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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 21 ✬ ✩ Definition 3.4 (2-lokal testbare Sprachen) Eine Sprache W ⊆ X ∗ heißt 2-lokal testbar, falls 1. W die Form V ·X ∗ , X ∗ ·V oder X ∗ ·V ·X ∗ mit V ⊆ {e} ∪X∪X 2 hat,oder 2. es2-lokaltestbare SprachenW1,W2 mitW = W1 ∪W2 oderW = X ∗ W1 gibt. Folgerung 3.3 Jede2-lokaltestbare Spracheist regulär. Lemma 3.4 Jede reguläre Sprache ist homomorphes Bild einer 2-lokaltestbaren Sprache. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 23 ✬ ✩ Definition 4.1 Ein Quadrupel G = (N,X,S,P)heißt kontextfreie Grammatik (CFG):⇔ 1. N,X sind endliche nichtleere Mengen. 2. N ∩X = ∅ 3. S ∈ N 4. P ist endliche Teilmenge von N × (N ∪X) ∗ Schreibweise: Für (A,w) ∈ P schreibenwir auch A →G w. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 22 ✬ ✩ Satz 3.5 (Ginsburg, Rose) Es sei ϕ : X ∗ → Y ∗ eine Funktion,diedie Bedingungen 1. ϕ(e) = e 2. ϕ ist präfixtreu,d.h. aus w ⊑ v folgt ϕ(w) ⊑ ϕ(v). 3. ϕ ist linear beschränkt, d.h. |ϕ(wx)| − |ϕ(w)| ≤ cϕ. 4. ϕ −1 ist regularitätserhaltend, d.h. ϕ −1 (L) ⊆ X ∗ ist regulär, falls L ⊆ Y ∗ regulär ist. erfüllt, so gibt eseine verallgemeinert sequentielle Maschine M mit ϕM = ϕ. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 24 ✬ ✩ Definition 4.2 (Ableitungsrelation) u ⊢G v :⇔ ∃A ∈ N ∃(A,w) ∈ P ∃u1,u2 ∈ (N ∪X) ∗ : ✫ u = u1 · A ·u2 ∧v = u1 ·w·u2 u ⊢ n G v :⇔ ∃u1,u2,...,un−1 ∈ (N ∪X) ∗ : u ⊢G u1 ⊢G u2 ⊢G · · · ⊢G un−1 ⊢G v u ⊢ ∗ G v :⇔ ∃n ∈ IN : u ⊢n G v ✪
Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 25 ✬ ✩ ✫ Kontextfreie Sprachen Definition 4.3 1. L(G) := {w : w ∈ X ∗ ∧S ⊢ ∗ G w} 2. L heißt kontextfrei : ⇐⇒ ∃G(G ist kontextfreie Grammatik ∧L = L(G)) Definition 4.4 Essei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie Grammatik.Ein Symbol A ∈ N heißt 1. aus B erreichbar,falls ∃w1∃w2(B ⊢ ∗ G w1Aw2); 2. terminierend, falls ∃w(w ∈ X ∗ ∧ A ⊢ ∗ G w). ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 27 ✬ ✩ Lemma 4.4 Es sei A → w0A1w1....A lw l mit w i ∈ X ∗ Regel einer kontextfreien Grammatik G.Sind A1,...,A l terminierend, so ist A terminierend. Sind A → v i (i = 1,...,k) sämtliche Regeln einer kontextfreien Grammatik G,die die linke Seite A ∈ N haben, und ist A terminierend, so gibt esein i derart, dass auchalle in v i vorkommenden Symboleaus N terminierend sind. Lemma 4.5 Ist A ⊢G w1 ⊢G w2 ⊢G ... ⊢G w l eine Ableitungskette bezüglich G und ist w l ∈ X ∗ , soist jedes auftretende Symbolaus N terminierend. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 26 ✬ ✩ Lemma 4.1 Es sei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie Grammatik,undesseien A,B,C ∈ N.Ist B aus Aerreichbar und ist C aus B erreichbar, so ist auch C aus A erreichbar. Lemma 4.2 Es sei A ⊢ ∗ G w1 ⊢ ∗ G w2 ⊢ ∗ G ... ⊢∗ G w l eine Ableitungskette bezüglich G,und essei B ein Buchstabe aus w l,dannist B aus A erreichbar. Folgerung 4.3 Essei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie Grammatik,und essei N ′ die Mengealler aus S erreichbaren Symboleaus N.Danngilt L(G) = L(G ′ ) für G ′ := (N ′ ,X,S,P ′ ) mit P ′ := P ∩ (N ′ × (N ′ ∪X) ∗ ). ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 28 ✬ ✩ Folgerung 4.6 Ist G = (N,X,S,P)einekontextfreie Grammatikund ist N ′′ ⊆ N dieMenge aller terminierenden Symbole,so ist L(G) = L(G ′′ ) für G ′′ := ({S} ∪ N ′′ ,X,S,P∩ N ′′ ×(N ′′ ∪X) ∗ ). Definition 4.5 EineGrammatik G = (N,X,S,P)heißt reduziert : ⇐⇒ G = ({S},X,S, ∅)oder jedes Symbolin N ist sowohl terminierend als aucherreichbar. ✫ ✪
Seite 1 und 2: Automatenund Berechenbarkeit, SoS20
Seite 5: Automatenund Berechenbarkeit, SoS20

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