Konsequenzrelationen
Konsequenzrelationen
Konsequenzrelationen
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<strong>Konsequenzrelationen</strong><br />
Lokale modallogische Konsequenz<br />
Sei Σ ⊆ FmlALmod und F ∈ FmlALmod.<br />
Σ ⊢L F<br />
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur<br />
K = (G,R,v) und jede Welt g ∈ G gilt:<br />
falls g |= Σ , dann g |= F<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.19
<strong>Konsequenzrelationen</strong><br />
Globale modallogische Konsequenz<br />
Σ ⊢G F<br />
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur<br />
K = (G,R,v):<br />
dann<br />
falls für jede Welt g ∈ G gilt g |= Σ<br />
dann gilt auch für jede Welt g ∈ G g |= F<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.20
Relative <strong>Konsequenzrelationen</strong><br />
Sei T eine Klasse von Kripke Strukturen.<br />
Relative lokale modallogische Konsequenz<br />
Sei Σ ⊆ FmlALmod und F ∈ FmlALmod.<br />
Σ ⊢ T L F<br />
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur<br />
K = (G,R,v) ∈ T und jede Welt g ∈ G gilt:<br />
falls g |= Σ , dann g |= F<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.21
Relative <strong>Konsequenzrelationen</strong><br />
Sei T eine Klasse von Kripke Strukturen.<br />
Relative globale modallogische Konsequenz<br />
Σ ⊢ T G F<br />
gilt genau dann, wenn für jede Kripke Struktur<br />
K = (G,R,v) ∈ T:<br />
dann<br />
falls für jede Welt g ∈ G gilt g |= Σ<br />
dann gilt auch für jede Welt g ∈ G g |= F<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.22
Tautologie und Erfüllbarkeit<br />
Eine Formel F heißt eine modallogische Tautologie oder<br />
allgemeingültig, wenn /0 ⊢ F gilt.<br />
Gilt für eine Klasse T von Kripke Strukturen /0 ⊢ T F dann nennen wir<br />
F eine T-Tautologie.<br />
Eine Formelmenge Σ ⊆ FmlALmod heißt erfüllbar, wenn es eine<br />
Kripke StukturK und eine Welt g gibt mit (K ,g) ⊢ Σ.<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.23
Deduktionstheorem<br />
Für A,B ∈ FmlALmod gilt<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
gdw ⊢L B → A<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24
Deduktionstheorem<br />
Für A,B ∈ FmlALmod gilt<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
gdw ⊢L B → A<br />
Beweis:<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24
Deduktionstheorem<br />
Für A,B ∈ FmlALmod gilt<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
gdw ⊢L B → A<br />
Beweis:<br />
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24
Deduktionstheorem<br />
Für A,B ∈ FmlALmod gilt<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
gdw ⊢L B → A<br />
Beweis:<br />
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
Rein aussagenlogisch ist die folgende Äquivalenz gültig:<br />
{B → A} allgemeingültig gdw {B,¬A} nicht erfüllbar<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24
Deduktionstheorem<br />
Für A,B ∈ FmlALmod gilt<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
gdw ⊢L B → A<br />
Beweis:<br />
Durch Einsetzen der Definitionen erhält man<br />
B ⊢L A gdw {B,¬A} ist nicht erfüllbar<br />
Rein aussagenlogisch ist die folgende Äquivalenz gültig:<br />
{B → A} allgemeingültig gdw {B,¬A} nicht erfüllbar<br />
Wieder durch Einsetzen der Definitionen sieht man<br />
{B → A} allgemeingültig gdw ⊢L B → A<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.24
Modal Logic: Valid Formulas<br />
Valid<br />
• ✷(P → Q) → (✷P → ✷Q)<br />
• (✷P ∧✷(P → Q)) → ✷Q<br />
• (✷P ∨✷Q) → ✷(P ∨ Q)<br />
• (✷P ∧✷Q) ↔ ✷(P ∧ Q)<br />
• ✷P ↔ ¬✸¬P<br />
• ✸(P ∨ Q) ↔ (✸P ∨✸Q)<br />
• ✸(P ∧ Q) → (✸P ∧✸Q)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.25
Modal Logic: Valid Formulas<br />
Valid<br />
• ✷(P → Q) → (✷P → ✷Q)<br />
• (✷P ∧✷(P → Q)) → ✷Q<br />
• (✷P ∨✷Q) → ✷(P ∨ Q)<br />
• (✷P ∧✷Q) ↔ ✷(P ∧ Q)<br />
• ✷P ↔ ¬✸¬P<br />
• ✸(P ∨ Q) ↔ (✸P ∨✸Q)<br />
• ✸(P ∧ Q) → (✸P ∧✸Q)<br />
Not valid:<br />
• ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)<br />
• (✸P ∧✸Q) → ✸(P ∧ Q)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.25
Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)<br />
s1<br />
s2 P,¬Q<br />
s3 ¬P,Q<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26
Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)<br />
✷(P ∨ Q)<br />
s1<br />
s2 P,¬Q<br />
s3 ¬P,Q<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26
Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)<br />
✷(P ∨ Q)<br />
¬✷P<br />
¬✷Q<br />
s1<br />
s2 P,¬Q<br />
s3 ¬P,Q<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26
Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)<br />
s1<br />
✷(P ∨ Q)<br />
¬✷P<br />
¬✷Q<br />
¬(✷P ∨✷Q)<br />
s2 P,¬Q<br />
s3 ¬P,Q<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26
Not Valid: ✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q)<br />
s1<br />
✷(P ∨ Q)<br />
¬✷P<br />
¬✷Q<br />
¬(✷P ∨✷Q)<br />
✷(P ∨ Q) → (✷P ∨✷Q) not true in state s1<br />
s2 P,¬Q<br />
s3 ¬P,Q<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.26
Eine formale Ableitung<br />
W3 ∧W2 → S1<br />
Faktum<br />
(1)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27
Eine formale Ableitung<br />
W3 ∧W2 → S1<br />
Faktum<br />
✷1(W3 ∧W2 → S1) (2)<br />
aus (1) mit (G)<br />
(1)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27
Eine formale Ableitung<br />
W3 ∧W2 → S1<br />
Faktum<br />
✷1(W3 ∧W2 → S1) (2)<br />
aus (1) mit (G)<br />
✷1(W3 ∧W2 → S1) ∧ ¬✷1(S1) → ¬✷1(W3 ∧W2) (3)<br />
aus (K) und Aussagenlogik<br />
(1)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27
Eine formale Ableitung<br />
W3 ∧W2 → S1<br />
Faktum<br />
✷1(W3 ∧W2 → S1) (2)<br />
aus (1) mit (G)<br />
✷1(W3 ∧W2 → S1) ∧ ¬✷1(S1) → ¬✷1(W3 ∧W2) (3)<br />
aus (K) und Aussagenlogik<br />
¬✷1(W3 ∧W2) (4)<br />
aus (2), (3) und Faktum B1 mit (MP)<br />
(1)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.27
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)<br />
Fakten<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)<br />
Fakten<br />
W3 ∧W2 → ✷1W3 ∧✷1W2<br />
mit AL aus (5)<br />
(6)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)<br />
Fakten<br />
W3 ∧W2 → ✷1W3 ∧✷1W2<br />
mit AL aus (5)<br />
W3 ∧W2 → ✷1(W3 ∧W2) (7)<br />
mit (M), AL und (6)<br />
(6)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
(W3 → ✷1W3) ∧(W2 → ✷1W2) (5)<br />
Fakten<br />
W3 ∧W2 → ✷1W3 ∧✷1W2<br />
mit AL aus (5)<br />
W3 ∧W2 → ✷1(W3 ∧W2) (7)<br />
mit (M), AL und (6)<br />
¬(W3 ∧W2) (8)<br />
mit AL aus (7) und (4)<br />
(6)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.28
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
✷2(W3 → ¬W2) (9)<br />
mit AL und Regel (G) aus (8)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.29
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
✷2(W3 → ¬W2) (9)<br />
mit AL und Regel (G) aus (8)<br />
✷2W3 → ✷2¬W2<br />
mit Axiom (K) und AL aus (9)<br />
(10)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.29
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
✷2(W3 → ¬W2) (9)<br />
mit AL und Regel (G) aus (8)<br />
✷2W3 → ✷2¬W2<br />
mit Axiom (K) und AL aus (9)<br />
¬✷2¬W2 → ¬✷2W3<br />
Kontraposition von (10)<br />
(10)<br />
(11)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.29
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W2 → S2<br />
Faktum<br />
(12)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W2 → S2<br />
Faktum<br />
(12)<br />
✷2(¬W2 → S2) (13)<br />
mit Regel (G) aus (12)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W2 → S2<br />
Faktum<br />
(12)<br />
✷2(¬W2 → S2) (13)<br />
mit Regel (G) aus (12)<br />
✷2¬W2 → ✷2S2<br />
mit (MP), Axiom (K) aus (13)<br />
(14)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W2 → S2<br />
Faktum<br />
(12)<br />
✷2(¬W2 → S2) (13)<br />
mit Regel (G) aus (12)<br />
✷2¬W2 → ✷2S2<br />
mit (MP), Axiom (K) aus (13)<br />
¬✷2¬W2<br />
aus (14) mit AL und Faktum B2<br />
(14)<br />
(15)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W2 → S2<br />
Faktum<br />
(12)<br />
✷2(¬W2 → S2) (13)<br />
mit Regel (G) aus (12)<br />
✷2¬W2 → ✷2S2<br />
mit (MP), Axiom (K) aus (13)<br />
¬✷2¬W2<br />
aus (14) mit AL und Faktum B2<br />
¬✷2W3<br />
aus (15) und (11)<br />
(14)<br />
(15)<br />
(16)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.30
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W3<br />
aus (16), dem Faktum ¬W3 → ✷2¬W3 und AL<br />
(17)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.31
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W3<br />
aus (16), dem Faktum ¬W3 → ✷2¬W3 und AL<br />
S3<br />
aus (17) mit dem Faktum ¬W3 → S3<br />
(17)<br />
(18)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.31
Eine formale Ableitung (Forts.)<br />
¬W3<br />
aus (16), dem Faktum ¬W3 → ✷2¬W3 und AL<br />
S3<br />
aus (17) mit dem Faktum ¬W3 → S3<br />
✷3S3<br />
mit Regel (G) aus (18)<br />
(17)<br />
(18)<br />
(19)<br />
B. Beckert: Nicht-klassische Logiken – p.31