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Automaten und Berechenbarkeit 12 Lemma 1.2.3 (a) Für alle z,z ′ ∈ Z gilt: z ∼A z ′ ⇐⇒ L(Az) = L(Az ′) (b) ∼A⊆ Z×Z ist eine Äquivalenzrelation. (c) ∼A ist verträglich mit der Überführungsfunktion δ, d.h. aus z ∼A z ′ und x ∈ X folgt δ(z,x) ∼A δ(z ′ ,x). Lemma 1.2.4 Für beliebige Zustände z,z ′ ∈ Z ist effektiv entscheidbar, ob z ∼A z ′ gilt. z ∼k z ′ :⇔ Für beliebige Wörter w ∈ X ∗ mit |w| ≤ k gilt: δ ∗ (z,w) ∈ Zf ⇐⇒ δ ∗ (z ′ ,w) ∈ Zf
Automaten und Berechenbarkeit 13 Hilfssatz 1.2.4.1 ∼k ist eine Äquivalenzrelation. Hilfssatz 1.2.4.2 Für alle k ≥ 0 gilt: z ∼k+1 z ′ =⇒ z ∼k z ′ . Insbes. gilt für alle z ∈ Z: [z]k+1 ⊆ [z]k. Hilfssatz 1.2.4.3 Es sei z ∈ Z. Dann gilt für alle k ≥ 0 und z ′ ,z ′′ ∈ [z]k: [z ′ ]k+1 = [z ′′ ]k+1 ⇐⇒ ∀x ∈ X : [δ(z ′ ,x)]k = [δ(z ′′ ,x)]k. Hilfssatz 1.2.4.4 Es sei h ≥ 0 und für alle z ∈ Z gelte [z]h+1 = [z]h. Dann gilt für alle k ≥ h und alle Zustände z ∈ Z: [z]k = [z]h Hilfssatz 1.2.4.5 Es sei h ≥ 0 und für alle z ∈ Z gelte: [z]h+1 = [z]h. Dann ist für alle z ∈ Z: [z]A = [z]h
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Automaten und Berechenbarkeit 13<br />
Hilfssatz 1.2.4.1 ∼k ist eine Äquivalenzrelation.<br />
Hilfssatz 1.2.4.2 Für alle k ≥ 0 gilt: z ∼k+1 z ′ =⇒ z ∼k z ′ .<br />
Insbes. gilt für alle z ∈ Z: [z]k+1 ⊆ [z]k.<br />
Hilfssatz 1.2.4.3 Es sei z ∈ Z. Dann gilt für alle k ≥ 0 und<br />
z ′ ,z ′′ ∈ [z]k:<br />
[z ′ ]k+1 = [z ′′ ]k+1 ⇐⇒ ∀x ∈ X : [δ(z ′ ,x)]k = [δ(z ′′ ,x)]k.<br />
Hilfssatz 1.2.4.4 Es sei h ≥ 0 und für alle z ∈ Z gelte [z]h+1 = [z]h.<br />
Dann gilt für alle k ≥ h und alle Zustände z ∈ Z: [z]k = [z]h<br />
Hilfssatz 1.2.4.5 Es sei h ≥ 0 und für alle z ∈ Z gelte: [z]h+1 = [z]h.<br />
Dann ist für alle z ∈ Z: [z]A = [z]h
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