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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 17
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Definition 3.1 Ein Sextupel M = (X,Y,Z,z0, f,g) heißt
verallgemeinertsequentielle Maschine (gsm):⇔
1. (X,Z,z0, f,Z) ist ein vollständiger DEA.
2. Y ist eine nichtleere endliche Menge.
3. g : Z ×X → Y ∗
Ausdehnungvon g auf Z ×X ∗ :
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g(z,e) := e
g(z,wx) := g(z,w) ·g(f(z,w),x)
Notation: ϕM(w) := g(z0,w)
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 19
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Satz 3.2 Essei ϕ : X ∗ → Y ∗ gsm-Funktion.Danngelten:
1. ϕ(e) = e
2. ϕ ist präfixtreu,d.h. aus w ⊑ v folgt ϕ(w) ⊑ ϕ(v).
3. ϕ ist linear beschränkt, d.h. |ϕ(wx)| − |ϕ(w)| ≤ cϕ.
4. ϕ −1 ist regularitätserhaltend, d.h. ϕ −1 (L) ⊆ X ∗ ist
regulär, falls L ⊆ Y ∗ regulär ist.
5. ϕ ist regularitätserhaltend, d.h. ϕ(W) ⊆ Y ∗ ist
regulär, fallsW ⊆ X ∗ regulär ist.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 18
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Definition 3.2 EineFunktion ϕ : X ∗ → Y ∗ heißt
gsm-Funktion,falls es eineverallgemeinert sequentielle
Maschine M mit ϕ = ϕM gibt.
Definition 3.3 EineFunktion ϕ : X ∗ → Y ∗ heißt
Homomorphismus : ⇐⇒
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∀w∀v w,v ∈ X ∗ → ϕ(w ·v) = ϕ(w) · ϕ(v)
Lemma 3.1 Ist L ⊆ X ∗ reguläre Spracheund ist
ϕ Homomorphismusvon X ∗ nachY ∗ ,so ist auch
ϕ(L) = {ϕ(w) : w ∈ L} regulär.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 20
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ZumBeweis von Satz 3.2.4
a) Voraussetzungen: ϕ = ϕM für
M = (X,Y,Z,z0, f,g)
L = LA für A = (Y,S,s0,h,S f)
b) Konstruktion: B := (X,Z ×S, (z0,s0), f,Z ×S f) mit
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f((z,s),x) := (f(z,x),h(s,g(z,x)))
c)Verifikation: Wirzeigen perInduktion
f((z,s),w) := (f(z,w),h(s,g(z,w))).
Dann gilt LB = {w : f((z0,s0),w) ∈ Z ×S f } =
= {w : h(s0,g(z0,w)) ∈ S f } = {w : ϕ(w) ∈ L}
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