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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 5<br />

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Pattern matching<br />

gegeben: p,t ∈ X ∗ (Pattern,Text)<br />

gesucht: Liste der Präfixe (t1,...t k) von t,<br />

die t i ∈ X ∗ · p erfüllen<br />

1. naives Verfahren (slidingwindow); Zeitschranke<br />

O(|p| · |t|)<br />

2. Verfahren von KNUTH-MORRIS-PRATT<br />

(KMP-Verfahren);ZeitschrankeO(|p| + |t|)<br />

Vorverarbeitungvon p in ZeitO(|p|):Konstruktion<br />

eines vollständigen DEA,der X ∗ · p akzeptiert.<br />

3. weitere Verfahren ...<br />

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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 7<br />

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Definition 1.6 Esseien A = (X,Z,z0, f,Z f) und<br />

B = (X,S,s0,g,S f) DEAen. EineAbbildung φ : Z → S<br />

heißt Homomorphismusvon A nach B : ⇐⇒<br />

1. φ(z0) = s0<br />

2. φ(Z f) ⊆ S f und φ(Z Z f) ∩S f = ∅<br />

3. φ(f(z,x)) = g(φ(z),x)<br />

Lemma 1.3 Sind A und B initial zusammenhängende<br />

DEAen und ist B homomorphesBild von A,so gilt<br />

LA = LB.<br />

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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 6<br />

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Vereinbarung:<br />

Für A = (X,Z,z0, δ,Z f) sei Az := (X,Z,z, δ,Z f).<br />

Definition 1.4 Essei A = (X,Z,z0, δ,Z f) ein NEA. Zwei<br />

Zustände z,z ′ ∈ Z heißen äquivalent(ununterscheidbar)<br />

✫<br />

: ⇐⇒ ∀w(w ∈ X ∗ → (w ∈ LAz ←→ w ∈ LAz ′ )) .<br />

Definition 1.5 Füreinen DEA A = (X,Z,z0, f,Z f) heißt<br />

w ∈ X ∗ ein die Zustände z und z ′ unterscheidendes<br />

Experiment : ⇐⇒<br />

f(z,w) ∈ Z f ←→ f(z ′ ,w) /∈ Z f .<br />

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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 8<br />

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Definition 1.7 (Nerode-Rechtskongruenz)<br />

Essei L ⊆ X ∗ .Wir nennen u,v ∈ X ∗ kongruent<br />

(u ∼L v) : ⇐⇒<br />

∀w w ∈ X ∗ → (uw ∈ L ↔ vw ∈ L) <br />

Notation: [u]∼L := {v : u ∼L v}<br />

Folgerung 1.4 1. ∼L ist Äquivalenzrelation auf X ∗ .<br />

2. L ist eine Vereinigung von Äquivalenzklassen von ∼L.<br />

3. ∼L ist rechtsstabil bezüglich der Operation ” ·“.<br />

✫<br />

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