Franck - Hertz - Versuch ( 7 ) - Positron Annihilation in Halle

Franck - Hertz - Versuch ( 7 )
1) Bei Raumtemperatur sind Kennlinien IA = f(Ug2) der Elektronenröhre unter Variation von Gittespannung
U1 und Anodenspannung UA aufzunehmen, bspw.:
Ug1 = 2V, UA = 0 ... -2,5 V und Ug1 = 1,5...4 V, UA = 0 V.
2) Demonstrieren Sie mit unserer Röhre die Verstärkungswirkung einer Triode.
3) Es sind temperaturabhängige Kennlinien (Ug1 = 2V, UA = 0 V) für folgende Temperaturen zu
registrieren: Raumtemperatur; 45°C; 65°C; 85°C; 105°C.
4) Mit Hilfe des Raumladungsgesetzes (16) ist die Raumladungskonstante K unserer Elektronenröhre zu
bestimmen.
5) Durch Elektronenstoß mit freien Elektronen ist die Anregungsenergie von Hg-Atomen unter
verschiedenen Versuchsbedingungen zu messen (Ofentemperatur: 170....200°C). Welche
Elektronenanregungen 1S0 → 3Pi (i = 0; 1; 2) beeinflussen das Ergebnis?
6) Für die Ofentemperaturen 20; 150 und 200°C ist die mittlere freie Weglänge der Gasatome und der
Elektronen zu berechnen. Der Hg-Atomradius beträgt 0,157 nm. Berechnen Sie den Hg-Dampfdruck als
Funktion der Temperatur.
Hinweise: Ofenspannung: 60...75 Vac (langsam hochfahren); Steuerspannung Ug1= 1,5 ... 4 V; Katodenheizung:
6,3Vac/ca. 400 mA (Strom allmählich mit Vorwiderstand erhöhen); Beschleunigungsspannung Ug2 = 0...30 V
manuell und automatisch; Anodenspannung UA = 0 ... -2,5V. Molare Verdampfungswärme Hg: QM(0) = 59,2
kJ/mol. Bei auftretender Gasentladung (plötzlicher hoher Strom) durch Stoßionisation ist Ug2 sofort auf Null zu
regeln! Vermeiden Sie unbedingt plötzliche Temperatursprünge der Röhre (nicht Herausziehen, wenn Ofen
warm ist)!
Literatur:
• Schpolski: Atomphysik Bd. 2
• Bergmann-Schaefer: Experimentalphysik 4/1
• Grimsehl: Physik 4
• Franck, Jordan: Anregung von Quantensprüngen durch Stöße am Versuch: G.F.Hanne: Am. J. Phys. 56
(1988) 696
• A.D. Martin, P.J. Quinn: Am. J. Phys. 52 (1984) 1114
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Franck - Hertz - Versuch (7)
1. Stoßprozesse
Die Anregung eines Atoms A aus seinem Grundzustand durch Elek-
tronenstoß ist ein unelastischer Stoß:
A +(e - ) schnell -> A * + (e - ) langsam
(1)
In einer Zeit von 10 -8 s folgt bei erlaubten Übergängen die Re-
laxation des angeregten Atoms durch spontane Strahlungsemission
in den Grundzustand:
A* -> A + h*v (2)
Die Umkehrung von (2)
A + h*v -> A* (3)
unterliegt quantenmechanischen Auswahlregeln, so daß sich die
angeregten Zustände von (1) und (3) unterscheiden. Nach (1)
können auch langlebige (metastabile) Anregungszustände gebildet
werden, die nicht nach (2) relaxieren.
Die Relaxation in den Grundzustand kann jedoch durch strahlungs-
lose Übergänge, durch Stöße 2. Art, erfolgen:
A* + (e - )langsam -> A + (e - )schnell. (4)
In einem Stoßexperiment mit hoher Energieauflösung überlagern
sich Relaxationsprozesse nach (2) und (4).
Im Franck-Hertz-Experiment werden Strom-Spannungs-Kennlinien
aufgenommen. Bei Raumtemperatur wird deren Verlauf durch die von
der geheizten Katode (W(Th)) emittierte elektronische Ladung ge-
steuert. Die zwischen Katode und Anode ortsabhängige Raumla-
dungsdichte ist
p = n*e (5)
mit der Elektronendichte n [cm -3 ] und e = l,6*10 -19 As.
Die Stromdichte j ist:
j = p*v = nev = I/F. (6)
(F: emittierende Katodenoberfläche)
Die Endgeschwindigkeit der Elektronen folgt aus der Anodenspan-
nung U:
(m/2) *v 2 = e*U. (7)
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Der Anodenstrom ist demnach
I = F*ρ* [ 2eU/m] 1/2 . (8)
Nach (6) ist wegen j = const. -> ρ_(l/v). Die Raumladungsdichte
ist demnach durch den ortsabhängigen Spannungsverlauf bestimmt.
Bei hohen Elektronengeschwindigkeiten ist p niedrig und umge-
kehrt. Vor der Katode nimmt ρ hohe Werte an, vor der Anode nie-
drige .
Der Stromfluss wird möglich durch elektrische Felder
("Raumspannungen“), die ihren Ursprung in elektrischen Ladungen
haben. Das ist der "Inhalt" der Poisson-Gleichung, die für
eindimensionale Geometrie lautet:
ρ / ε0 = δ 2 U/δx 2 . (9)
(9) in (8) liefert
I = εo*F* (2eU/m) 1/2 *δ 2 U/δx 2 . (10)
Mit der elektrischen Feldstärke E = δU/δx ist
δ 2 U/δx 2 = δE/δx = (δE/δU)*(δU/δx)=(δE/δU)*ε (11)
(11) in (10) ergibt
(I/ε0F) * (m/2e) 1/2 *dU/ (U) 1/2 = E dE (12)
Die Integration von (12) führt auf
(l/εcF) * (m/2e) 1/2 *2U 1/2 = E 2 /2 . (13)
Nach E umgestellt ist (13):
E = 2 (l/εcF) 1/2 * (m/2e) 1/4 *U 1/4 ( 14 )
Mit E = δU/δx ist
dU/U 1/4 = 2* (I/ε0F) * (m/2e) 1/4 dx (15)
Die Integration von (15) in den Grenzen x=0 . . . . x=a (Abstand Ka-
tode-Anode) ergibt die Schottky-Langmuir-Raumladungsgleichung:
I = (4/9) *εQ* (2e/m) 1/2 * (F/a 2 ) *U 3/2 . (16)
Auch für unsere Elektrodenanordnung gilt das U 3/2 -Gesetz,
allerdings mit anderem Vorfaktor, der nach Aufgabe 2.
experimentell bestimmt werden soll.
Unser Franck-Hertz-Rohr enthält neben der Katode drei weitere
Elektroden G 1 (vor der Katode), G2 (als eigentliche Anode) und
dicht daneben A für das Bremspotential.
Wir überprüfen (16) mit I = f (Ug2) mit Parametern für Ugl und Ua.
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Ab einem bestimmten U-Wert in (16) wird der Strom spannungsunab-
hängig. Der Sättigungsstrom ist erreicht. Für diesen gilt:
Is = AFkT 2 *exp(-Φ/kBT) . (17)
In dieser Richardson-Gleichung ist A = 120 A K -2 cm -2 eine nahezu
materialunabhängige Größe. Außerdem enthält (17) die Katoden-
oberfläche mit der Temperatur T und die Elektronenaustrittsar-
beit des Katodenmaterials. Im Bereich des Sättigungsstroms kön-
nen Stromänderungen nur über eine Variation der Katodenheizung
( -> T ) erreicht werden.
Bei einer drastischen Erniedrigung der Katodentemperatur durch
reduzierte Heizung gelingt es, das Gebiet zwischen Katode und
Anode raumladungsfrei zu bekommen. Die geringen Elektronenströ-
me in der Größenordnung < 10 -5 A führen auf ρ = 0. Statt (16)
gilt dann das Anlaufstromgesetz;
I = Is*exp{ (eU-ΦK) / kBT} ( für U < ΦK/e) ; (ΦK: Kontaktpotential) (18)
Mit e*U = ΦK sollte I = Is erreicht sein, was nur gelingt, wenn
die Raumladung (durch schwache Katodenheizung) verschwindend
klein ist.
Jetzt verstehen wir auch, was mit dem "raumladungsbegrenzten"
Strom gemeint ist. Der exponentielle Anstieg nach (18) wird
durch einen flacheren U 3/2 -Anstieg ersetzt, wobei sich beide
Verläufe bei genügend großem U im Sättigungsbereich des Stromes
wieder treffen.
2 . Angeregte Zustände
Die Elektronenkonfiguration für Quecksilber ist : Hg:Xe5d 10 (6s 2 ).
Die beiden Valenzelektronen haben die Hauptquantenzahl n=6. Für
s-Elektronen ist l1 = 12 = 0 ( L = ∑li = 0; Russell-Saunders-Kop-
plung vorausgesetzt). Aus dem Pauli-Verbot ergibt sich daraus
für den Spin der beiden Elektronen: s1 = 1/2; s2 = - 1/2, so daß
S = ∑si = 0 wird. Mit der Term-Multiplizität (2S + 1) = 1 folgt
daraus das Singulett-Termschema für Hg (Fig. 1).
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Der Grundzustand des Hg-Atoms ist ein feinstrukturloser Singu-
lettzustand 6* 1 S0 (Hauptquantenzahl*Multiplizität (2S + 1) ; L=O ;
J=L+S = 0). Leider hat das Symbol S zwei Bedeutungen : Zur Be-
schreibung des resultierenden Bahndrehimpulses L = 0 (-> S) und
als Summe der Spins, wie sie in der Multiplizität benötigt wird.
Eine Erhöhung der Energie im Singulett-System (Gesamtspin S = 0)
zeigt sich in einer Änderung der Hauptquantenzahl oder der Bahn-
drehimpuls-Quantenzahl .
Nach Fig. 1 ist z.B. der Übergang 1S -> 2P (genauer 1 S0 -> 1 P1
oder 6s 2 -> 6s 1 6p 1 ) mit einem Photon der Wellenlänge 184,96 nm
verbunden. Der ganzzahlige Spin des Photons (+/-1 -> in Analogie
zu rechts- bzw. linkszirkular polarisiertem Licht) ändert am
entgegengesetzten Spin der beiden Valenzelektronen im angeregten
Zustand des Atoms nichts.
Anders verhält sich ein stoßendes Elektron anstelle des Photons.
Seine Beteiligung an der Elektronenanregung des Hg-Atoms kann
auf ∆S = 0 oder ∆S = +/- 1 führen (Forderung nach Gesamtspiner-
haltung) . Im ersten Fall bleiben wir im Singulettsystem; andern-
falls kommt es zu einer Spinumkehr des p-Elektrons und des stos-
senden Elektrons. Mit dem Gesamtspin S = 1 ändern sich die Ener-
gieverhältnisse im Hg-Atom. Wegen 2S+1 = 3 spaltet im Triplett-
Schema jeder Energieeigenwert dreifach auf.
Wir sehen z.B. in Fig. l, daß der Singulettzustand 1 P1 (2P) im
Triplett-Schema durch 3 P0 (2p3) ; 3 P1 (2p2) und 3 P2 (2p1) "ersetzt"
wird.
Der Eigendrehimpulsvektor S (# 0) gibt dem Bahndrehimpulsvektor
L (-> P-Zustand) die Möglichkeit zur gequantelten Richtungsein-
stellung, woraus J =L+S=0;l;2 folgt. Diese Option ist bei
S = 0 natürlich nicht gegeben.
Warum liegen die 2p-Zustände im TriplettSchema alle unter dem
2P-Singulett-Term? (Man beachte die Skalierung der Energiewer-
te) .
Im Franck-Hertz-Experiment sind die Übergangswahrscheinlichkei-
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ten durch Elektronenstoß besonders groß für die Übergänge 1 S0 ->
3 p1,2,0 (Fig.l), was durch UV-Spektroskopie -> 253,65 nm bestätigt
werden kann.
Die Stoßausbeute bzw. Anregungsfunktion ist von der kinetischen
Energie des stoßenden Elektrons abhängig.
Sie wird in Fig. 2 durch einen Streuquerschnitt wiedergegeben.
Fig. 2 Streuquerschnitt für Elektronenstoß in Hg als Funktion
der kinetischen Energie der stoßenden Elektronen
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3. Streuquerschnitte
Wir nehmen an, daß sich die Atome (bzw. Elektronen) wie starre
Kugeln verhalten. Sowohl für den zentralen als auch den schiefen
Stoß tritt Kollision ein, wenn sich die Kugelmittelpunkte min-
destens bis auf die Berührungsdistanz b annähern (Fig. 3)
Fig. 3 Stoßverhalten
Die Stoßbedingung ist:
b ≤ (R1 + R2) (19)
Der "Streuquerschnitt" ergibt sich aus der Teilchenbewegung in
einem Gas über die mittlere freie Weglänge λ.
Von No Partikel in einem konstanten Volumen bewegen sich N Parti-
kel über eine Wegstrecke x ohne Kollision.
Dann gilt
N/No = exp (-x/λ) . (20)
(20) ist die Definitionsgleichung für die freie Weglänge.
Jetzt interessiert der Zusammenhang von λ = f (Ri) -> (19) ; (20) .
Zur Lösung ist es zweckmäßig, Streuer und gestreute Partikel zu
separieren. Wir nehmen ortsfeste Streuer mit einem Radius von
(R1+R2) und einer Teilchendichte von (n) an. Auf diese lenken wir
punktformige Geschosse mit einem Strahlquerschnitt von F. Die
Streuerfläche enthält dann im Streubereich F (n*F*dx) Partikel
(dx in Strahlrichtung gemessen). Die Targetfläche beträgt dann
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A = nFdx*π(R1+R2) 2 .
Die Trefferwahrscheinlichkeit ist (A/F) = -dN/N = n*π (R1+R2) 2 *dx.
Integration führt auf
N = N0*exp (-n*σ*x) (21)
Der Vergleich mit (20) liefert den Zusammenhang:
λ = 1/ (n*σ) £22)
mit σ als Streuquerschnitt für ruhende Targetpartikel. Für ther-
misch bewegte Streuer (Maxwell-Boltzmann-Statistik) verringert
sich die mittlere freie Weglänge:
λ= l/{ (2) 1/2 (n*σ) }. (23)
4. Auswertung
Nach Fig. 1 und Fig. 2 sind bei entsprechend hoher Energieauflö-
sung drei Niveaus detektierbar. Reicht die Energieauflösung
nicht aus, könnte ein Mittelwert das Ergebnis bestimmen. Nach
dem Artikel von G.F.Hanne (siehe Anlagen) ist die Wichtung für
die Mittelwertbildung vom "Röhrendesign" abhängig. Diese
Versuchsbedingungen werden durch das Produkt {PHg*dK-A} beschrie-
ben, d.h. durch den Hg-Dampfdruck und durch den Abstand Katode-
Anode .
Wir werden unsere Versuchsergebnisse nach diesen theoretischen
Vorgaben interpretieren.
Für den Elektron-Atom-Stoß folgt aus dem Impulssatz
m(v-v' ) = M(V ’ -V) . C2D
m: Elektronenmasse; M:Atommasse; (') Geschwindigkeiten nach dem
Stoß. Mit dem Energieerhaltunssatz und bei zentralem Stoß ist
die Elektronengeschwindigkeit nach dem Stoß:
V ’ = { (m-M) / (m+M) }*v + {2M/(m+M)}*V. (25)
Die Elektronengeschwindigkeit nach dem Stoß (-> Elektronenstrom
wird gemessen) ist von der Geschwindigkeit der Hg-Atome vor dem
Stoß (-> Ofentemperatur!) abhängig. Welche Beobachtungen machen
wir in diesem Zusammenhang?
Der relative Verlust der kinetischen Energie der Elektronen
durch die e-Hg-Kollisionen ist mit EHg

∆Ee/Ee = {4m/M} +/- { (EHg/Ee) * (m/M) } 1/4 . (35)
Der erste Term verschiebt das Strommaximum, der zweite Term be-
einflußt die Breite des Strompeaks. Man prüfe, ob sich die ver-
schiedenen Ofentemperaturen bemerkbar machen.
t ■
Fig. 4 Franck - Hertz - Rohr
Fig. 5 Elektrodenanordnung im Franck-Hertz-Rohr
Die Bestimmung der freien Weglänge der Atome und der Elektronen
gelingt mit Hilfe der Clausius-Clapeyron-Gleichung für ideale
Gase. Wir vernachlässigen dabei den Unterschied der Molvolumina
in der Flüssig- bzw. Gasphase:
(δp/δT) = (QM/RT 2 ) *p. m
(QM: molare Verdampfungswärme)
Die molare Verdampfungswärme ist temperaturabhängig: QM=QM(T) .
Verdampft man die Flüssigkeit durch Erwärmung von 0°C auf die
Temperatur T, dann braucht man die Energie cF1T+QM(T). Im Gedan-
kenexperiment geht dieser Vorgang auch durch Verdampfung bei 0°
und einem Druck p und anschließender Erhöhung der Dampftempera-
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tur auf T. Demnach gilt:
cF1T + QM(T) = QM(0) + cpT. (28)
Setzt man (28) in (27) ein und integriert, dann ergibt sich für
den Druck p:
p = A*exp{-QM(O) / (RT) }*T ((cP-cF1)/k) . (29)
Unterstellt man Übereinstimmung der spezifischen Wärmen, dann
folgt aus (29) die van't Hoff-Gleichung:
p= po*exp { (QM(0)/R)*[(To) -1 -T -1 ] } . (31)
QM = 59,2kJ/mol; R = 8,31 J/(mol*K)
Die Zustandsgleichung für ideale Gase liefert den Zusammenhang
zwischen Teilchendichte und Druck zu:
p = n*kT. (32)
Kombination von (32) und (23) ergibt für Hg-Dampf:
λ = kT/{4*(2) 1/2 π(RHg) 2 p} . (33)
Bei 20°C beträgt der Dampfdruck für Hg: p = l,3*10 -3 Torr (1,73*10 -3
mbar) . Daraus folgt λ, im Zusammenhang mit (31) auch für die an-
deren in der Aufgabenstellung genannten Temperaturen.
Eine verbesserte Energieauflösung kann im Franck-Hertz-Experi-
ment erreicht werden, wenn man die Beschleunigungsstrecke für
Elektronen vom Stoßraum trennt oder anders gesagt: die Energie-
aufnahme durch das Elektron sollte auf einer Wegstrecke gesche-
hen, die klein ist gegen die mittlere freie Weglänge λe der Elek-
tronen im Hg-Dampf.
Eine andere Möglichkeit unelastischer Wechselwirkung ist die
Bildung von Hg - . Dieser energetisch nicht favorisierte Zustand
hat deshalb eine kurze Lebensdauer von 10 -13 s. Man überlege sich,
ob dieser angeregte Zustand zur Peakverschiebung gemittelter
Strommaxima oder zu einem separaten Kollisionspeak führen
könnte.
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Zum Abschluß soll noch auf die Kontaktspannung zwischen Katode
und Anode hingewiesen werden. Diese Voltaspannung beeinflußt die
Lage des ersten Strommaximums im Franck-Hertz-Diagramm.
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Ergänzung zum Artikel von G.F. Hanne
Einfluß des Röhrendesigns auf die Peakdifferenzen ∆U im Franck
Hertz - Spektrum:
p*dKA [mbar*cm] __________AU [V]
4 5,15
20 4,9
100 4,8
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