Proseminar: Gödel, Escher, Bach Formale System: MU-Rätsel

Proseminar: Gödel, Escher, Bach
Formale System: MU-Rätsel
Betreuer : Marcus Tönnis
Verfasser : Chang Li
Inhaltsverzeichnis
1. Formale Systeme
1.1. Was sind Formale Systeme
1.2. Sätze und Axiome
2. Eine Einführung: MIU System
2.1. Das MIU System
2.2. Die Sätze und Axiome des MIU Systems
2.3. Das MU-Rätsel
3. Betrachtungsweisen formaler Systeme
3.1. Nachdenken über das System
3.2. Die Lösung des MU-Rätsels
4. Zusammenfassung
Literatur
Seite 1 von 6

1. Formale Systeme
Ein Formales System ist ein Satz von Regeln, nach dem ein Interpreter arbeiten muss. Er darf
sich nur an die Regeln halten und nicht darüber hinaus nachdenken.
1.1. Was sind Formale Systeme
Ein formales System beschreibt eine formale Sprache, also ein System von Symbolketten und
Regeln. Regeln sind Vorschriften für die Umwandlung einer Symbolkette in eine andere, also
Produktionen einer formalen Grammatik. Die Anwendung der Regeln kann dabei ohne
Kenntnis der Bedeutung der Symbole, also rein syntaktisch erfolgen. Formale Systeme
werden in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen wie der Logik, Mathematik,
Informatik und Linguistik verwendet, insbesondere um neue Aussagen aus bereits bekanntem
Wissen herzuleiten. Zum Beispiel, Logiksystem wie die Aussagenlogik können durch ein
formales System definiert werden. Dazu kann man normale Wörter wie und, oder, nicht
verwenden, was die Verständlichkeit erhöht. Die Mathematik bedient sich seit jeher formaler
Systeme. Die elementare Algebra, wie man sie in der Schule lernt, ist ein solches System. Sie
bedient sich der Zahlen, Rechenzeichen für Addition, Subtraktion usw. und der Buchstaben
für Unbekannte. In Informatik ist eine Programmiersprache auch ein Formales System. In
Linguistik ist es wie zum Beispiel die deutsche Sprache. Die Grammatik beinhaltet die Regeln,
das Vokabular, wie z.B. im Duden dargestellt, bestimmt die Axiome. Sprache entsteht durch
das Ableiten von Sätzen anhand der Grammatikregeln.
1.2. Sätze und Axiome
Jedes formale System hat eigene Regeln, nach dem ein Interpreter arbeiten kann. Er darf sich
nur an die Regeln halten und nicht darüber hinaus nachdenken. Die durch Regeln
herstellbaren Symbolketten nennt man SÄTZE. In einem formalen System aber braucht man
SÄTZE nicht als Aussagen zu betrachten
sie sind lediglich Symbolketten. Und sie werden
nicht bewiesen, sondern einfach wie von einer Maschine nach gewissen typographischen
Regeln erzeugt.
AXIOME sind Sätze, die von vornherein als wahr vorausgesetzt werden. Ein formales
System kann kein, ein, mehrere, ja sogar unendlich viele Axiome besitzen. z.B., die
euklidische Geometrie hat nur fünf Axiome.
Jetzt wissen wir, was formale Systeme, Sätze und Axiome sind. Es ist sicher möglich, dass
man Computer so durch formale Systeme zu programmieren kann. Und das ist sicher, dass er,
wenn die Aufgabe keine Lösung hat, endlos arbeitet, weil er sich nur an die Regeln halten und
nicht darüber hinaus nachdenken kann. Gehen wir das Beispiel durch: Das verwendete
Alphabet nutzt die Zahlen, a , m
und n sind Zahlen. Es gibt eine Regel: a+1 m ( m ist
die Zahl, die eins größer als a ist ), gesucht a+1+1+ +1 n. Durch die Regel addiert der
Computer immer noch eine Eins, bis letzte Eins, anschließend bekommt das Ergebnis n .
Falls es Million Einen gibt, oder mehrere, kann der Computer ohne Klage und ohne
Langeweile immer und immer wieder tun. Es braucht nur die Zeit!
2. Eine Einführung: MIU System
Seite 2 von 6

Ein berühmtes Beispiel für ein formales System ist das MU Rätsel[1]. Douglas R. Hofstadter
erfand dieses System, um die Anwendung von formalen Systemen im Bereich der Logik und
Mathematik zu veranschaulichen.
2.1. Das MIU-System
Das formale MIU-System ist ein sehr einfaches System, das nur drei Symbole und vier
Regeln enthält. Schon die Grundrechenarten der Arithmetik, ebenfalls ein formales System,
sind wesentlich komplexer. Da das System keine Entsprechungen für reale Dinge hat, im
Gegensatz z.B. zu Zahlwörtern, wird der formale Charakter besonders deutlich. Im formalen
System spielt ja genau die Bedeutung der Symbole keine Rolle mehr.
Drei Symbole und vier Regeln
Das System besteht aus den drei Symbolen M, I und U. Symbolketten können durch die
folgenden vier Regeln in andere Ketten verwandelt werden:
Regel1: Wenn das letzte Symbol I ist, kann U angefügt werden (aus MI wird MIU)
Regel2: Aus Mx kann Mxx erzeugt werden (aus MIU wird MIUIU)
Regel3: III kann durch U ersetzt werden (aus MUIIII wird MUIU)
Regel4: UU kann gestrichen werden (aus MUUUI wird MUI)
x in Regel2 steht für eine beliebige Symbolkette. xx bedeutet die Verdoppelung der Kette,
diese wird also zweimal hintereinander gesetzt.
Die Regeln dürfen in beliebiger Reihenfolge auf eine Symbolkette angewendet werden, auch
mehrmals hintereinander.
1. MI
2. MII (Regel2)
3. MIIII (Regel2)
4. MUI (Regel3)
5. MUIU (Regel1)
6. MUIUUIU (Regel2)
7. MUIIU (Regel4)
2.2. Die Sätze und Axiome des MIU Systems
Die folgende Tabelle gibt Symbole, Sätze, Axiom und Regeln des MIU Systems.
Element
Symbole M, I und U
Satz Jede beliebige Folge der Symbole MIU, die durch die Regeln ableitbar
ist.
Axiom MI
Schlussfolgerungs-
Regeln
Regel1 bis Regel4 (siehe oben)
Beweis eines Reihenfolge der Anwendung von Regel1 bis Regel4 auf das Axiom MI,
Satzes
bis der zu beweisende Satz entsteht.
Beweisbarkeit
eines Satzes
Möglichkeit der Existenz eines Beweises
MU-Rätsel Beweisbarkeit des Satzes MU
Seite 3 von 6

2.3 Das MU-Rätsel
Das MU-Rätsel fragt nach der Beweisbarkeit des "Satzes" MU.
1. Vorgegeben ist die Symbolkette MI
2. Gibt es eine Folge der Anwendung der Regeln, so dass die Symbolkette MU aus MI
entsteht?
Abb.1 Ein systematisch konstruierter "Baum" aller SÄTZE des MIU-Systems. Die N-te Stufe
von oben enthält jene SÄTZE, deren Ableitungen genau N Schritte umfassen. Die Ziffern in
den Ringen geben an, welche Regeln angewendet wurden. Ist MU irgendwo in diesem Baum?
3. Betrachtungsweisen formaler
Systeme
Es wurde die Begriffe des formalen Systemes und MIU Systems vorgestellt. Jetzt betrachten
wir das System, um die Lösung des MU-Rätsels zu finden.
3.1. Nachdenken über das System
Am Anfang gibt es ein Beispiel, wird Regel a+1 m verwendet, um a+1+1+ +1 n für
a=1, n=1000 zu erhalten, muss der Computer Schritt für Schritt immer und immer addieren,
solange n noch nicht erreicht ist. Am Ende ist das Ergebnis n . Das bezeichnet man
innerhalb des Systems arbeiten.
Aber der Mensch ist intelligent, er kann sofort die Aufgabe lösen. Wieso kann er es so schnell
machen? Weil er über das System nachdanken kann. Durch die Regel weiß er, dass a um
eins vermehrt werden kann. Dann weiß er, dass n-a -malige Einen addiert werden bzw. na
-malige Anwendungen von der Regel, anschließend wird n bekommen. Dieses Nachdenken
bezeichnet man außerhalb des Systems arbeiten.
Seite 4 von 6

Der Beweis ist Reihenfolge der Anwendung von Regel auf das Axiom MI , z.B. Sie können
irgendwann einmal MIU ableiten, das hieße innerhalb des Systems arbeiten. Warum kann
MU nicht erzeugt werden? Vielleicht überlegen Sie weiterer aus dem System und versuchen,
sich klar zu werden. Vielleicht fanden Sie einen Grund, warum Sie das nicht konnten. Das
hieße Nachdenken über das System. Der Mensch ist intelligent, jeder ist fähig, innerhalb eines
Systems zu arbeiten und gleichzeitig über das nachzudenken, was er tut. Und es ist an der Zeit,
dass wir zu unserer Diskussion der Lösung des MU-Rätsels.
3.2. Lösung des MU-Rätsels
Die Symbolkette MU kann durch Anwendung der Regeln aus dem ersten Abschnitt nicht aus
der Kette MI erzeugt werden. Das MU-Rätsel kann nur gelöst werden, wenn Sie das formale
System verlassen und über das System selbst nachdenken.
Über das System nachzudenken, können wir finden:
Verkürzung und Verlängerung
Der Beweis kann aber nicht innerhalb des MIU-Systems geführt werden. Regel1 und Regel2
verlängern eine Kette, Regel3 und Regel4 verkürzen sie dagegen. MU könnte also unter
Umständen doch durch eine lange Kette von Regelanwendungen erzeugt werden.
Eigenschaften beweisbarer Sätze
Zur Lösung kann man die Eigenschaften der beweisbaren Sätze untersuchen. Eine solche
Eigenschaft ist die Anzahl der I-Symbole in einer Kette, die ab jetzt I-Wert genannt werden
soll. Der I-Wert des Axioms MI ist eins, da I einmal vorkommt. Der I-Wert des Satzes MU ist
dagegen null.
Eigenschaften des I-Werts
Die Umwandlungsregeln verändern den I-Wert wie folgt:
Regel1 und Regel4 lassen den I-Wert unverändert.
Regel2 verdoppelt den I-Wert
Regel3 verringert den I-Wert um drei
Den I-Wert kann man aus der Anzahl der Anwendungen von Regel2 und Regel3 berechnen.
Der I-Wert des Axioms ist wie gesagt eins. Wendet man Regel2 an, so erhält man einen I-
Wert von 2. Wendet man sie nochmals an, so ergibt sich 4,8,16, usw. n-malige Anwendung
ergibt also einen I-Wert von 2 n . Jede Anwendung von Regel3 verringert den I-Wert eines
Satzes um drei, m-malige Anwendung also um . Der I-Wert ist also
Regel2 wird n-mal angewendet
Regel3 wird m-mal angewendet
Beweis der Unlösbarkeit
Da der zu beweisende Satz MU die I-Zahl null hat, muss die Gleichung
gelöst werden, wobei n und m ganze Zahlen sein müssen. Der Term auf der linken Seite
ergibt nur die Zahlen 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, usw. aber niemals 0, 3, 6, usw. Ein I-Wert von
Null ist also nicht möglich. Damit ist der Satz MU wie jeder Satz mit dem I-Wert Null nicht
erzeugbar. MU ist kein Satz von MUI System. Es gibt keine Lösung des MU-Rätsels!
Seite 5 von 6

4. Zusammenfassung
Es wurde der Begriff des formalen Systems vorgestellt. Ein Formales System ist ein Satz von
Regeln, nach dem der Interpreter (Mensch oder Maschine) arbeiten muss. Er darf sich nur an
die Regeln halten und nicht darüber hinaus nachdenken. Formale Systeme werden in
verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen verwendet. Es wurde das MIU System
vorgestellt. Douglas R. Hofstadter erfand dieses System. Das MU-Rätsel kann nicht gelöst
werden, wenn man innerhalb des MUI Systems arbeitet. Das MU-Rätsel kann nur gelöst
werden, wenn man verlässt und über das System selbst nachdenkt. Es ist ersichtlich, dass
formale Systeme wichtige Rolle in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen spielen,
aber Außerhalb des Systems zu arbeiten ist auch wichtig. Darum muss, um eine korrekte und
gewünschte Abarbeitung von formalen Systemen gewährleisten zu können, von außerhalb des
Systems die richtige Designentscheidung getroffen werden. Wir müssen über das System
selbst nachdenken und entscheiden.
Literatur
[1] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, ein Endloses Geflochtenes Band. DTV 1991 ISBN 3423300175
Seite 6 von 6