Konsequenzrelationen

Konsequenzrelationen
Lokale modallogische Konsequenz
Sei Σ ⊆ FmlALmod und F ∈ FmlALmod.
Σ ⊢L F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G,R,v) und jede Welt g ∈ G gilt:
falls g |= Σ , dann g |= F
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.19

Konsequenzrelationen
Globale modallogische Konsequenz
Σ ⊢G F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G,R,v):
dann
falls für jede Welt g ∈ G gilt g |= Σ
dann gilt auch für jede Welt g ∈ G g |= F
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.20

Relative Konsequenzrelationen
Sei T eine Klasse von Kripke Strukturen.
Relative lokale modallogische Konsequenz
Sei Σ ⊆ FmlALmod und F ∈ FmlALmod.
Σ ⊢ T L F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G,R,v) ∈ T und jede Welt g ∈ G gilt:
falls g |= Σ , dann g |= F
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.21

Relative Konsequenzrelationen
Sei T eine Klasse von Kripke Strukturen.
Relative globale modallogische Konsequenz
Σ ⊢ T G F
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur
K = (G,R,v) ∈ T:
dann
falls für jede Welt g ∈ G gilt g |= Σ
dann gilt auch für jede Welt g ∈ G g |= F
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.22

Tautologie und Erfüllbarkeit
Eine Formel F heißt eine modallogische Tautologie oder
allgemeingültig, wenn /0 ⊢ F gilt.
Gilt für eine Klasse T von Kripke Strukturen /0 ⊢ T F dann nennen wir
F eine T-Tautologie.
Eine Formelmenge Σ ⊆ FmlALmod heißt erfüllbar, wenn es eine
Kripke StukturK und eine Welt g gibt mit (K ,g) ⊢ Σ.
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.23

Deduktionstheorem
Für A,B ∈ FmlALmod gilt
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
gdw ⊢L B → A
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24

Deduktionstheorem
Für A,B ∈ FmlALmod gilt
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
gdw ⊢L B → A
Beweis:
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24

Deduktionstheorem
Für A,B ∈ FmlALmod gilt
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
gdw ⊢L B → A
Beweis:
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24

Deduktionstheorem
Für A,B ∈ FmlALmod gilt
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
gdw ⊢L B → A
Beweis:
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
Rein aussagenlogisch ist die folgende Äquivalenz gültig:
{B → A} allgemeingültig gdw {B,¬A} nicht erfüllbar
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24

Deduktionstheorem
Für A,B ∈ FmlALmod gilt
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
gdw ⊢L B → A
Beweis:
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar
Rein aussagenlogisch ist die folgende Äquivalenz gültig:
{B → A} allgemeingültig gdw {B,¬A} nicht erfüllbar
Wieder durch Einsetzen der Definitionen sieht man
{B → A} allgemeingültig gdw ⊢L B → A
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24

Modal Logic: Valid Formulas
Valid
• ✷(P → Q) → (✷P → ✷Q)
• (✷P ∧✷(P → Q)) → ✷Q
• (✷P ∨✷Q) → ✷(P ∨ Q)
• (✷P ∧✷Q) ↔ ✷(P ∧ Q)
• ✷P ↔ ¬✸¬P
• ✸(P ∨ Q) ↔ (✸P ∨✸Q)
• ✸(P ∧ Q) → (✸P ∧✸Q)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.25

Modal Logic: Valid Formulas
Valid
• ✷(P → Q) → (✷P → ✷Q)
• (✷P ∧✷(P → Q)) → ✷Q
• (✷P ∨✷Q) → ✷(P ∨ Q)
• (✷P ∧✷Q) ↔ ✷(P ∧ Q)
• ✷P ↔ ¬✸¬P
• ✸(P ∨ Q) ↔ (✸P ∨✸Q)
• ✸(P ∧ Q) → (✸P ∧✸Q)
Not valid:
• ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)
• (✸P ∧✸Q) → ✸(P ∧ Q)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.25

Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)
s1
s2 P,¬Q
s3 ¬P,Q
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26

Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)
✷(P ∨ Q)
s1
s2 P,¬Q
s3 ¬P,Q
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26

Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)
✷(P ∨ Q)
¬✷P
¬✷Q
s1
s2 P,¬Q
s3 ¬P,Q
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26

Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)
s1
✷(P ∨ Q)
¬✷P
¬✷Q
¬(✷P ∨✷Q)
s2 P,¬Q
s3 ¬P,Q
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26

Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)
s1
✷(P ∨ Q)
¬✷P
¬✷Q
¬(✷P ∨✷Q)
✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q) not true in state s1
s2 P,¬Q
s3 ¬P,Q
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26

Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
Faktum
(1)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27

Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
Faktum
✷1(W3 ∧W2 → S1) (2)
aus (1) mit (G)
(1)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27

Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
Faktum
✷1(W3 ∧W2 → S1) (2)
aus (1) mit (G)
✷1(W3 ∧W2 → S1) ∧ ¬✷1(S1) → ¬✷1(W3 ∧W2) (3)
aus (K) und Aussagenlogik
(1)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27

Eine formale Ableitung
W3 ∧W2 → S1
Faktum
✷1(W3 ∧W2 → S1) (2)
aus (1) mit (G)
✷1(W3 ∧W2 → S1) ∧ ¬✷1(S1) → ¬✷1(W3 ∧W2) (3)
aus (K) und Aussagenlogik
¬✷1(W3 ∧W2) (4)
aus (2), (3) und Faktum B1 mit (MP)
(1)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27

Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)
Fakten
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28

Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)
Fakten
W3 ∧W2 → ✷1W3 ∧✷1W2
mit AL aus (5)
(6)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28

Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)
Fakten
W3 ∧W2 → ✷1W3 ∧✷1W2
mit AL aus (5)
W3 ∧W2 → ✷1(W3 ∧W2) (7)
mit (M), AL und (6)
(6)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28

Eine formale Ableitung (Forts.)
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)
Fakten
W3 ∧W2 → ✷1W3 ∧✷1W2
mit AL aus (5)
W3 ∧W2 → ✷1(W3 ∧W2) (7)
mit (M), AL und (6)
¬(W3 ∧W2) (8)
mit AL aus (7) und (4)
(6)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28

Eine formale Ableitung (Forts.)
✷2(W3 → ¬W2) (9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.29

Eine formale Ableitung (Forts.)
✷2(W3 → ¬W2) (9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
✷2W3 → ✷2¬W2
mit Axiom (K) und AL aus (9)
(10)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.29

Eine formale Ableitung (Forts.)
✷2(W3 → ¬W2) (9)
mit AL und Regel (G) aus (8)
✷2W3 → ✷2¬W2
mit Axiom (K) und AL aus (9)
¬✷2¬W2 → ¬✷2W3
Kontraposition von (10)
(10)
(11)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.29

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W2 → S2
Faktum
(12)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W2 → S2
Faktum
(12)
✷2(¬W2 → S2) (13)
mit Regel (G) aus (12)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W2 → S2
Faktum
(12)
✷2(¬W2 → S2) (13)
mit Regel (G) aus (12)
✷2¬W2 → ✷2S2
mit (MP), Axiom (K) aus (13)
(14)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W2 → S2
Faktum
(12)
✷2(¬W2 → S2) (13)
mit Regel (G) aus (12)
✷2¬W2 → ✷2S2
mit (MP), Axiom (K) aus (13)
¬✷2¬W2
aus (14) mit AL und Faktum B2
(14)
(15)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W2 → S2
Faktum
(12)
✷2(¬W2 → S2) (13)
mit Regel (G) aus (12)
✷2¬W2 → ✷2S2
mit (MP), Axiom (K) aus (13)
¬✷2¬W2
aus (14) mit AL und Faktum B2
¬✷2W3
aus (15) und (11)
(14)
(15)
(16)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W3
aus (16), dem Faktum ¬W3 → ✷2¬W3 und AL
(17)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.31

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W3
aus (16), dem Faktum ¬W3 → ✷2¬W3 und AL
S3
aus (17) mit dem Faktum ¬W3 → S3
(17)
(18)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.31

Eine formale Ableitung (Forts.)
¬W3
aus (16), dem Faktum ¬W3 → ✷2¬W3 und AL
S3
aus (17) mit dem Faktum ¬W3 → S3
✷3S3
mit Regel (G) aus (18)
(17)
(18)
(19)
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.31