Mathematik für das Berufskolleg – Berufliches Gymnasium

Bohner/Ihlenburg/Ott
Vorwort
Mathematik für das Berufskolleg –
Berufliches Gymnasium
Jahrgangsstufe 11 – Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung
Merkur Verlag Rinteln
5

¬ Bohner | Ihlenburg | Ott
¬ Ott
Abitur 2009 – Leistungskurs
Vorwort
Analysis im Berufskolleg – Berufliches Gymnasium
Jahrgangsstufe 12 – Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung
| Zielgruppe | Bildungsgänge des Berufskollegs in
NRW, die zur allgemeinen Hochschulreife führen
| Lehrplanbezug | Fachlehrplan Mathematik in
NRW (2007)
| Konzeption | Die mathematischen Grundlagen
werden allgemein behandelt und soweit möglich
auf anwendungsbezogene, insbesonders wirtschaftliche
Problemstellungen und Beispiele übertragen.
Aufgabensammlung zur zentralen Abiturprüfung
Mathematik am Berufskolleg – Berufliches Gymnasium –
Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung
| Lehrplanbezug | BG (WuV) in NRW
| Konzeption | Das Buch enthält auf das Zentralabitur
2009 in NRW abgestimmte Aufgaben.
Da die Aufgabensammlung allen Schülerinnen und
Schülern bei der Vorbereitung auf das schriftliche
Abitur helfen soll, sind zu allen Aufgaben ausführliche
Lösungen angegeben.
6
NeuerscheiNuNg
1. Auflage 2008
301 Seiten
20,00 €
ISBN 978-3-8120-0433-6
NeuerscheiNuNg
1. Auflage 2008
143 Seiten
12,80 € R
ISBN 978-3-8120-0447-3
| |
Bohner/Ihlenburg/Ott
Analysis im Berufskolleg –
Berufliches Gymnasium
Jahrgangsstufe 12 – nichttechnische Fachbereiche
Merkur Verlag Rinteln
| Inhalt | Globale und lokale Eigenschaften von Funktionen (Differentialrechnung und Integralrechnung
bei ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktionen und gebrochen-rationalen Funktionen) | Integration
als Umkehrung der Differentiation und Deutung des Integrals.
¬ Ott
Abitur 2010 – Grundkurs
Lösungen
26,00 € V
ISBN 978-3-8120-3433-3
Aufgabensammlung zur zentralen Abiturprüfung
Mathematik am Berufskolleg – Berufliches Gymnasium – Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung
Ott
Abitur 2010 | Grundkurs
Aufgabensammlung zur zentralen Abiturprüfung
Mathematik am Berufskolleg – Berufliches Gymnasium
– Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung –
Merkur Verlag Rinteln
NEU
NeuerscheiNuNg
1. Auflage 2009
144 Seiten
12,80 € R
ISBN 978-3-8120-0478-7
Für Grund- u.
Leistungskurs!
| Lehrplanbezug | BG (WuV) in NRW
Ott
Abitur 2009 | Leistungskurs
Aufgabensammlung zur zentralen Abiturprüfung
Mathematik am Berufskolleg – Berufliches Gymnasium
– Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung –
Merkur Verlag Rinteln
NEU
| Konzeption | Das Buch enthält auf das Zentralabitur
2010 in NRW abgestimmte Aufgaben.
Da die Aufgabensammlung allen Schülerinnen und
Schülern bei der Vorbereitung auf das schriftliche
Abitur helfen soll, sind zu allen Aufgaben ausführliche
Lösungen angegeben.
NEU

Zielgruppe:
Vorwort
„Mathematik für das Berufskolleg - Berufliches Gymnasium“ ist ein Mathematikbuch für
Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 im Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung.
Lehrplanbezug:
Fachlehrplan Mathematik in NRW (2007)
Konzeption:
Das Lehrbuch deckt die Rahmenrichtlinien für das Fach Mathematik für die Schulformen
Berufskolleg und Berufliches Gymnasium ab.
Das Buch ist so aufgebaut, dass durch kleine Lerneinheiten und durch anschließende Aufgaben-
und Anwendungsbeispiele der Lernstoff einfach zu bewältigen ist. Die Autoren haben
großen Wert auf die ausführliche, anschauliche und übersichtliche Darstellung der vielen
Beispiele mit Lösungen und Abbildungen gelegt, um dem Schüler die Möglichkeit zum
Selbststudium und zur Wiederholung des Stoffes zu geben.
Am Ende eines jeden Kapitels findet der Leser eine Vielzahl von Aufgaben unterschiedlicher
Schwierigkeitsgrade, die es dem Schüler ermöglichen, den Stoff einzuüben, zu vertiefen
und mathematische Zusammenhänge zu verstehen.
Bei der Auswahl des zu vermittelnden Stoffes haben die Autoren die Schwerpunkte so
gesetzt, dass die Schüler das für sie wirklich wichtige mathematische Wissen, das sie als
Grundlage den ganzen Oberstufenunterricht (sowohl im Grund- als auch im Leistungskurs)
hindurch benötigen, übersichtlich und einprägsam vorfinden.
Diese Konzeption bedeutet keine methodische Einengung für Lehrer und Schüler.
Behandelt werden die beschreibende Statistik, die ganzrationalen Funktionen, die Exponentialfunktionen
und die gebrochen-rationalen Funktionen.
Die Einführung in die Differentialrechnung mit wirtschaftlichen Anwendungen schließt den
Stoff ab.
Einen Schwerpunkt bilden in jedem Kapitel die „Wirtschaftlichen Anwendungen“. Dabei
werden die volks- und betriebswirtschaftlichen Begriffe anhand von Beispielen eingeführt
und erläutert, so dass die zugehörigen Aufgaben ohne besondere Vorkenntnisse aus der
Ökonomie gelöst werden können.
Die Verfasser
7

Inhaltsverzeichnis
I. Beschreibende Statistik ............................................................................................. 11
1 Einführung ................................................................................................................................. 11
2 Planung und Datenerhebung ...................................................................................................... 13
3 Datenaufbereitung und Darstellung ........................................................................................... 17
4 Merkmalsarten und Merkmalsskalen ......................................................................................... 35
5 Lagemaße ................................................................................................................................... 40
5.1 Arithmetisches Mittel ................................................................................................................ 40
5.2 Modus (Modalwert) ................................................................................................................... 42
5.3 Zentralwert (Median) ................................................................................................................. 43
5.4 Geometrisches Mittel ................................................................................................................. 47
6 Streuungsmaße........................................................................................................................... 50
6.1 Spannweite................................................................................................................................. 51
6.2 Mittlere Abweichung ................................................................................................................. 52
6.3 Varianz und Standardabweichung ............................................................................................. 56
7 Regression und Korrelation ....................................................................................................... 63
7.1 Lineare Regression .................................................................................................................... 64
7.2 Korrelation ................................................................................................................................. 68
7.3 Linearer Trend und Prognose .................................................................................................... 71
II. Mathematisches Grundwissen ..................................................................................79
1 Mengen ...................................................................................................................................... 79
2 Algebraische Begriffe und Rechenübungen .............................................................................. 81
3 Potenzen und Wurzeln ............................................................................................................... 87
4 Gleichungen ............................................................................................................................... 92
4.1 Grundlagen ................................................................................................................................ 92
4.2 Lineare Gleichungen .................................................................................................................. 95
4.3 Quadratische Gleichungen ......................................................................................................... 99
4.3.1 Reinquadratische Gleichungen der Form a x 2 + c = 0 ................................................................ 99
4.3.2 Gemischtquadratische Gleichungen der Form a x 2 + bx + c = 0 .............................................. 101
4.3.3 Lösung quadratischer Gleichungen ohne Lösungsformel ....................................................... 104
III. Einführung in die Funktionen ...............................................................................108
1 Das rechtwinklige Koordinatensystem .................................................................................... 108
2 Abhängigkeiten und grafische Darstellung .............................................................................. 112
3 Definition einer Funktion......................................................................................................... 117
4 Eigenschaften von Funktionen ................................................................................................ 122
7

Inhaltsverzeichnis
IV. Funktionen ......................................................................................................................... 130
1 Potenzfunktion ....................................................................................................................... 130
2 Lineare Funktionen ............................................................................................................... 131
2.1 Einführung .............................................................................................................................. 131
2.2 Die Steigung einer Geraden ..................................................................................................... 133
2.3 Punktprobe ............................................................................................................................... 136
2.4 Aufstellen von Geradengleichungen ....................................................................................... 138
2.4.1 Aufstellen von Geradengleichungen mit Hilfe der Hauptform ............................................... 138
2.4.2 Berechnung der Steigung aus zwei gegebenen Punkten ......................................................... 141
2.4.3 Die Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung ............................................................... 143
2.5 Schnittpunkte ........................................................................................................................... 146
2.5.1 Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen ....................................................... 146
2.5.2 Schnittpunkt von zwei Geraden ............................................................................................... 148
2.5.3 Besondere Lage von zwei Geraden ......................................................................................... 151
2.6 Die Strecke AB ........................................................................................................................ 153
2.7 Lineare Funktionen und ihre ökonomischen Anwendungen ................................................... 158
2.8 Lineare Funktionen mit Parameter (Geradenscharen) ............................................................. 168
3 Quadratische Funktion ......................................................................................................... 176
3.1 Einführungsbeispiel ................................................................................................................. 176
3.2 Von der Normalparabel zur allgemeinen Parabel 2. Ordnung ................................................. 177
3.3 Untersuchung von Parabeln 2. Ordnung ................................................................................. 183
3.4 Gegenseitige Lage von zwei Kurven ...................................................................................... 193
3.4.1 Gegenseitige Lage von Parabel und Gerade ............................................................................ 193
3.4.2 Gegenseitige Lage von zwei Parabeln ..................................................................................... 196
3.5 Aufstellen von Parabelgleichungen ......................................................................................... 203
3.6 Quadratische Funktionen und ihre ökonomischen Anwendungen .......................................... 213
3.7 Ganzrationale Funktionen 2. Ordnung mit Parameter ............................................................. 223
4 Ganzrationale Funktionen höheren Grades ........................................................................ 228
4.1 Parabeln 3.Ordnung ................................................................................................................. 228
4.2 Parabeln 4. Ordnung ................................................................................................................ 232
4.3 Nullstellen von ganzrationalen Funktionen ............................................................................. 235
4.3.1 Lösung von Gleichungen höheren Grades ............................................................................... 235
4.3.2 Exakte Berechnung von Nullstellen ........................................................................................ 242
4.4 Aufstellen von Parabelgleichungen ......................................................................................... 253
4.5 Gegenseitige Lage von zwei Kurven ....................................................................................... 262
4.6 Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen ................................................................................. 269
4.7 Ganzrationale Funktionen und ihre ökonomischen Anwendungen ......................................... 272
4.8 Ganzrationale Funktionen mit Parameter ................................................................................ 281
8

Inhaltsverzeichnis
5 Gebrochen-rationale Funktionen ......................................................................................... 288
5.1 Definition ................................................................................................................................. 288
5.2 Die Grundfunktion f mit f(x) = 1 _
x ............................................................................................. 289
5.3 Schaubilder von gebrochen-rationalen Funktionen ................................................................. 292
5.3.1 Untersuchung von Schaubildern .............................................................................................. 292
5.3.2 Aufstellen von Kurvengleichungen ......................................................................................... 303
5.3.3 Lage von zwei Kurven ............................................................................................................. 305
5.4 Gebrochen-rationale Funktionen und ihre ökonomischen Anwendungen ............................... 307
5.4.1 Stückkosten .............................................................................................................................. 307
5.4.2 Wirtschaftlichkeit ..................................................................................................................... 312
5.4.3 Umsatzrentabilität .................................................................................................................... 313
5.5 Gebrochen-rationale Funktionen mit Parameter ...................................................................... 315
6 Exponentialfunktionen .......................................................................................................... 318
6.1 Einführungsbeispiel ................................................................................................................. 318
6.2 Definition der Exponentialfunktion ........................................................................................ 319
6.3 Die Euler‘sche Zahl e ............................................................................................................. 321
6.4 Exponentialfunktionen zur Basis e ......................................................................................... 322
6.5 Schaubilder von Exponentialfunktionen ................................................................................. 324
6.6 Exakte Berechnungen .............................................................................................................. 330
6.6.1 Der natürliche Logarithmus ..................................................................................................... 330
6.6.2 Exponentialgleichungen ........................................................................................................... 331
6.6.3 Exakte Berechnung von Schnittstellen .................................................................................... 336
6.7 Exponentialfunktionen und ihre Anwendungen ...................................................................... 343
6.8 Exponentialfunktionen mit Parameter ..................................................................................... 352
V. Änderungsverhalten ..............................................................................................355
1 Änderungsrate .......................................................................................................................... 355
2 Änderungsrate als Steigung von gekrümmten Kurven ............................................................ 359
3 Ableitungsregeln ..................................................................................................................... 363
4 Steigung und Tangente .......................................................................................................... 366
5 Grafisches Differenzieren ...................................................................................................... 370
6 Anwendungen in der Betriebswirtschaft ................................................................................. 373
Anhang: Mathematische Zeichen ....................................................................................................... 381
Stichwortverzeichnis ........................................................................................................................... 382
9

Funktionen
2.7 Lineare Funktionen und ihre ökonomischen Anwendungen
Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion
Beispiel
Eine Fabrik stellt Kleinteile her. Diese lassen sich auf zwei Anlagen fertigen.
Für die wöchentlich verursachten Kosten gilt:
Anlage 1: Die fixen Kosten betragen 1575 € und die variablen Stückkosten 0,65 €.
Anlage 2: Bei einer Produktionsmenge von 5000 Stück entstehen fixe Kosten von
1055 € und variable Gesamtkosten von 4050 €.
Die Kapazitätsgrenze liegt bei beiden Anlagen bei 7500 Stück pro Woche.
a) Bestimmen Sie für beide Anlagen jeweils eine lineare Kostenfunktion.
Wie hoch sind die Gesamtkosten für die kritische Produktionsmenge?
b) Die kritische Produktionsmenge hat sich auf 4000 Stück erhöht, da sich die
variablen Stückkosten bei Anlage 1 erhöht haben. Wie hoch sind diese nun?
c) Der Verkaufspreis je Stück beträgt 1,10 €.
Bestimmen Sie die Gewinnschwelle für Anlage 1. Wie hoch ist der maximal
zu erzielende Gewinn pro Woche bei einer Produktion auf Anlage 1.
Lösung
a) Lineare Kostenfunktion
für Anlage 1: K 1 (x) = 0,65x + 1575
Bei einem linearen Kostenverlauf sind die variablen Stückkosten konstant.
Die variablen Stückkosten entsprechen der Steigung der Kostengeraden.
Die fixen Kosten entsprechen dem y-Achsenabschnitt.
Lineare Kostenfunktion
für Anlage 2:
Ansatz: K 2 (x) = mx + b
Mit K 2 (0) = 1055 erhält man: K 2 (x) = mx + 1055
Es gilt: Variable Stückkosten =
_________________
variable Gesamtkosten
Stückzahl
Einsetzen von x = 5000 k v = K ________ 2v (5000) ____ 4050
5000
=
5000
= 0,81
Mit m = 0,81 und b = 1055 erhält man: K 2 (x) = 0,81x + 1055
159

Funktionen
a) Gesamtkosten in der kritischen Produktionsmenge
Bemerkung: Für die kritische Produktionsmenge sind die Kosten für zwei Anlagen
zur Produktion eines Gutes gleich.
Gleichsetzen: K 1 (x) = K 2 (x)
0,65x + 1575 = 0,81x + 1055
Kritische Produktionsmenge: x = 3250
Die kritische Produktionsmenge
liegt bei 3250 Stück.
Gesamtkosten:
K 1 (3250) = K 2 (3250) = 3687,5
b) Die kritische Produktionsmenge hat sich auf 4000 Stück erhöht.
Gesamtkosten für Anlage 2: K 2 (4000) = 4295
Bedingung für die erhöhten Stückkosten
für Anlage 2: 4295 = m · 4000 + 1575
Auflösen nach m ergibt die erhöhten variablen Stückkosten für Anlage 1: m = 0,68
c) Der Verkaufspreis je Stück beträgt 1,10 €. Die Erlösfunktion ist linear.
Für den Erlös E gilt: E = Preis · Menge
Erlösfunktion E mit E(x) = 1,10x
Der Gewinn ist die Differenz von Umsatz (Erlös) und Kosten: G = E – K.
Gewinnfunktion G:
G(x) = E(x) – K 1 (x)
= 1,10x – (0,65x + 1575)
G(x) = 0,45 x – 1575
Gewinnschwelle
Bedingung: G(x) = 0 0,45x – 1575 = 0
x = x GS = 3500
Die Gewinnschwelle x GS liegt bei 3500 Stück.
Maximal zu erzielender Gewinn
Die Gewinngerade ist wachsend, also wird der größte Gewinn pro Woche
in der Kapazitätsgrenze erzielt: G max = G(7500) = 1800
Der maximal zu erzielende Gewinn pro Woche beträgt 1800 € bei Anlage 1.
160
K 1
K 2
K 1
E
x GS

Angebots- und Nachfragefunktion
Funktionen
Angebot und Nachfrage von Gütern werden in einer Marktwirtschaft über die Preise
reguliert. Ein Unternehmen bietet ein Produkt zu einem bestimmten Preis an. Das Angebot
wird erweitert (auch durch andere Anbieter), wenn die Konsumenten bereit sind, mehr für
das Produkt zu bezahlen, das Angebot wird reduziert, wenn die Preise fallen.
Die Nachfrage verhält sich genau umgekehrt. Bei Preiserhöhungen sinkt die Nachfrage,
sinken die Preise, steigt die Nachfrage.
Beispiele
1) Gegeben sind die Angebotsfunktion mit p A (x) = 0,5x + 4 und
die Nachfragefunktion mit p N (x) = 12 − 1,5x.
a) Geben Sie Eigenschaften der beiden Funktionen an.
b) Bestimmen Sie Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis.
Lösung
a) Nachfragefunktion mit p N (x) = 12 − 1,5x
Das Schaubild ist eine Gerade mit negativer Steigung m .
Der y-Achsenabschnitt (b = 12) entspricht dem maximalen Preis p max = 12
bei dem die Nachfrage null wird. Die Nullstelle von p N ist die Sättigungsgrenze.
Bedingung: p N (x) = 0 12 − 1,5x = 0 für x = x S = 8
Selbst bei einem Preis von null
überschreitet die nachgefragte Menge
nicht den Wert x S .
Angebotsfunktion mit p A (x) = 0,5x + 4
Der y-Achsenabschnitt (b = 4) entspricht
dem minimalen Preis p min , bei dem das
Produkt nicht am Markt angeboten wird.
Erst bei steigenden Preisen sind die Hersteller bereit, mehr Produkte anzubieten.
Beachten Sie: Die Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) p N beschreibt
den Zusammenhang von Stückpreis p und nachgefragter Stückzahl x:
der Stückpreis sinkt, wenn die Absatzmenge zunimmt.
Bei linearem Zusammenhang: p N (x) = mx + b; m < 0, b > 0
Die Angebotsfunktion p A gibt die Abhängigkeit der angebotenen
Menge von dem dafür verlangten Preis an. Je höher der Verkaufspreis,
desto mehr sind die Hersteller bereit zu produzieren.
Bei linearem Zusammenhang: p A (x) = mx + b; m > 0
161
y16
12
8
4
p N
p A
0
0 2 4 6 8
x

Funktionen
Abschnittsweise definierte Kostenfunktion
Beispiel
Bei der Herstellung eines Produktes entstehen Gesamtkosten (in EUR) in Abhängigkeit
von der Stückzahl: Für x ≤ 50: K(x) = 1,8x + 100.
Werden mehr als 50 Stück produziert, so erhöhen sich die fixen Kosten auf 150 EUR
und die variablen Stückkosten können auf 0,8 EUR gesenkt werden,
a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm für die Gesamtkosten K.
Bestimmen Sie K(40) und K(80).
Für welche Stückzahlen übersteigen die Kosten 160 EUR.
b) Lohnt sich die Produktionssteigerung auf 70 Stück, wenn sich ein Verkaufserlös
von 3,20 EUR pro Stück erzielen lässt?
Lösung
a) Kosten für 0 ≤ x ≤ 50: K(x) = 1,8x + 100
Kosten für x > 50: K(x) = 0,8x + 150
Bemerkung: Die variablen Stückkosten entsprechen der Steigung der Kostengeraden.
Zusammenfassende Schreibweise:
K(x) =
�
1,8x + 100 für 0 ≤ x ≤ 50
0,8x + 150 für x > 50
Die Funktion K ist eine abschnittsweise
definierte Funktion.
Bemerkung: Das Schaubild der Funktion K setzt sich aus zwei Teilen zusammen.
Die beiden Teile stoßen im Punkt P(50 | 190) zusammen.
Berechnung von Funktionswerten: K(40) = 1,8 · 40 + 100 = 172 (x < 50)
Berechnung von x-Werten: K(x) > 160
163
y
250
200
150
100
K(80) = 0,8 · 80 + 150 = 214 (x > 50)
1,8x + 100 > 160 x > 33,3
Für Stückzahlen x ≥ 34 betragen die Gesamtkosten mehr als 160 EUR.
b) Erlös in Abhängigkeit von x: E(x) = 3,2x
Erlös für x = 70: E(70) = 224
Kosten für x = 70: K(70) = 206 < E(70)
0 20 40 60 80 100x
x
Die Produktionssteigerung auf 70 Stück lohnt sich, da Gewinn erzielt wird.
50
K

Funktionen
6.7 Exponentialfunktionen und ihre Anwendungen
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
Beispiele
1) Auf einem Konto sind 1000,00 € fest angelegt. Der jährliche Zinssatz beträgt 8 %.
a) Wie kann man das Kapital nach einer beliebigen Zeit berechnen?
b) Nach welcher Zeit hat sich das Kapital auf 1400,00 € erhöht?
c) Nach wie viel Jahren verdoppelt sich das Kapital?
Lösung
a) Kapital nach t Jahren (mit Zins und Zinseszins) y = 1000 · 1,08 t
Dieses exponentielle Wachstum wird mit der Exponentialfunktion
f mit f(t) = 1000 · 1,08 t ; t in Jahren, beschrieben.
In der Praxis wählt man als Basis die Zahl e.
Mit 1,08 = e ln1,08 erhält man: f(t) = 1000 · 1,08 t = 1000 ( e ln1,08 ) t = 1000 e 0,0770t
Zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich für das Kapital: f(0) = 1000 (Anfangsbestand).
Festlegung: k = ln(1,08) = 0,0770 > 0 ist die Wachstumskonstante.
Bemerkung: Das Kapital vermehrt sich mit dem Wachstumsfaktor 1,08.
y =1000 e 0,0770t bezeichnet man als Wachstumsgleichung.
Beachten Sie: Prozesse exponentiellen Wachstums können mit einer Exponential-
funktion beschrieben werden: f(t) = a e k t ; t ≥ 0
k > 0 ist die Wachstumskonstante; a = f(0) ist der Anfangsbestand.
b) Bedingung für t: f(t) = 1400 1000 e 0,0770t = 1400 e 0,0770t = 1,4
Gesuchter t-Wert 0,0770t = ln(1,4) t = 4,4
Ergebnis: Nach ungefähr 4,4 Jahren hat man 1400,00 € auf dem Konto.
c) Bed. für die Verdoppelungszeit: f(t) = 2 · f(0)
2000 = 1000 e 0,0770t e 0,0770t Logarithmieren ergibt:
= 2
t = ln(2) ______
____ ln(2)
0,0770
= 9,0 (t =
k )
Die Verdoppelungszeit t V beträgt 9 Jahre.
Beachten Sie: Die Verdoppelungszeit t V ist die Zeit, in der sich der Bestand
verdoppelt. t V ist unabhängig vom Anfangswert : t V = ln(2) ____
k .
343

Funktionen
2) Ein Zerfallsprozess eines radioaktiven Präparats lässt sich beschreiben durch
f(t) = a · e kt ; t in Tagen.
a) Berechnen Sie a und k, wenn nach 5 Tagen noch 12 g, nach 10 Tagen noch 4,3 g
vorhanden sind.
b) Nach wie viel Tagen sind 90 % der ursprünglichen Masse des Präparats zerfallen?
c) Berechnen Sie die Halbwertszeit.
Lösung
a) Bestimmung von a und k: f(5) = 12: a · e k · 5 = 12 (1)
344
f(10) = 4,3: a · e k · 10 = 4,3 (2)
Aus (1): a = 12 e – 5k ; einsetzen in (2): 12 e – 5k · e k · 10 = 12 e 5k = 4,3
Logarithmieren: k = – 0,2053
Aus a · e – 0,2053 · 5 = 12 folgt: a = 33,5
– 0,2053 · t
Zerfallsgleichung: f(t) = 33,5 · e
Bemerkung: k = – 0,2053 < 0 ist die Zerfallskonstante, f(0) = a ist der Anfangsbestand.
b) 90 % der ursprünglichen Masse des Präparats sind zerfallen,
d. h., 10 % sind noch vorhanden.
Bedingung für t: f(t) = 0,1 · 33,4 33,4 e – 0,2053t = 3,34 e – 0,2053t = 0,1
Logarithmieren ergibt: t = 11,2
Ergebnis: Nach etwa 11,2 Tagen ist 90 % der ursprünglichen Masse zerfallen.
c) Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich die Masse einer radioaktiven Substanz auf die
Hälfte des Anfangswertes vermindert.
Bedingung für die Halbwertszeit: f(t) = 0,5 · 33,4
33,4 e – 0,2053t = 0,5 · 33,4 e – 0,2053t Logarithmieren ergibt:
= 0,5
t = ln(0,5) _______
_____ ln(0,5) ____ ln(2)
– 0,2053
= 3,4 (t =
k
= –
k )
Die Halbwertszeit t H beträgt etwa 3,4 Tage.
Beachten Sie: Prozesse exponentiellen Wachstums und Zerfalls können mit Hilfe
einer Exponentialfunktion beschrieben werden: f(t) = f(0) · e kt ; t ≥ 0
Dabei gilt: f(0) ist der Anfangsbestand, e k ist der Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor)
Für k > 0 ist k die Wachstumskonstante, für k < 0 ist k die Zerfallskonstante.
f(t) gibt den vorhandenen Bestand zum Zeitpunkt t an.
Halbwertszeit und Verdoppelungszeit sind unabhängig vom
Anfangswert: t H = – ln(2) ____
k bzw. t V = ln(2) ____
k .

Funktionen
3) Die Anzahl der Individuen einer Population wurde im Laufe von 5 Wochen gemessen:
t (in Wochen) 0 1 2 3 4 5
Bestand f(t) 825 968 1 135 1 333 1 564 1 836
a) Begründen Sie die Annahme, dass f(t) ungefähr exponentiell zunimmt.
Bestimmen Sie das Wachstumsgesetz.
b) Wie groß ist voraussichtlich der Bestand nach den ersten 10 Wochen?
In welcher Zeit verdoppelt sich die Zahl der Individuen?
Lösung
a) Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die Anzahl der Individuen in
einer Woche stets mit dem gleichen Faktor wächst.
f(1) ___ ___ f(2) ___ f(3)
______ f(t + 1)
f(0)
< 1,173 ;
f(1)
< 1,173;
f(2)
< 1,174 =>
f(t)
< 1,174
Der Wachstumsfaktor beträgt also etwa 1,174.
Die Anzahl der Individuen nimmt in einer Woche um 17,4 % des letzten Bestandes zu
(Bestand zu Wochenbeginn).
Wachstumsgesetz f(t) = 825 · 1,174 t
Mit 1,174 = e ln 1,174 = e 0,16 erhält man f(t) in e-Basis: f(t) = 825 · e 0,16t
Ergebnis: f(t) = 824,8 e 0,16t
Beachten Sie: Exponentielles Wachstum bedeutet:
345
_____ f(t +1) k
f(t)
= e
Wachstum um den gleichen Faktor in der gleichen Zeiteinheit.
b) Bestand nach 10 Wochen:
0,16 · 10
f(10) = 825 e
= 4082,2
Der Bestand nach den ersten 10 Wochen beträgt etwa 4082 Individuen.
Bedingung für die Verdoppelungszeit:
f(t) = 2 · f(0) 825 · e 0,16t = 1650
e 0,16t = 2
Logarithmieren: t = 4,33
Die Verdoppelungszeit t V beträgt
etwa 4,3 Wochen.
y
3000
2000
1000
t V t V
0
0 2 4 6 8
tx

Funktionen
4) Eine Anlage zum Anschaffungswert von 60000 € soll nach Handelsrecht mit einem
Prozentsatz von 20 % degressiv abgeschrieben werden.
a) Berechnen Sie den Restbuchwert und den Abschreibungswert nach n Jahren.
b) Nach wieviel Jahren soll der Unternehmer zur linearen Abschreibung wechseln?
Berechnen Sie diesen Zeitpunkt, wenn die Nutzungsdauer 10 Jahre beträgt.
Lösung
a) Der Abschreibungssatz von 20 % bezieht sich auf den Buchwert RW 0 = 60000 €.
Der Restbuchwert nach 1 Jahr beträgt: RW 1 = 60000 · 0,8 = 48000
Der Restbuchwert nach 2 Jahren beträgt: RW 2 = 48000 · 0,8 = 38400
Der Prozentsatz wird stets vom verbliebenen Restbuchwert abgeschrieben.
Der Restbuchwert nach n Jahren beträgt: RW n = 60000 · 0,8 n
Der Abschreibungswert a n ist jeweils 20 % des jeweiligen Restbuchwertes.
Damit gilt: a 1 = 0,2 · RW 0 = 12000
Abschreibungswert nach 2 Jahren:
a 2 = 0,2 · RW 1 = 0,2 · 0,8 · RW 0
Abschreibungswert a n nach n Jahren:
a n = 0,2 · RW n – 1 = 0,2 · 0,8 n – 1 · RW 0
a n = 0,8 n – 1 · a 1 = 0,8 n – 1 · 12000
_________________________
Restbuchwert nach (n – 1) Jahren
b) Linearer Abschreibungsbetrag nach n Jahren: a Ln =
restliche Nutzungsdauer
m: gesamte Nutzungsdauer a Ln = RW _________ n – 1
m – (n – 1)
Bedingung für den Wechselzeitpunkt:
Linearer Abschreibungswert = degressiver Abschreibungswert a n = a Ln
0,2 · 0,8 n – 1 · RW 0 = 0,8 n – 1 __________ · RW 0
10 – (n – 1)
Vereinfachung mit m = 10: 0,2 = 1 ______
11 – n
n = 6
Der 6. Abschreibungsbetrag ist nach der degressiven Methode genau so hoch wie
nach der linearen Methode. Der Unternehmer wechselt zur linearen Abschreibung.
Damit kann er in den verbleibenden 4 Jahren seine Anlage vollständig abschreiben.
Für n = 6: RW 5 = 60000 · 0,8 5 = 19660,8; a 6 = 0,8 5 · 12000 = 3932,16 = a L6 = 19660,8
______
5
Der Restbuchwert von 19660,8 € wird in 5 Beträgen zu je 3932,16 € abgeschrieben.
346
Restwert
Abschreibungsbetrag
• • • • • • • • •
t (Jahr)

Funktionen
Beschränktes Wachstum und beschränkter Zerfall
Beispiele
1) Nimmt man Milch aus dem Kühlschrank,
so hat sie eine Temperatur von 6 °C,
danach erwärmt sie sich.
Die Zimmertemperatur beträgt 20 °C.
Dieser Vorgang lässt sich durch den
Funktionsterm beschreiben:
f(x) = 20 – 14 · e – 0,0998x y
20
15
10
; x ≥ 0,
5
x in Minuten, f(x) in °C.
Man stellt fest: Die Erwärmung verläuft nicht linear.
Wertetabelle x 0 1 10 20 30
f(x) 6 7,33 14,84 18,10 19,30
Die Erwärmung ist abgeschlossen, wenn die Milch Zimmertemperatur (20 °C) hat.
Für x → ∞ strebt die Temperatur f(x) → 20. Es gibt eine natürliche Schranke.
S = 20 heißt Sättigungsgrenze.
Man spricht von beschränktem Wachstum.
Das Schaubild von f hat die waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 20.
Vergleich von f(1) mit f(0) ergibt: In der 1. Minute erwärmt sich die Milch um 1,3 °C.
________________
19,30 °C – 18,10 °C ___ °C
Von der 20. bis zur 30. Minute erwärmt sich die Milch um
10 min
= 0,12
min .
Die „Erwärmungsgeschwindigkeit“ ist am Anfang am größten und wird stets kleiner.
Beachten Sie: Prozesse beschränkten Wachstums und Zerfalls können mit Hilfe
einer Exponentialfunktion beschrieben werden.
Beschränktes Wachstum: Beschränkter Zerfall:
f(t) = S – b · e kt ; t ≥ 0; k < 0 f(t) = S + b · e kt ; t ≥ 0; k < 0
f(0) ist der Anfangsbestand:
f(0) = S – b f(0) = S + b
k ist die Wachstums- oder Zerfallskonstante: k ist stets negativ.
f(t) gibt den vorhandenen Bestand zum Zeitpunkt t an.
347
5 10 15 20 25 30
x

www.sicher-zur-pruefung.de
Merkurbuch BN 0058
Funktionen
348
I S B N 9 7 8 - 3 - 8 1 2 0 - 0 0 5 8 - 1
9 7 8 3 8 1 2 0 0 0 5 8 1