kleine Folien (.pdf)

Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 73
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Definition 10.2
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P := {L : L ⊆ X ∗ ∧ esgibt eine DTM M,
die L entscheidet ∧ ∃k(tM(n) ∈ O(n k ))}
NP := {L : L ⊆ X ∗ ∧ esgibt eine NTM M,
die L akzeptiert ∧ ∃k(tM(n) ∈ O(n k ))}
Definition 10.3 L ⊆ X∗ ist polynomiell reduzierbar auf
W ⊆ Y∗
: ⇐⇒ ∃g g : X∗ → Y∗ ∧gist in polynomieller Zeit berechenbar
∧ ∀w (w ∈ L ↔ g(w) ∈ W) .
Schreibweise: L ≤ P m W
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 75
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Definition 10.4
L heißt NP-schwierig(NP-hard) : ⇐⇒
∀W (W ∈ NP → W ≤ P m L)
L heißt NP-vollständig (NP-complete) : ⇐⇒
L ∈ NP ∧List NP-schwierig
Folgerung 10.2 Ist L NP-schwierig und L ≤ P m W,so ist
auchW NP-schwierig.
Lemma 10.3 Ist L ⊆ X ∗ NP-schwierig und L ∈ P,so gilt
P = NP.
Lemma 10.4 Ist L ⊆ X ∗ NP-schwierig und
L ∈ co-NP := {X ∗ W : W ∈ NP},sogilt NP = co-NP.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 74
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Lemma 10.1
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1. A ≤ P m A
2. A ≤ P m B ∧B ≤ P m C → A ≤ P m C
3. A ≤ P m B ↔ A ≤P m B
4. A ∈ P ∧B /∈ {∅,X ∗ } → A ≤ P m B
5. A ≤ P m B ∧B ∈ P → A ∈ P
6. A ≤ P m B ∧B ∈ NP → A ∈ NP
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 76
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Einige NP-vollständige Probleme
Erfüllbarkeitsproblem (SAT):
input AussagenlogischeFormel ϕ(x1,...,xm)
mit den Variablen x i
output true, falls eseine Belegung
false, sonst.
β : {x i : i ∈ IN} → {0,1}
derVariablen x i gibt,
die β(ϕ(x1,...,xm)) = 1 ergibt.
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