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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 13<br />
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Definition 2.1 EineSprache L ⊆ X ∗ heißt regulär(oder:<br />
rational) : ⇐⇒<br />
1. L ist endliche Teilmenge von X ∗ ,oder<br />
2. esgibt reguläre Sprachen L1,L2 derart, daß<br />
L = L1 ∪L2,L = L1 ·L2 oder L = L ∗ 1 gilt.<br />
3. Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist nurdannregulär, wenn dies<br />
aufGrund von 1.oder 2.der Fallist.<br />
Lemma 2.1 Jede reguläre Sprache ist durch einen endlichen<br />
Automatenakzeptierbar.<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 15<br />
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Entscheidungsprobleme für Sprachen L ⊆ X ∗<br />
Gegeben seienSprachen L1,L2 ⊆ X ∗ .Gesuchtsind<br />
Algorithmen, die Antworten auf die folgenden Fragen<br />
geben:<br />
1. ” L = ∅ ?“ (Leerheitsproblem)<br />
2. ” L = X ∗ ?“<br />
3. Ist L endlich? (Endlichkeitsproblem)<br />
4. Hat L genau n Elemente?<br />
5. ” L1 ⊆ L2 ?“ (Inklusionsproblem)<br />
6. ” L1 = L2 ?“ (Gleichheitsproblem)<br />
7. L1 ∩L2 = ∅ ?“ (Disjunktheitsproblem)<br />
✫”<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 14<br />
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Lemma 2.2 Jede durch einen endlichen Automaten<br />
akzeptierbare Sprache ist regulär.<br />
Satz 2.3 (Kleene) Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann<br />
regulär, wenn sie durch einen endlichen Automaten<br />
akzeptierbarist.<br />
Satz 2.4 FüreineSprache L ⊆ X ∗ sind die folgenden<br />
Bedingungen äquivalent:<br />
1. L ist regulär.<br />
2. L ist durch einen NEAakzeptierbar.<br />
3. L wird durch einen vollständigen DEA akzeptiert.<br />
4. DieNerode-Rechtskongruenz ∼L hat endlichen Index.<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 16<br />
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Endliche Automatenals<br />
informationsverarbeitende Systeme<br />
✛v ∈ Y M ✛<br />
∗ w ∈ X∗ ϕM(w) := v<br />
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