Folien

Automaten und Berechenbarkeit 1
1 Endliche Automaten
1.1 Endliche Automaten mit Ausgabe
Definition 1.1.1 A = (X,Y,Z,z0,δ,λ) heißt deterministischer
endlicher Automat mit Ausgabe genau dann, wenn gilt:
• X nichtleere endliche Menge von Symbolen (Eingabealphabet)
• Y nichtleere endliche Menge von Symbolen (Ausgabealphabet)
• Z nichtleere endliche Menge (Zustandsmenge)
• z0 ∈ Z (Startzustand)
• δ : Z×X → Z totale Funktion (Überführungsfunktion)
• λ : Z×X → Y totale Funktion (Ausgabefunktion)

Automaten und Berechenbarkeit 2
Definition 1.1.2 Unter der erweiterten Überführungsfunktion δ ∗
eines deterministischen endlichen Automaten A = (X,Y,Z,z0,δ,λ)
mit Ausgabe versteht man die Funktion δ ∗ : Z×X ∗ → Z mit
• ∀z(z ∈ Z → δ ∗ (z,ε) = z)
• ∀z∀x∀w((z ∈ Z∧x ∈ X∧w ∈ X ∗ ) → δ ∗ (z,wx) = δ(δ ∗ (z,w),x))
Definition 1.1.3 Unter der erweiterten Ausgabefunktion λ ∗ eines
deterministischen endlichen Automaten A mit Ausgabe versteht man
die Funktion λ ∗ : Z×X ∗ → Y ∗ mit
• ∀z(z ∈ Z → λ ∗ (z,ε) = ε)
• ∀z∀x∀Simulatorw((z ∈ Z∧x ∈ X∧w ∈ X ∗ ) →
λ ∗ (z,wx) = λ ∗ (z,w)·λ(δ ∗ (z,w),x))

Automaten und Berechenbarkeit 3
1.2 Endliche Automaten
Definition 1.2.1 A = (X,Z,z0,δ,Zf) heißt nichtdeterministischer
endlicher Automat (NEA) genau dann, wenn gilt:
• X und Z nichtleere endliche Mengen
• z0 ∈ Z (Startzustand)
• Zf ⊆ Z (Finalzustandsmenge)
• δ ⊆ Z×X×Z (Überführungsrelation)
Simulator
A heißt deterministischer endlicher Automat (DEA) genau dann,
wenn gilt:
∀z∀x∃!z ′ (((z,x) ∈ Z×X∧z ′ ∈ Z) → (z,x,z ′ ) ∈ δ))
A heißt vollständiger endlicher Automat genau dann, wenn
∀z∀x∃z ′ (((z,x) ∈ Z×X∧z ′ ∈ Z) → (z,x,z ′ ) ∈ δ)

Automaten und Berechenbarkeit 4
Schreibweise:
A : z x
−→ z ′ :⇐⇒ (z,x,z ′ ) ∈ δ
A : z wx
−→ z ′ :⇐⇒ ∃z ′′ (z ′′ ∈ Z∧A : w
−→ z ′′ ∧(z ′′ ,x,z ′ ) ∈ δ
A : z ε
−→ z:
Jeder Zustand ist von sich aus durch den leeren Pfad erreichbar.
Definition 1.2.2 LA = {w : w ∈ X∗ ∧∃z(z ∈ Zf ∧z0
vom NEA A = (X,Z,z0,δ,Zf) akzeptierte Sprache.
w
−→ zf)} ist die

Automaten und Berechenbarkeit 5
Definition 1.2.3 Ein DEA ist ein Quintupel A = (X,Z,z0,f,Zf) mit:
• X nichtleere endliche Menge von Symbolen (Eingabealphabet)
• Z nichtleere endliche Menge (Zustandsmenge)
• z0 ∈ Z (Startzustand)
• Zf ⊆ Z (Finalzustandsmenge)
• f : Z×X → Z totale Funktion (Überführungsfunktion)

Automaten und Berechenbarkeit 6
Satz 1.2.1 (Potenzmengenkonstruktion)
Eine Wortmenge kann genau dann von einem deterministischen
endlichen Automaten (DEA) akzeptiert werden, wenn sie von einem
nichtdeterministischen endlichen Automaten (NEA) akzeptiert werden
kann.
Konstruktion des deterministischen endlichen Automaten:
gegeben: An = (X,Z,z0,δ,Zf)
konstruieren Ad = (X,Z ′ ,z ′ 0 ,δ′ ,Z ′ f ) wie folgt:
• Z ′ := 2 Z Potenzmenge von Z
• z ′ 0
:= {z0}
• f : 2Z ×X → 2Z (M,x) ↦−→
z∈M
z ′ : (z,x,z ′ ) ∈ δ
• Z ′ f := {M : M ⊆ Z∧M∩Zf = ∅}

Automaten und Berechenbarkeit 7
Korrektheit:
für alle w ∈ X ∗ und beliebige Zustände zp,zq ∈ Z gilt:
zq ∈ f ∗ ({zp},w) ⇐⇒ An : zp
(Beweis mit Induktion über |w|)
Mit (∗) folgt:
An akzeptiert w
w
−→ zq (∗)
w
⇔ ∃zq ∈ Zf mit An : z0 −→ zq
⇔ ∃zq ∈ Zf mit zq ∈ f∗ ({z0},w) (wegen (∗))
⇔ ∃zq ∈ Zf ∩f∗ ({z0},w)
⇔ f∗ ({z0},w)∩Zf = ∅
⇔ f∗ ({z0},w) ∈ Z ′ f (nach Def. Z′ f )
⇔ Ad akzeptiert w
Also: LAn = LAd

Automaten und Berechenbarkeit 8
Beweis von (∗) durch Induktion über |w|:
Induktionsanfang: |w| = 0, d.h. w = ε:
zq ∈ f ∗ ({zp},ε)
⇔ zq ∈ {zp} (da nach Definition f∗ ({zp},ε) = {zp})
⇔ zq = zp
ε
⇔ An : zp −→ zq (da ε-Transitionen verboten)
|w| = 1, d.h. w = x mit x ∈ X:
zq ∈ f ∗ ({zp},x)
⇔ zq ∈ f({zp},x)
⇔ (zp,x,zq) ∈ δ (nach Def. f Potenzmengenkonstruktion)
⇔ An : zp
x
−→ zq

Automaten und Berechenbarkeit 9
Induktionsschritt: w ∈ X ∗ , x ∈ X:
nach Induktionsvoraussetzung gilt für alle zp,zq ∈ Z:
zq ∈ f ∗ ({zp},w) ⇐⇒ An : zp
w
−→ zq
Zu zeigen: ∀zp,zq ∈ Z: zq ∈ f ∗ ({zp},w·x) ⇐⇒ An : zp
Es gilt zq ∈ f ∗ ({zp},w·x)
⇔ zq ∈ f(f ∗ ({zp},w),x) (nach Def. von f ∗ )
w·x
−→ zq
⇔ ∃zr ∈ Z : zr ∈ f∗ ({zp},w) und f({zr},x) = {zq}
w
⇔ ∃zr ∈ Z : An : zp −→ zr und (zr,x,zq) ∈ δ
(nach Induktionsvor. bzw. Def. f)
w
x
⇔ ∃zr ∈ Z : An : zp −→ zr und An : zr −→ zq (nach Def. δ)
⇔ An : zp
w·x
−→ zq

Automaten und Berechenbarkeit 10
EA := {LA : A ist ein endlicher Automat}
Satz 1.2.2
Die Klasse EA ist abgeschlossen unter den Operationen
∩, ∪, −, · und ∗ .
D.h. sind L und L ′ in EA, so auch L∪L ′ ,L∩L ′ ,L,L·L ′ und L ∗ .

Automaten und Berechenbarkeit 11
Definition 1.2.4 (äquivalente Zustände) Es sei A = (X,Z,z0,δ,Zf)
ein DEA. Für beliebige z ′′ ∈ Z sei Az ′′ := (X,Z,z′′ ,δ,Zf).
Zwei Zustände z,z ′ ∈ Z heißen äquivalent, d.h. ununterscheidbar
(in Zeichen: z ∼A z ′ ) genau dann, wenn für alle w ∈ X ∗ gilt:
w ∈ LAz ⇐⇒ w ∈ LA z ′ .
Definition 1.2.5 (unterscheidendes Experiment) Für einen DEA
A = (X,Z,z0,δ,Zf) heißt w ∈ X ∗ ein die Zustände z und z ′
unterscheidendes Experiment genau dann, wenn
δ ∗ (z,w) ∈ Zf ⇐⇒ δ ∗ (z ′ ,w) ∈ Zf.

Automaten und Berechenbarkeit 12
Lemma 1.2.3
(a) Für alle z,z ′ ∈ Z gilt: z ∼A z ′ ⇐⇒ L(Az) = L(Az ′)
(b) ∼A⊆ Z×Z ist eine Äquivalenzrelation.
(c) ∼A ist verträglich mit der Überführungsfunktion δ, d.h.
aus z ∼A z ′ und x ∈ X folgt δ(z,x) ∼A δ(z ′ ,x).
Lemma 1.2.4 Für beliebige Zustände z,z ′ ∈ Z ist effektiv
entscheidbar, ob z ∼A z ′ gilt.
z ∼k z ′ :⇔
Für beliebige Wörter w ∈ X ∗ mit |w| ≤ k gilt:
δ ∗ (z,w) ∈ Zf ⇐⇒ δ ∗ (z ′ ,w) ∈ Zf

Automaten und Berechenbarkeit 13
Hilfssatz 1.2.4.1 ∼k ist eine Äquivalenzrelation.
Hilfssatz 1.2.4.2 Für alle k ≥ 0 gilt: z ∼k+1 z ′ =⇒ z ∼k z ′ .
Insbes. gilt für alle z ∈ Z: [z]k+1 ⊆ [z]k.
Hilfssatz 1.2.4.3 Es sei z ∈ Z. Dann gilt für alle k ≥ 0 und
z ′ ,z ′′ ∈ [z]k:
[z ′ ]k+1 = [z ′′ ]k+1 ⇐⇒ ∀x ∈ X : [δ(z ′ ,x)]k = [δ(z ′′ ,x)]k.
Hilfssatz 1.2.4.4 Es sei h ≥ 0 und für alle z ∈ Z gelte [z]h+1 = [z]h.
Dann gilt für alle k ≥ h und alle Zustände z ∈ Z: [z]k = [z]h
Hilfssatz 1.2.4.5 Es sei h ≥ 0 und für alle z ∈ Z gelte: [z]h+1 = [z]h.
Dann ist für alle z ∈ Z: [z]A = [z]h

Automaten und Berechenbarkeit 14
Definition 1.2.6 In einem DEA A = (X,Z,z0,δ,Zf) heißt ein Zustand
q ∈ Z erreichbar, wenn es ein w ∈ X ∗ mit δ ∗ (z0,w) = q gibt.
Aerr = (X,Zerr,z0,ferr,Zf,err) mit
Zerr := {q : q ∈ Z und q erreichbar in A}
ferr := δ|Zerr×X
Zf,err := Zf ∩Zerr
Es gilt offensichtlich LA = LAerr .

Automaten und Berechenbarkeit 15
Definition 1.2.7 Amin = (Xmin,Zmin,z0,min,fmin,Zf,min) heißt
minimaler Automat zum DEA A = (X,Z,z0,δ,Zf), falls
• Xmin = X
• Zmin = {[z]∼A
• z0,min = [z0]∼A
: z ∈ Z}
• fmin : Zmin ×X → Zmin
([z]∼A ,x) ↦→ [δ(z,x)]∼A
(fmin ist wegen Lemma 1.2.3 (c) wohldefiniert)
• Zf,min = {[z]∼A
: z ∈ Zf}
Lemma 1.2.5 Die DEAs A und Amin sind zueinander äquivalent,
d.h. LA = LAmin .
Definition 1.2.8 Es sei A ein DEA. Wir nennen Ared := (Aerr)min
den zu A gehörigen reduzierten endlichen Automaten.

Automaten und Berechenbarkeit 16
Korollar 1.2.6 LA = LAred
Definition 1.2.9 Zwei DEAs A = (X,Z,z0,δ,Zf) und
A ′ = (X,Z ′ ,z ′ 0 ,δ′ ,Z ′ f ) heißen isomorph, falls es eine Bijektion
Φ : Z → Z ′ gibt mit
1. Φ(z0) = z ′ 0
2. Φ(Zf) = Z ′ f
3. ∀z∀x((z ∈ Z∧x ∈ X) → Φ(δ(z,x)) = δ ′ (Φ(z),x))
Lemma 1.2.7 Sind zwei DEA’s A und A ′ isomorph, so ist LA = LA ′.
Definition 1.2.10 (Nerode-Rechtskongruenz einer Sprache)
Es sei L ⊆ X ∗ eine beliebige Sprache über X. Wir nennen zwei Wörter
u ∈ X ∗ und v ∈ X ∗ rechts-kongruent (Schreibweise: u ∼L v):⇔
∀w w ∈ X ∗ → (u·w ∈ L ⇔ v·w ∈ L) .

Automaten und Berechenbarkeit 17
Lemma 1.2.8
1. ∼L ist eine Äquivalenzrelation auf X ∗ .
[w]L := {v : v ∼L w} heißt Äquivalenzklasse von w ∈ X ∗ bzgl. L.
Die Anzahl aller (verschiedenen) Äquivalenzklassen bzgl. L
nennen wir Index von L.
2. ∼L ist rechtsstabil bzgl. der Konkatenation, d.h. für alle u,v ∈ X ∗
gilt:
u ∼L v ⇒ ∀w(w ∈ X ∗ → u·w ∼L v·w)
3. L =
u∈L
[u]L
(für alle v ∈ [u]L folgt aus u ∈ L stets v ∈ L)
4. Ist A = (X,Z,z0,δ,Zf) ein DEA mit LA = L, so hat A mindestens
so viele Zustände wie es verschiedene Äquivalenzklassen bzgl.
∼L gibt, d.h. |Z| ≥ indexL.Hilfssatz 1.2.4.3

Automaten und Berechenbarkeit 18
Korollar 1.2.9
1. Ist L durch einen DEA akzeptierbar, so hat ∼L einen endlichen
Index.
2. Kann man zu einer Sprache L unendlich viele ∼L-Klassen
angeben, so ist L nicht durch einen DEA akzeptierbar.
Lemma 1.2.10 Ist der Index von ∼L für eine Sprache L endlich, so ist
L durch einen DEA akzeptierbar.
Aus Lemma 1.2.10 und Korollar 1.2.9 folgt der Satz von Nerode:
Satz 1.2.11 (Satz von Nerode) Eine Sprache L ist genau dann durch
einen DEA akzeptierbar, wenn ∼L endlichen Index hat.

Automaten und Berechenbarkeit 19
Definition 1.2.11 Zu L ⊆ X ∗ sei AL definiert durch
AL = (X,ZL,zL,0,fL,ZL,f) mit
• ZL = {[u]L : u ∈ X ∗ }
• zL,0 = [ε]L
• fL([u]L,x) = [u·x]L für alle u ∈ X ∗ und alle x ∈ X
• ZL,f = {[u]L : u ∈ L}
Lemma 1.2.12 Ist L durch einen DEA akzeptierbar, so ist AL ein
DEA, der L akzeptiert.
Satz 1.2.13 Jeder L akzeptierende reduzierte DEA Ared ist isomorph
zu AL.

Automaten und Berechenbarkeit 20
1.3 Pumpinglemma und seine Anwendungen
Lemma 1.3.1 L = {a n b m : n ≥ m ≥ 0} ist nicht durch einen
endlichen Automaten akzeptierbar (erkennbar).
Satz 1.3.2 (Pumpinglemma) Es sei L eine Sprache, die von einem
DEA erkannt wird, d.h. L = L(A).
Dann existiert ein n ∈ N, so dass für alle Wörter w ∈ L mit |w| ≥ n
Wörter x,y,z ∈ X ∗ existieren mit
• w = x·y·z
• 0 < |y| ≤ n
• x·y j ·z ∈ L für alle j ∈ N.

Automaten und Berechenbarkeit 21
Satz 1.3.3 (Pumpinglemma) Es sei L eine Sprache,Hilfssatz 1.2.4.5
die von einem DEA erkannt wird, d.h. L = L(A).
Dann existiert ein n ∈ N, so dass für alle Wörter w ∈ L mit |w| ≥ n
Wörter x,y,z ∈ X ∗ existieren mit
• w = x·y·z
• |x·y| ≤ n
• y = ε
• x·y j ·z ∈ L für alle j ∈ N.
Korollar 1.3.4 L = {0 p : p ist eine Primzahl} ist durch keinen DEA
erkennbar.

Automaten und Berechenbarkeit 22
Korollar 1.3.5 (Leerheitsproblem bei DEAs) Für einen gegebenen
DEA A kann man algorithmisch entscheiden, ob L(A) = ∅ gilt.
Hilfssatz 1.2.4.5
Korollar 1.3.6 (Endlichkeitsproblem bei DEAs) Für einen
gegebenen DEA A kann man algorithmisch entscheiden, ob
|L(A)| ∈ N0 gilt, d.h. ob L(A) endlich ist.
1.4 Reguläre Ausdrücke und Sprachen
Definition 1.4.1 (Reguläre Ausdrücke) Die Menge der regulären
Ausdrücke über ein endliches Alphabet X ist induktiv definiert durch:
1. Die Symbole ∅ und ε sind reguläre Ausdrücke über X.
2. Für jedes Zeichen a ∈ X gilt: a ist ein regulärer Ausdruck über X.
3. Sind δ und λ reguläre Ausdrücke über X, so auch δ+λ, δ·λ, δ ∗ .

Automaten und Berechenbarkeit 23
Definition 1.4.2 (Semantik regulärer Ausdrücke) Die durch einen
regulären Ausdruck δ über X spezifizierte Sprache L(δ) ⊆ X ∗ ist
induktiv definiert durch:
a L(∅) = ∅, L(ε) = {ε}
b L(a) = {a} für alle a ∈ X
b1 L(δ+λ) = L(δ)∪L(λ)
b1 L(δ·λ) = L(δ)·L(λ) mit L1 ·L2 := {u·v : u ∈ L! ∧v ∈ L2}
b1 L(δ∗ ) = L(δ) ∗ mit L∗
1 = n≥0Ln 1 , Ln1 = L1 ·L n−1
1 für n ≥ 1 und
= {ε} (Kleenescher Sternoperator)
L 0 1
Definition 1.4.3 Eine Sprache heißt regulär, wenn es einen
regulären Ausdruck δ über X mit L = L(δ) gibt.
Satz 1.4.1 (Satz von Kleene) Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann
regulär, wenn sie durch einen DEA A erkannt wird.

Automaten und Berechenbarkeit 24
2 Kellerautomaten und kf. Sprachen
Definition 2.1 (kontextfreie Grammatik) Ein Quadrupel
G = (N,X,S,P) heißt kontextfreie Grammatik (CFG) genau dann,
wenn
1. N,X sind nichtleere Mengen
N heißt Menge der Nichtterminalsymbole
X heißt Menge der Terminalsymbole
2. N∩X = ∅
3. S ∈ N, S ist das Startsymbol
4. P ⊆ N×(N∪X) ∗ ist eine endliche Menge und heißt Menge der
Produktionen
Schreibweise: Für (A,w) ∈ P : A →G w

Automaten und Berechenbarkeit 25
Definition 2.2 (Ableitung) Es seien G = (N,X,S,P) eine CFG und
u,v ∈ (N∪X) ∗ zwei Wörter.
• u ist direkt nach v überführbar (bzw. v ist direkt aus u
ableitbar), in Zeichen u ⊢G v, genau dann, wenn
∃u1 ∈ (N∪X) ∗ ∃u2 ∈ (N∪X) ∗ ∃A ∈ N∃w ∈ (N∪X) ∗ :
u = u1Au2,v = u1wu2 und (A,w) ∈ P
• u ist in n Schritten nach v überführbar (bzw. v ist in n Schritten
aus u ableitbar), in Zeichen u ⊢n G
∃u0,u1,···,un ∈ (N∪X) ∗ :
v, genau dann, wenn
u0 = u,un = v und ui ⊢G ui+1 für alle i ∈ {0,···,n−1}
u0 ⊢G u1 ⊢G u2 ⊢G ··· ⊢G un heißt Ableitungskette oder
Ableitung.
• u ist nach v überführbar, in Zeichen u ⊢∗ G
∃n ≥ 0 : u ⊢n G v.
v, genau dann, wenn

Automaten und Berechenbarkeit 26
Definition 2.3 Es sei G = (N,X,S,P) eine kontextfreie Grammatik.
L(G) := {w : w ∈ X ∗ ∧S ⊢ ∗ G
w} heißt die durch G erzeugte Sprache.
Definition 2.4 (kontextfreie Sprache) L ⊆ X ∗ heißt kontextfrei
genau dann, wenn es eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L
gibt.
Korollar 2.1 Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht regulär sind.
Beispiel: {a n b n : n ≥ 0}
Definition 2.5 (lineare Grammatik) Eine kontextfreie Grammatik
heißt linear genau dann, wenn in ihren Produktionen auf der rechten
Seite jeweils höchstens ein Nichtterminal auftritt, d.h.
∀(A,w) ∈ P∃w1,w2 ∈ X ∗ ∃B ∈ N : w = w1w2 oder w = w1Bw2.
Die durch lineare kontextfreie Grammatiken erzeugbaren Sprachen
heißen lineare Sprachen.

Automaten und Berechenbarkeit 27
Korollar 2.2 Es gibt lineare Sprachen, die nicht regulär sind.
Beispiel: {a n b n : n ≥ 0}
Definition 2.6 (rechtslineare Grammatik) Eine kontextfreie
Grammatik heißt rechtslinear genau dann, wenn sie nur Produktionen
der Form A → w und A → wB mit w ∈ X ∗ und A,B ∈ N enthält.
Satz 2.3 Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist regulär genau dann, wenn L durch
eine rechtslineare Grammatik erzeugt wird, d.h. L rechtslinear ist.

Automaten und Berechenbarkeit 28
Definition 2.7 (Kellerautomat) A = (Z,X,Γ,z0,k0,∆,Zf) heißt
(nichtdeterministischer) Kellerautomat genau dann, wenn gilt:
• Z endliche Zustandsmenge
• X endliches Eingabealphabet
• Γ endliches Alphabet, die Menge der Kellersymbole
• z0 ∈ Z Anfangszustand
• k0 ∈ Γ Kellerstartsymbol
• Zf ⊆ Z Menge der Endzustände
• ∆ ⊆ Z×(X∪{ε})×Γ ×Γ ∗ ×Z

Automaten und Berechenbarkeit 29
(z,a,k,γ,z ′ ) ∈ ∆ besagt, dass der Kellerautomat im Zustand z, bei
Eingabe a und oberstem Kellersymbol k das Symbol k durch die
Folge γ von Kellersymbolen ersetzt, zum nächsten Eingabesymbol
übergeht und in den Zustand z ′ wechselt.
(z,ε,k,γ,z ′ ) ∈ ∆ besagt, dass der Kellerautomat im Zustand z, ohne
Lesen eines Eingabesymbols, das oberste Kellersymbol k durch die
Folge γ von Kellersymbolen ersetzt, in den Zustand z ′ wechselt, aber
noch nicht zum nächsten Eingabesymbol übergeht.
Definition 2.8 (Konfiguration) Eine Konfiguration eines
Kellerautomaten A (bzw. der Gesamtzustand) ist durch ein Tripel
(z,w,γ) gegeben, wobei
• z ∈ Z den aktuellen Zustand angibt, in dem sich A befindet,
• w ∈ X ∗ das noch nicht gelesene Teilwort der Eingabe ist
(Lesekopf bewegt sich nur von links nach rechts),
• γ ∈ Γ ∗ den Kellerinhalt angibt.

Automaten und Berechenbarkeit 30
Definition 2.9 (akzeptierte Sprache)
• Ein Kellerautomat A akzeptiert ein Wort w ∈ X ∗ genau dann,
wenn (z0,w,k0) ⊢ ∗ (zf,ε,γ) mit zf ∈ Zf und γ ∈ Γ ∗ gilt.
• L(A) := {w : w ∈ X ∗ ∧A akzeptiert w}
• Ein Kellerautomat A akzeptiert ein Wort w ∈ X ∗ mit leerem
Keller g. d., w. (z0,w,k0) ⊢ ∗ (z,ε,ε) für irgendein z ∈ Z gilt.
• N(A) := {w : w ∈ X ∗ ∧A akzeptiert w mit leerem Keller}
Definition 2.10 (deterministischer Kellerautomat) Ein
Kellerautomat A = (Z,X,Γ,z0,k0,∆,Zf) heißt deterministisch, falls
1. ∀z ∈ Z∀a ∈ X∪{ε}∀k ∈ Γ :
es gibt höchstens ein Paar (γ,z ′ ) ∈ Γ ∗ ×Z mit (z,a,k,γ,z ′ ) ∈ ∆
2. ∀z ∈ Z∀k ∈ Γ :
∃(γ,z ′ ) ∈ Γ ∗ ×Z : (z,ε,k,γ,z ′ ) ∈ ∆ →
∀a ∈ X ∃(γ,z ′ ) ∈ Γ ∗ ×Z : (z,a,k,γ,z ′ ) ∈ ∆

Automaten und Berechenbarkeit 31
Beispiel: PAL := {ww R : w ∈ {a,b} ∗ } ist durch einen
nichtdeterministischen Kellerautomaten akzeptierbar.
Lemma 2.4 Zu jedem Kellerautomaten A = (Z,X,Γ,z0,k0,∆,Zf) gibt
es einen Kellerautomaten Aε = (Z ′ ,X,Γ ′ ,z ′ 0 ,k′ 0 ,∆′ ,∅) mit
L(A) = N(Aε).
Lemma 2.5 Die Umkehrung gilt auch, d.h. zu jedem Kellerautomaten
Aε = (Z,X,Γ,z0,k0,∆,∅) gibt es einen Kellerautomaten
A = (Z ′ ,X,Γ ′ ,z ′ 0 ,k′ 0 ,∆′ ,Z ′ f ) mit N(Aε) = L(A).
Satz 2.6 Zu jeder kontextfreien Grammatik G gibt es einen
Kellerautomaten A mit L(G) = N(A) und umgekehrt.
Lemma 2.7 Zu jeder kontextfreien Grammatik G = (N,X,S,P) gibt es
einen Kellerautomaten A = (Z,X,Γ,z0,k0,∆,∅) mit L(G) = N(A).

Automaten und Berechenbarkeit 32
Unter einer Linksableitung verstehen wir eine Folge von
Ableitungsschritten, bei der stets das am weitesten limks stehende
Nichtterminalsymbol durch Anwendung einer Produktionsregel ersetzt
wird.
Hilfssatz 2.7.1
Ein Wort w ∈ X ∗ ist genau dann in G ableitbar, wenn es eine
Linksableitung δ → ∗ G
Hilfssatz 2.7.2
w gibt.
Es seien u ∈ X ∗ und α ∈ {ε}∪N·(N∪X) ∗ .
Es gibt genau dann eine Linksableitung S ⊢∗ G
(z,u,S) ⊢∗ A (z,ε,α)
uα, wenn

Automaten und Berechenbarkeit 33
Lemma 2.8 Zu jedem Kellerautomaten A = (Z,X,Γ,z0,k0,∆,∅) gibt
es eine kontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P) mit N(A) = L(G).
Definition 2.11 Ist t ein Ableitungsbaum, so bezeichnen wir mit
WORT(t) die Beschriftung der Blätter von t, gelesen von links nach
rechts.
Lemma 2.9 (Pumpinglemma) Es sei L ⊆ X ∗ eine kontextfreie
Sprache. Dann gibt es eine (von L abhängige) Konstante N ∈ N, so
dass für alle Wörter w ∈ L mit |w| > N Wörter u,v,w,x,y ∈ X ∗
existieren mit
• w = u·v·w·x·y
• |v·x| = 0
• |v·w·x| ≤ N
• u·v i ·w·x i ·y ∈ L für alle i ∈ N.
Korollar 2.10 L = {a n b n c n : n > 0} ist nicht kontextfrei.

Automaten und Berechenbarkeit 34
Definition 2.12 Eine kontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P) heißt
Chomsky-Normalform-Grammatik (CNF), falls jede Produktion in P
die Form
A → BC mit A,B,C ∈ N oder A → a mit A ∈ N,a ∈ X hat.
(evtl. noch S → ε, wenn S nicht auf der rechten Seite einer Produktion
auftritt)
Bemerkungen:
Gegeben sei eine kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform.
• Ist w ∈ L(G), so besteht jede Ableitung von w in G aus 2|w|−1
vielen Schritten.
• Jeder Ableitungsbaum (für G) ist ein Binärbaum.

Automaten und Berechenbarkeit 35
Definition 2.13 Ein Nichtterminal A einer kontextfreien Grammatik
G = (N,X,S,P) heißt
• erreichbar, falls es α,β ∈ (N∪X) ∗ gibt mit S ⊢ ∗ G αAβ.
• terminierend, falls es w ∈ X ∗ gibt mit A ⊢ ∗ G w.
Eine kontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P) heißt reduziert, falls N
nur erreichbare und terminierende Symbole enthält.
Lemma 2.11 Zu jeder kontextfreien Sprache L ⊆ X ∗ gibt es eine
reduzierte kontextfreie Grammatik Gred mit L(Gred) = L.
Definition 2.14 Eine kontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P) heißt
ε-frei, falls es in G keine Produktion der Form A → ε gibt.
Lemma 2.12 Zu jeder kontextfreien Sprache L ⊆ X ∗ gibt es eine
ε-freie kontextfreie Grammatik Gε mit L(Gε) = L\{ε}.
Satz 2.13 (CHOMSKY-NORMALFORM) Zu jeder kontextfreien
Sprache L ⊆ X ∗ gibt es eine Grammatik G in CNF mit L(G) = L.

Automaten und Berechenbarkeit 36
Hilfssatz 2.13.1
Zu jeder kontextfreien Grammatik G = (N,X,S,P) gibt es eine
kontextfreie Grammatik G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ ), in der keine Produktion
der Form A → B mit A,B ∈ N ′ vorkommt, so dass L(G ′ ) = L(G) gilt.
Lemma 2.14 Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist nicht
abgeschlossen gegenüber dem Durchschnitt.
Lemma 2.15 Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist
abgeschlossen gegenüber der Vereinigung.
Lemma 2.16 Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist nicht
abgeschlossen gegenüber der Komplementbildung.
Lemma 2.17 Die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen
ist abgeschlossen gegenüber der Komplementbildung.
Korollar 2.18 Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht deterministisch
kontextfrei sind.

Automaten und Berechenbarkeit 37
Satz 2.19 Es seien L ⊆ X ∗ eine kontextfreien Sprache und R ⊆ X ∗
eine reguläre Sprache. Dann ist L∩R eine kontextfreie Sprache.
Korollar 2.20 L = {a n b m c p : m = n oder m = p} ist kontextfrei,
aber nicht deterministisch kontextfrei.
Wortproblem für eine Sprache L ⊆ X ∗ :
Entscheide, ob ein gegebenes Wort w ∈ X ∗ ein Wort der Sprache L
ist. D.h. w ∈ L?

Automaten und Berechenbarkeit 38
Der CYK-Algorithmus (Cocke, Younger, Kasami)
Gegeben:
G = (N,X,S,P) CNF-Grammatik
w = a1a2···an
• wij := wi···wj (i ≤ j)
• Nij := {A ∈ N : A ⊢ ∗ G wij} (i ≤ j)
Es gilt:
(0) S ∈ N1n ⇔ w ∈ L(G)
(1) A ∈ Nii ⇔ (A → ai) ∈ P
(2) A ∈ Nij für
i < j ⇔
∃(A → BC) ∈ P ∃k : i ≤ k < j
: B ∈ Nik,C ∈ Nk+1j

Automaten und Berechenbarkeit 39
Satz 2.21 (CYK-Algorithmus) Bei einer gegebenen kontextfreien
Grammatik G in CNF bestimmt der CYK-Algorithmus in der Zeit
O(n 3 ), ob ein gegebenes Wort w mit |w| = n in L(G) ist.