kleine Folien (.pdf)

Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 77
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Traveling Salesman Problem (TSP):
input Liste von Städten (a1,...,am), a i ∈ IN,
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die Abstände d(a i,a j) ∈ IN, b ∈ IN
output true, falls eseine Toureiner Länge ≤ b gibt,
false, sonst.
Hamilton Kreis(HK):
die jede Stadt einmal durchläuft
input ungerichteter Graph (E,K)
output true, falls eseinen Kreisin (E,K)gibt,
false, sonst.
derjeden Knoten genau einmal berührt
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 79
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ZumBeweis des Satzes vonCook
NTM M= (X, Γ, Z, δ, z0, , Z f), p-zeitbeschränktfür
ein Polynom p mit o.B.d.A.der folgenden Eigenschaft:
(z,a,z ′ ,b,d), (z,a,z ′ ,b ′ ,d ′ ) ∈ δ → b = b ′ ∧d = d ′
Aussagenvariablen
• Z[t,z]:zumZeitpunkt t Zustand z
• K[t,j]:zumZeitpunkt t Kopf an Position j
• S[t,j, γ]:zumZeitpunkt t an Position j Symbol γ
Bereiche:0 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ j ≤ p(n),z ∈ Z, γ ∈ Γ
Zahl der Variablen:O([p(n)]
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2 ),
Länge der Kodierungeiner Klausel:O([p(n)] 2 log p(n))
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 78
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Variablen x i
Literale x i oder ¬x i
Klauseln (¬)x i1 ∨...∨(¬)x im
KNF
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lj=1 klausel j
(¬x1 ∨...∨¬xm ∨y1 ∨...∨yn) istäquivalentzu
(x1 ∧...∧xm) → y1 ∨...∨yn
Satz 10.5 (Cook) SAT ist NP-vollständig.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 80
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Klauselmengen
C1: zujedem Zeitpunkt t genau ein Zustand
{Z[t,z] : z ∈ Z},0 ≤ t ≤ p(n)
Z[t,z1],Z[t,z2]},0 ≤ t ≤ p(n),z1,z2 ∈ Z,z1 = z2
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Zahl der Klauselnin C1:O(p(n))
C2: zujedem Zeitpunkt t eindeutige Kopfposition j
{K[t,j] : −p(n) ≤ j ≤ p(n)},0 ≤ t ≤ p(n)
K[t,j1],K[t,j2] ,0 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ j1 < j2 ≤
p(n)
Zahl der Klauselnin C2:O([p(n)] 3 )
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