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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 29
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Lemma 4.7 Es sei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie
Grammatik.Dannläßt sich aus G eine Grammatik
G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ ) mit N ′ ⊆ N ohneRegeln derForm
(A,e),die dieBeziehung L(G ′ ) = L(G) {e} erfüllt,
konstruieren.
Lemma 4.8 Es sei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie
Grammatik.Dannläßt sich aus G eine äquivalente
Grammatik G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ ) mit N ′ ⊆ N ohne
Kettenregeln (d.h.Regeln der Form (A,B), B ∈ N)
konstruieren.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 31
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Chomsky-Normalform (Konstruktion)
Satz 4.9 Zujeder kontextfreien Grammatik G gibt eseine
äquivalente G ′ in Chomsky-Normalform.
Die Regeln derneuen Grammatik G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ )
entstehen ausdenen der alten G = (N,X,S,P)(e-frei
und ohne Kettenregeln) wie folgt:
⎧
⎨ Xα ,falls α ∈ X
Wirsetzen Xα :=
⎩ α ,falls α ∈ N , und
N ′
:= N ∪ {Xx : x ∈ X} ∪
{[v] : v ∈ (N ∪X) ∗ ∧2 ≤ |v| < max |w|}
(A,w)∈P
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 30
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Definition 4.6 Einekontextfreie Grammatik
G = (N,X,S,P)heißt e-frei : ⇐⇒
1. P enthält, außereventuell S → e,keineRegel der Form
A → e,und
2. ist (S,e) ∈ P,so gilt P ⊆ N × (X ∪ N {S}) ∗ .
Definition 4.7 Einekontextfreie Grammatik
G = (N,X,S,P)ist in CHOMSKY-Normalform (CNF)
: ⇐⇒
1. G ist e-frei.
2. P {(S,e)} ⊆ N × (X ∪ N 2 )
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 32
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alt neu Bedingung
S → e S → e S → e ∈ P
Xx → x x ∈ X
A → v v ∈ X
A → v A → XxXy v = xy,x,y ∈ N ∪X
A → Xx[u] v = xu,x ∈ N ∪X, |u| ≥ 2
[xy] → XxXy v = xy,x,y ∈ N ∪X
[xu] → Xx[u] v = xu,x ∈ N ∪X, |u| ≥ 2
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