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Automaten und Berechenbarkeit 16 Korollar 1.2.6 LA = LAred Definition 1.2.9 Zwei DEAs A = (X,Z,z0,δ,Zf) und A ′ = (X,Z ′ ,z ′ 0 ,δ′ ,Z ′ f ) heißen isomorph, falls es eine Bijektion Φ : Z → Z ′ gibt mit 1. Φ(z0) = z ′ 0 2. Φ(Zf) = Z ′ f 3. ∀z∀x((z ∈ Z∧x ∈ X) → Φ(δ(z,x)) = δ ′ (Φ(z),x)) Lemma 1.2.7 Sind zwei DEA’s A und A ′ isomorph, so ist LA = LA ′. Definition 1.2.10 (Nerode-Rechtskongruenz einer Sprache) Es sei L ⊆ X ∗ eine beliebige Sprache über X. Wir nennen zwei Wörter u ∈ X ∗ und v ∈ X ∗ rechts-kongruent (Schreibweise: u ∼L v):⇔ ∀w w ∈ X ∗ → (u·w ∈ L ⇔ v·w ∈ L) .
Automaten und Berechenbarkeit 17 Lemma 1.2.8 1. ∼L ist eine Äquivalenzrelation auf X ∗ . [w]L := {v : v ∼L w} heißt Äquivalenzklasse von w ∈ X ∗ bzgl. L. Die Anzahl aller (verschiedenen) Äquivalenzklassen bzgl. L nennen wir Index von L. 2. ∼L ist rechtsstabil bzgl. der Konkatenation, d.h. für alle u,v ∈ X ∗ gilt: u ∼L v ⇒ ∀w(w ∈ X ∗ → u·w ∼L v·w) 3. L = u∈L [u]L (für alle v ∈ [u]L folgt aus u ∈ L stets v ∈ L) 4. Ist A = (X,Z,z0,δ,Zf) ein DEA mit LA = L, so hat A mindestens so viele Zustände wie es verschiedene Äquivalenzklassen bzgl. ∼L gibt, d.h. |Z| ≥ indexL.Hilfssatz 1.2.4.3
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Automaten und Berechenbarkeit 17<br />
Lemma 1.2.8<br />
1. ∼L ist eine Äquivalenzrelation auf X ∗ .<br />
[w]L := {v : v ∼L w} heißt Äquivalenzklasse von w ∈ X ∗ bzgl. L.<br />
Die Anzahl aller (verschiedenen) Äquivalenzklassen bzgl. L<br />
nennen wir Index von L.<br />
2. ∼L ist rechtsstabil bzgl. der Konkatenation, d.h. für alle u,v ∈ X ∗<br />
gilt:<br />
u ∼L v ⇒ ∀w(w ∈ X ∗ → u·w ∼L v·w)<br />
3. L = <br />
u∈L<br />
[u]L<br />
(für alle v ∈ [u]L folgt aus u ∈ L stets v ∈ L)<br />
4. Ist A = (X,Z,z0,δ,Zf) ein DEA mit LA = L, so hat A mindestens<br />
so viele Zustände wie es verschiedene Äquivalenzklassen bzgl.<br />
∼L gibt, d.h. |Z| ≥ indexL.Hilfssatz 1.2.4.3
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