0 l<br />
1<br />
2 l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
3 1<br />
1 q<br />
2 0 l q ( - 1 )<br />
1 l<br />
3<br />
(Überlagerung von<br />
konstanter Streckenlast<br />
und Dreieckslast)<br />
Bild 1.7: Ersatz der trapezförmigen Streckenlast durch zwei resultierende Einzelkräfte<br />
a)<br />
q q = = q q = konstant<br />
0<br />
l<br />
Bild 1.5: Konstante Streckenlast und deren Resultierende R R q<br />
b) c)<br />
Bild 1.8: Beispiele für mechanische Systeme: a) Schere b) Spannsystem c) Ausleger mit Rolle<br />
l<br />
2 l<br />
2<br />
R R q = q l 0 (Flächeninhalt<br />
des Lastrechtecks)<br />
F<br />
l<br />
2 l<br />
2<br />
G
6 Grundbegriffe<br />
1.5 Einteilung der Kräfte�<br />
bekannte vorgegebene Kräfte<br />
A AH H<br />
MA MA A V<br />
q F<br />
A G B<br />
A<br />
Reaktionskräfte<br />
äußere Kräfte innere Kräfte<br />
- bekannte vorgegebene (eingeprägte) Kräfte (Bild<br />
1.9), hervorgerufen durch z.B. Gewichtskräfte,<br />
Wind- und Schneelasten, Zahnräder, Reibungswiderstände,<br />
Zerspanungswiderstände<br />
- Reaktionskräfte (Zwangskräfte) (Bild 1.9) z.B. Auflagerreaktionen<br />
q F<br />
G<br />
Bild 1.9: Zur Begriffsbestimmung „äußere<br />
Kräfte“<br />
B<br />
Freikörperbild<br />
M 0<br />
M 0<br />
Kräfte innerhalb eines mechanischen Systems<br />
oder eines starren Körpers, z.B.<br />
- Reaktionskräfte im starren Körper (Bild 1.11)<br />
- Reaktionskräfte in den Verbindungsstellen<br />
zwischen zwei starren Körpern (Bild 1.10)<br />
Bild 1.10: Zur Begriffsbestimmung<br />
„innere Kräfte“; Gelenkträger<br />
F F 1 =F<br />
F 2<br />
innere Kräfte<br />
F F4=F 4 4=F<br />
F=F<br />
F 3<br />
=F<br />
F F<br />
Bild 1.11: Zur Begriffsbestimmung „innere<br />
Kräfte“; starrer Körper<br />
Innere Kräfte treten stets paarweise auf.<br />
Die Einteilung nach äußeren und inneren Kräften ist relativ. Sie hängt davon ab, welches System<br />
wir untersuchen (betrachten, abgrenzen) wollen.<br />
Fassen wir das Gesamtsystem in Bild 1.10 als das System auf, welches wir insgesamt betrachten<br />
wollen, so sind die im Gelenk G zwischen den beiden starren Körpern 1 und 2 wirkenden Kräfte<br />
G H und G V innere Kräfte.<br />
Trennen wir dagegen das Gesamtsystem (Bild 1.10) und betrachten nur den Körper 1 oder nur den<br />
Körper 2 als unser System, so sind die Kräfte G H und G V jetzt äußere Kräfte (Bild 1.12).<br />
� Hier und im Folgenden wird manchmal das Wort Kräfte im verallgemeinerten Sinne gebraucht. Es umfasst sowohl<br />
Kräfte als auch Momente.<br />
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A<br />
A H<br />
A V<br />
q<br />
B<br />
innere Kräfte<br />
F 1<br />
B G C<br />
1 2<br />
q G<br />
F 1<br />
G V<br />
G H<br />
G H<br />
G GV<br />
V<br />
Freikörperbild<br />
F F2<br />
2<br />
F F2<br />
2<br />
C
A H<br />
A V<br />
Dies gilt auch sinngemäß für den in<br />
Bild 1.11 dargestellten Gesamtkörper<br />
(siehe Bild 1.13).<br />
1.6 Aufgabe der Statik<br />
Aufgabe der Statik 7<br />
q G F 1<br />
B<br />
G H<br />
1 G<br />
G H<br />
V<br />
2<br />
alle Kräfte sind hier äußere Kräfte<br />
Bild 1.12: Gelenkträger nach Bild 1.10 im Gelenk G getrennt<br />
F<br />
Mit den Verfahren der Statik werden die von den bekannten vorgegebenen Kräften verursachten<br />
unbekannten Reaktionskräfte (an den Auflagern (Bild 1.14b) oder an den Verbindungsstellen oder<br />
im starren Körper (Bild 1.14c)) ermittelt, die vorhanden sein müssen, damit das betrachtete System<br />
im Gleichgewicht gehalten wird.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
A H<br />
A H<br />
A<br />
A A V<br />
A A V<br />
linker Teil<br />
Q<br />
M<br />
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G V<br />
F F2<br />
2<br />
Bild 1.13: Geschnittener Körper nach Bild 1.11<br />
F 1 F F2<br />
2<br />
F 1 F F2<br />
2<br />
N<br />
M<br />
C<br />
F 4=F 4 4=F F 3<br />
Bild 1.14: Unbekannte Kräfte ermitteln<br />
a) Träger auf zwei Stützen (Prinzipskizze)<br />
b) Freikörperbild<br />
c) Freikörperbild für linken und rechten Teil<br />
N<br />
F F 1 , F F2<br />
2 , A , , A A H V , B<br />
H V , B<br />
H bekannt<br />
M, Q, N unbekannt<br />
alle Kräfte sind hier äußere Kräfte<br />
B<br />
B<br />
Q<br />
F F 1 , F F2<br />
2<br />
A , , A A V , B<br />
H<br />
F 1 F F2<br />
2<br />
rechter Teil<br />
F =F F<br />
bekannt<br />
unbekannt<br />
B
8 Grundbegriffe<br />
1.7 Modellbildung, Ersatzsystem, Idealisierung<br />
Die Bearbeitung eines technischen Problems bei mechanischen Systemen erfordert meistens eine<br />
Modellbildung. Hierunter verstehen wir eine Idealisierung (z.B. punktförmiger Kraftangriff;<br />
starrer Körper), das heißt, Vereinfachung des Problems durch Weglassung unwesentlicher Größen<br />
und Eigenschaften, die auf das Ergebnis von vernachlässigbarem Einfluss sind. Durch die Bildung<br />
von Ersatzsystemen wird ein statisches Problem überschaubarer. Es werden Bedingungen<br />
formuliert unter denen die Ersatzsysteme gültig sind.<br />
1.8 Rechnerische Bearbeitung von Gleichgewichtsproblemen<br />
Die zur Lösung von Gleichgewichtsproblemen erforderlichen Arbeiten müssen meistens in<br />
folgenden Schritten ausgeführt werden:<br />
� Beschreibung der Wirklichkeit: Geometrie, Lasten (z.B. in Form einer technischen Zeichnung).<br />
planmäßiges Vorgehen<br />
A<br />
Anker<br />
Anker<br />
Riemenscheibe<br />
G 1<br />
G 1<br />
Riemenscheibe<br />
B<br />
G 2<br />
G 2<br />
G 2<br />
F 1<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
F 2<br />
F 3<br />
F 4<br />
A B<br />
A H<br />
A V<br />
F 1<br />
F 1<br />
F 2<br />
G 1<br />
Elektromotorenwelle mit Festund<br />
Loslager; Zeichnung<br />
Dachbinder mit Pendelstütze; Zeichnung<br />
� Abgrenzen (Aufteilen) eines mechanischen Systems.<br />
A H<br />
A V<br />
G 1<br />
B<br />
G 2<br />
F 1<br />
F 2<br />
2 F2<br />
F F2<br />
F 3<br />
F 3<br />
F 4<br />
F 4<br />
F 3<br />
B<br />
F 4<br />
A AH<br />
H<br />
M A<br />
A<br />
A V<br />
F 1<br />
vertikale Stütze mit Konsole<br />
aus -Trägern; Zeichnung<br />
Es werden die mit der Strichlinie umfahrenen Teile betrachtet.<br />
� Modellbildung: Anfertigen einer idealisierten Darstellung � (Prinzipskizze; Ersatzsystem).<br />
� Das Freimachen (Befreiungsprinzip; Anfertigen eines Freikörperbildes).<br />
Freikörperbilder oder freigemachte Systeme<br />
� Erfüllung des Gleichgewichts: Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen.<br />
� Auflösung der Gleichungen nach den Unbekannten. Zuvor prüfen, ob die Zahl der Gleichungen mit<br />
der Zahl der Unbekannten übereinstimmt.<br />
� Überprüfung der Ergebnisse (z.B. mittels der Anschauung).<br />
Es gilt, dieses sehr hilfreiche planmäßige Vorgehen immer wieder anzuwenden.<br />
� In der Regel wird dem Lernenden in den Anfangssemestern eine idealisierte Darstellung (Ersatzsystem) gegeben, so<br />
dass er sofort mit dem Punkt � (Das Freimachen) beginnen kann.<br />
F 1<br />
F 1<br />
F 1<br />
F 2<br />
F 2<br />
F F2<br />
2<br />
F F2<br />
2
1.9 Lagerungen<br />
Lagerungen 9<br />
Maschinen und Tragwerke sind mit ihrer Umgebung durch Lager verbunden. Die Lager übertragen<br />
Kräfte. Diese Kräfte von der Umgebung auf den Körper bezeichnen wir als Lagerreaktionen. Jede<br />
Lagerreaktion übt einen Zwang auf den Körper aus (wirkt als Fessel).<br />
1.9.1 Lagerungen in der Ebene<br />
Lagerung Symbol freigemachte<br />
Lagerstelle<br />
Loses Lager (einwertig)<br />
Seil<br />
Lose Lager (einwertig)<br />
Pendelstütze<br />
Rollkufe<br />
Loses Lager (einwertig)<br />
90°<br />
Feste Lager (zweiwertig)<br />
glatte Oberfläche<br />
Festes Lager (zweiwertig)<br />
raue Oberfläche<br />
"verschiebliche Einspannung"<br />
Parallelführungen (zweiwertig)<br />
Anzahl der unbekanntenLagerreaktionen<br />
(Fesseln)<br />
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90°<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2
10 Grundbegriffe<br />
Lagerung Symbol freigemachte<br />
Lagerstelle<br />
"verschiebliche Einspannung"<br />
Schiebehülse (zweiwertig)<br />
Einspannung (dreiwertig)<br />
1.9.2 Lagerungen im Raum<br />
Anzahl der unbekanntenLagerreaktionen<br />
(Fesseln)<br />
Lagerung freigemachte Lagerstelle Anzahl der unbekanntenLagerreaktionen<br />
(Fesseln)<br />
einwertiges Lager<br />
nur eine Kraft in Längs-<br />
achsenrichtung des Verbindungsstückes<br />
1<br />
Verbindungsstück<br />
einwertige Lager<br />
zweiwertige Lager<br />
Rolle auf<br />
rauer Oberfläche<br />
zweiwertiges Lager<br />
Kugel glatte Oberfläche<br />
Rad mit zweiseitigem<br />
Spurkranz auf Schiene<br />
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2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2
Lagerungen 11<br />
Lagerung freigemachte Lagerstelle Anzahl der unbekanntenLagerreaktionen<br />
(Fesseln)<br />
dreiwertige Lager<br />
dreiwertige Lager<br />
Kugel in Gelenkpfanne<br />
(Kugelgelenk)<br />
raue Oberfläche raue Oberfläche oder<br />
scharfe Spitze<br />
vierwertiges Lager<br />
fünfwertiges Lager<br />
sechswertiges Lager<br />
reibungsfreies Scharnier<br />
(axial verschiebbar)<br />
Bolzenlager (axial fest)<br />
Einspannung<br />
1.9.3 Verbindungselement zwischen zwei Körpern in<br />
der Ebene<br />
Verbindungselement freigemachte Verbindungsstelle<br />
(Verbindungsreaktionen)<br />
Momentengelenk (Gelenk)<br />
G<br />
1 2<br />
zwischen den beiden Körpern bestehen die Gesetzmäßigkeiten<br />
nach dem Wechselwirkungsgesetz<br />
(actio = reactio)<br />
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G z<br />
G x<br />
G x<br />
G z<br />
3<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
Anzahl der Verbindungsreaktionen<br />
2
12 Grundbegriffe<br />
1.10 Abgrenzen (Aufteilen) eines mechanischen<br />
Systems<br />
Dieses Thema finden wir auch unter Schritt � (Bearbeitung von Gleichgewichtsproblemen), Seite<br />
8.<br />
Beim Abgrenzen wird festgelegt, welcher Körper oder welcher Teil eines mechanischen Systems<br />
betrachtet wird, z.B. die gesamte Konstruktion (Bild 1.15b) (wenn wir nur die Auflager zu berechnen<br />
und zu konstruieren haben, brauchen wir ja nur die Auflagerkräfte in A und B), nur den Vollwandträger<br />
(Bild 1.15c), nur den Fachwerkträger (Bild 1.15d), nur einzelne Teile des Fachwerkträgers<br />
(Bilder 1.15e und 1.15f). Die Umrisslinie des jeweils zu betrachtenden Körpers oder Teils ist<br />
hier durch eine gestrichelte Linie dargestellt.<br />
Vollwandträger<br />
F 1<br />
F 3<br />
A<br />
F 2<br />
B<br />
F 4<br />
Fachwerkträger<br />
F 3<br />
a)<br />
F 1<br />
A B<br />
F 2<br />
d)<br />
1.11 Das Freimachen<br />
q<br />
q<br />
F 4<br />
F F3<br />
3<br />
In der „Statik starrer Körper“ können nur Aufgaben richtig gelöst werden, wenn tatsächlich alle<br />
am betrachteten Körper angreifenden Kräfte in die Untersuchung einbezogen werden.<br />
Um alle am Körper angreifenden Kräfte richtig zu erfassen, sollte jeder statischen Untersuchung das<br />
sogenannte Freimachen des Körpers vorausgehen.<br />
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F 1<br />
A B<br />
F 2<br />
F F3<br />
3<br />
b)<br />
F 1<br />
A B<br />
F 2<br />
Bild 1.15: Zum „Abgrenzen“ (Gemischtbauweise: Vollwand / Fachwerk)<br />
e)<br />
q<br />
q<br />
F 4<br />
F 4<br />
F F3<br />
3<br />
F 1<br />
A B<br />
F 2<br />
F F3<br />
3<br />
F 1<br />
c)<br />
A B<br />
F 2<br />
Freimachen heißt:<br />
Wir nehmen die Nachbarkörper, die den zu betrachtenden Körper berühren, Stück für Stück weg<br />
und bringen als Ersatz dafür an den Berührungsstellen diejenigen Kräfte an, die von den weggenommenen<br />
Körpern auf den betrachteten Körper wirken.<br />
Oder anders ausgedrückt:<br />
Unter dem Freimachen des betrachteten Körpers verstehen wir das Loslösen (durch gedankliches<br />
Schneiden) dieses Körpers von seinen Bindungen und Ersatz der Wirkung der Bindungen bzw.<br />
Auflager auf den Körper durch die Reaktionskräfte.<br />
f)<br />
q<br />
q<br />
F 4<br />
F 4
Das Freimachen 13<br />
Der Richtungssinn der Kräfte an den Lager- bzw. Verbindungsstellen ist beim „Freimachen“ unbekannt<br />
– außer im Seil und an der glatten Oberfläche. Wir nehmen zuerst einen Richtungssinn an.<br />
Die Richtigkeit dieser Annahme ergibt sich infolge Berechnung aus dem Vorzeichen der gesuchten<br />
Größe (+ : die Kraft wirkt in dem angenommenen Richtungssinn, - : die Kraft wirkt dem angenommenen<br />
Richtungssinn entgegen).<br />
Den betrachteten Körper mit allen angreifenden Kräften nennen wir freigemachten Körper. Das<br />
Bild dazu heißt Freikörperbild.<br />
Für das richtige und sichere Freimachen sind die folgenden Sachverhalte bei verschiedenen<br />
Lagerungen und Abstützungen der Bauteile sehr wichtig.<br />
Bauteillagerung und<br />
Beispiel<br />
Lagerungsteile mechanisches System Freikörperbild<br />
� Seile und ähnliche flexible<br />
Körper (z.B. Ketten, Riemen,<br />
Drähte) können nur Zugkräfte<br />
in Seilrichtung aufnehmen. Der<br />
Richtungssinn dieser Kräfte<br />
(Zug) geht stets vom Angriffspunkt<br />
am freigemachten Körper<br />
weg.<br />
� Pendelstäbe (Pendelstützen)<br />
können je nach Belastungsanordnung<br />
Zug- oder Druckkräfte<br />
aufnehmen, deren Wirkungslinie<br />
die Verbindungsgerade der<br />
Gelenkpunkte ist.<br />
Der Richtungssinn der Druckkräfte<br />
geht von außen auf den<br />
Angriffspunkt am freigemachten<br />
Körper zu; bei Zugkräften<br />
ist es umgekehrt.<br />
Einzige Voraussetzung für einen<br />
Pendelstab ist, dass er nur<br />
an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen<br />
gelenkig verbunden<br />
ist und keine Kräfte an anderen<br />
Stellen aufnimmt.<br />
Die beiden Kräfte an den Gelenkpunkten<br />
sind im Gleichgewicht,<br />
das heißt, sie haben die<br />
gleiche Wirkungslinie, gleichen<br />
Betrag und sind entgegengesetzt<br />
gerichtet (Gleichgewichtsaxiom).<br />
Seil<br />
G<br />
Pendelstütze<br />
Pendelstütze<br />
2<br />
1<br />
F 1<br />
3<br />
5<br />
4<br />
Stäbe 1, 2, 3, 4 und 5<br />
sind Pendelstäbe<br />
Seilkraft Seilkraft S S (Zugkraft)<br />
(Zugkraft)<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
G<br />
F D<br />
freigemachte<br />
Pendelstütze<br />
F D<br />
freigemachte<br />
Pendelstütze<br />
F Z<br />
1<br />
freigemachter<br />
Kranhaken<br />
Kräfte sind hier als<br />
Druckkräfte eingezeichnet.<br />
Bei dieser<br />
Belastungsanordnung<br />
ist die Stütze<br />
druckbeansprucht.<br />
D F D<br />
Die Form des<br />
Pendelstabes hat<br />
keinen Einfluss auf<br />
die Wirkungslinie,<br />
den Betrag und<br />
den Richtungssinn<br />
der Kräfte.<br />
F D<br />
F<br />
Z<br />
freigemachter<br />
Stab 1<br />
Kräfte sind hier als Zugkräfte eingezeichnet.<br />
Hier ist der Stab 1 auf Zug beansprucht.
14 Grundbegriffe<br />
Bauteillagerung und<br />
Beispiel<br />
Lagerungsteile mechanisches System Freikörperbild<br />
Fortsetzung<br />
� Pendelstäbe (Pendelstützen)<br />
� Loslager nehmen nur Kräfte<br />
senkrecht zur Stützfläche auf.<br />
� Ein Festlager kann eine Lagerkraft<br />
beliebiger Größe und<br />
Richtung aufnehmen. Beim<br />
Freimachen (Kräfte in einer<br />
Ebene) ersetzen wir die Lagerkraft<br />
durch zwei senkrecht<br />
aufeinander stehende Komponenten,<br />
z.B. einer Horizontalkomponente<br />
und einer Vertikalkomponente.<br />
� Eine Einspannung kann eine<br />
nach Größe und Richtung unbekannte<br />
Lagerkraft und ein<br />
Einspannmoment aufnehmen.<br />
Die Lagerkraft wird beim Freimachen<br />
(Belastung in einer<br />
Ebene) durch zwei senkrecht<br />
aufeinander stehende Komponenten<br />
ersetzt.<br />
� Eine gekrümmte glatte Stützfläche<br />
(ohne Reibung) (auch<br />
Kante und Ecke mit sehr kleinem<br />
Rundungsradius) kann<br />
nur eine Kraft aufnehmen. Ihre<br />
Wirkungslinie verläuft durch<br />
den Berührungspunkt und den<br />
Krümmungsmittelpunkt.<br />
� Bei der „reibungsfreien“ Rolle<br />
sind die Kräfte an den Seilenden<br />
gleich groß.<br />
1<br />
2<br />
F 2<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
F 1<br />
3<br />
5<br />
F<br />
A<br />
Träger<br />
Festlager<br />
F<br />
4<br />
B<br />
Loslager<br />
F<br />
Berührungspunkt<br />
allseits glatte<br />
Oberflächen<br />
Krümmungsmittelpunkt<br />
X<br />
Einzelheit X<br />
Berührungspunkt<br />
Y<br />
Einzelheit Y<br />
A<br />
„reibungsfreie“ Rolle<br />
F<br />
F Z<br />
1<br />
F 2<br />
F Z<br />
Der Stab 1<br />
ist falsch<br />
freigemacht!<br />
Stab 1 ist kein Pendelstab mehr,<br />
weil noch eine zusätzliche Kraft F<br />
2<br />
außerhalb der Gelenkpunkte angreift.<br />
A H<br />
A V<br />
F<br />
B<br />
freigemachter Träger<br />
M A<br />
A AH<br />
H<br />
A<br />
A V<br />
90° 90°<br />
F<br />
freigemachter Träger<br />
F<br />
B C<br />
freigemachter Träger<br />
S=F<br />
A H<br />
A AV<br />
V<br />
freigemachte Rolle<br />
F
Das Freimachen 15<br />
Bauteillagerung und<br />
Beispiel<br />
Lagerungsteile mechanisches System Freikörperbild<br />
� Feste Rolle (Umlenkrolle,<br />
drehbar um A) ohne Reibung<br />
� Zwei gegeneinander gedrückte<br />
Körper übertragen<br />
eine Kontaktkraft F, die nach<br />
dem Prinzip actio = reactio<br />
entgegengesetzt gleich groß<br />
auf jeden Körper wirkt. Wir<br />
können sie durch ihre Komponenten,<br />
die Normalkraft N und<br />
die Tangentialkraft T ersetzen.<br />
Die Kraft T liegt in der<br />
tangentialen Berührungsebene,<br />
während die Kraft N<br />
senkrecht zur Berührungsebene<br />
wirkt. Bei rauen Oberflächen<br />
sind T und N vorhanden,<br />
während bei glatten Oberflächen<br />
nur die Normalkraft N<br />
auftritt.<br />
� Raue Berührungsflächen<br />
können Normal- und Tangentialkräfte<br />
aufnehmen. Die Wirkungslinie<br />
der Normalkraft N<br />
verläuft stets senkrecht zur Berührungsebene.<br />
Infolge der<br />
rauen Oberflächen kann zwischen<br />
den Körpern eine tangentiale<br />
Kraft übertragen werden.<br />
Ihre Wirkungslinie liegt<br />
stets in der Berührungsebene.<br />
Der Richtungssinn ist entgegen<br />
der Bewegungsrichtung, in<br />
welche sich der Körper bewegen<br />
möchte. Da die Körper<br />
noch gegeneinander „haften“,<br />
nennen wir die Kraft Haftungskraft<br />
H. Überschreitet die Kraft<br />
F einen gewissen Grenzwert,<br />
so reiben die Körper gegeneinander.<br />
Infolge der Rauigkeit<br />
wird eine tangentiale Reibungskraft<br />
R übertragen, welche<br />
der Bewegung entgegen<br />
gerichtet ist.<br />
reibungsfrei<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
A<br />
F<br />
tangentiale<br />
Berührungsebene<br />
Körper 1<br />
Berührungsebene<br />
G<br />
Körper 2<br />
F<br />
raue Oberflächen<br />
S<br />
A<br />
F=S<br />
Bei Bei der der festen festen Rolle Rolle ohne ohne Reibung<br />
Reibung<br />
können können die die Seilkräfte Seilkräfte durch durch Anwendung<br />
Anwendung<br />
des des Verschiebungs-und Verschiebungs-und ParallelogrammParallelogrammaxioms<br />
direkt in der Lagerstelle Lagerstelle A der<br />
festen festen Rolle Rolle angesetzt angesetzt werden.<br />
werden.<br />
Körper 1<br />
H<br />
T<br />
F<br />
G<br />
N<br />
Haftung<br />
H<br />
N<br />
F<br />
N<br />
F<br />
T Körper 2<br />
Gleitreibung;<br />
Körper<br />
bewegt sich<br />
nach rechts<br />
R<br />
G<br />
N<br />
freigemachte Körper<br />
N<br />
R<br />
N<br />
freigemachte Unterlagen<br />
F<br />
(Zwischen freigemachtem Körper<br />
und freigemachter Unterlage<br />
bestehen die Gesetzmäßigkeiten<br />
nach dem Wechselwirkungsgesetz<br />
actio = reactio.)
16 Grundbegriffe<br />
1.11.1 Beispiele zum Freimachen<br />
F 1<br />
mechanisches System Freikörperbild des jeweils abgegrenzten,<br />
betrachteten Körpers oder Teils<br />
1<br />
3<br />
A<br />
F<br />
Träger<br />
2<br />
1, 2 und 3 sind Seile<br />
M 1<br />
Seil<br />
Seil<br />
I<br />
A<br />
A<br />
q<br />
F<br />
F<br />
F F2<br />
2<br />
F 3<br />
hier wird nur der Träger betrachtet<br />
S1 2 S<br />
hier wird nur der Träger betrachtet<br />
S1 2 S<br />
hier wird nur der Träger betrachtet<br />
S1 2 S<br />
S 1<br />
2 S S2<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
A x<br />
S<br />
F F 1<br />
F<br />
hier wird nur der Knoten A betrachtet<br />
S 3<br />
A<br />
S1 2 S<br />
S1 2 S<br />
S 1<br />
2 S S2<br />
hier wird das Seil 3 geschnitten und<br />
der gesamte untere Teil betrachtet<br />
S 3<br />
A<br />
1 2<br />
F<br />
q<br />
A M<br />
Az A z<br />
1<br />
B<br />
I<br />
F<br />
Pendelstab<br />
A<br />
S<br />
A x A A z<br />
S<br />
I<br />
I<br />
A<br />
F<br />
F<br />
A<br />
Seile können nur Zugkräfte aufnehmen; die Seilkräfte sind als Zugkräfte<br />
einzuzeichnen<br />
F F2<br />
2<br />
F 3<br />
Pendelstab<br />
A
Das Freimachen 17<br />
mechanisches System Freikörperbild des jeweils abgegrenzten,<br />
betrachteten Körpers oder Teils<br />
A<br />
A<br />
A<br />
F<br />
3<br />
F<br />
G<br />
Dreigelenkbogen<br />
F<br />
G<br />
F<br />
Dreigelenkbogen<br />
4<br />
q<br />
0<br />
7<br />
5<br />
G<br />
8 9 10<br />
6<br />
1 2<br />
A I 2<br />
A I 2<br />
A I B<br />
αα<br />
B<br />
B<br />
F<br />
B<br />
Verlag <strong>Harri</strong> <strong>Deutsch</strong> – Knappstein: Statik, insbesondere Schnittprinzip – (978-3-8171-1876-2)<br />
B<br />
Pendelstütze<br />
A x A A z<br />
F<br />
rechter Teil<br />
A x A A z<br />
B<br />
F<br />
G<br />
A x A A z<br />
F<br />
F<br />
linker Teil<br />
Gesamtsystem<br />
A A B<br />
z x<br />
F<br />
linker Teil<br />
A<br />
q<br />
0<br />
linker Teil<br />
G x<br />
G G z<br />
G V<br />
A A x<br />
B<br />
A<br />
αα<br />
z<br />
hier wurde das gesamte<br />
Fachwerk als ein starrer<br />
Körper betrachtet<br />
A A x<br />
S 3<br />
A<br />
A z<br />
S 1<br />
hier wird nur der<br />
Knoten A betrachtet<br />
G Gx<br />
x<br />
G H<br />
F<br />
B B z<br />
G z<br />
F<br />
B z<br />
rechter Teil<br />
G V<br />
G H B V<br />
rechter Teil<br />
B<br />
B x<br />
M B<br />
B H<br />
F<br />
S S<br />
8 S S<br />
9 10<br />
hier wird nur der obere Teil<br />
betrachtet (Schnitt durch<br />
die Stäbe 8, 9 und 10)<br />
S 8 S 9 S 10<br />
F<br />
A A x<br />
B<br />
A z<br />
αα<br />
hier wird der untere Teil<br />
betrachtet (Schnitt durch<br />
die Stäbe 8, 9 und 10)<br />
S 4 S 5<br />
S 1<br />
I<br />
S<br />
2<br />
hier wird nur der<br />
Knoten I betrachtet
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