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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 69 ✬ ✩ Satz 9.3 DieSprache Univ := {Code(M)w: MistDTMundakzeptiert w} ist aufzählbar,abernicht entscheidbar. Satz 9.4 DieSprache Halt := {Code(M)w : M ist DTMund hält aufEingabe w} ist aufzählbar,abernicht entscheidbar. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 71 ✬ ✩ Folgerung 9.6 DasHalteproblemfürDTMaufleeremBand He := {Code(M): Mist DTM und hält aufEingabe e} ist unentscheidbar. Lemma 9.7 DasÄquivalenzproblem Äqu := {Code(M1)#Code(M2): M1 und M2 sind DTM,die dieselbe Sprache akzeptieren} fürDTM ist unentscheidbar. Satz 9.8 Dasspezielle Halteproblem Hs := {Code(M): Mist DTMund hält aufEingabeCode(M)} fürDTM ist aufzählbar,abernicht entscheidbar. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 70 ✬ ✩ Definition 9.1 Esseien L1 und L2 Sprachen über X.Dann heißt L1 auf L2 reduzierbar(Schreibweise: L1 ≤m L2), wenn eseine überall definierte, Turing-berechenbare Funktion f:X ∗ → X ∗ derart gibt, dassgilt: ∀w(w ∈ X ∗ → (w ∈ L1 ↔ f(w) ∈ L2)). Lemma 9.5 Gilt L1 ≤m L2 undist L2 Turing-entscheidbar (Turing-akzeptierbar), dannist L1 Turing-entscheidbar (Turing-akzeptierbar). Umgekehrt gilt: Falls L1 ≤m L2 gilt und L1 nicht Turing-entscheidbar (Turing-akzeptierbar) ist, so ist auch L2 nicht Turing-entscheidbar (Turing-akzeptierbar). ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 72 ✬ ✩ 10 Polynomialzeitberechnung Definition 10.1 (Rechenzeit, Anzahl der Rechenschritte) Füreine DTM T sei tT (v) := sup{i : ∃K1...∃K i(z0v |= K1 |= ... |= K i)}. Füreine NTM T , die L ⊆ X ∗ akzeptiert und die die akzeptierende Finalkonfiguration K f hat,sei ⎧ ⎪⎨ inf{i +1 : ∃K1...∃K i(z0v |= ... |= Ki |= Kf)}, tT (v) := falls v ∈ L,und ⎪⎩ 0, anderenfalls. ✫ tT (n) := sup{tT (v) : |v| = n} ✪
Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 73 ✬ ✩ Definition 10.2 ✫ P := {L : L ⊆ X ∗ ∧ esgibt eine DTM M, die L entscheidet ∧ ∃k(tM(n) ∈ O(n k ))} NP := {L : L ⊆ X ∗ ∧ esgibt eine NTM M, die L akzeptiert ∧ ∃k(tM(n) ∈ O(n k ))} Definition 10.3 L ⊆ X∗ ist polynomiell reduzierbar auf W ⊆ Y∗ : ⇐⇒ ∃g g : X∗ → Y∗ ∧gist in polynomieller Zeit berechenbar ∧ ∀w (w ∈ L ↔ g(w) ∈ W) . Schreibweise: L ≤ P m W ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 75 ✬ ✩ Definition 10.4 L heißt NP-schwierig(NP-hard) : ⇐⇒ ∀W (W ∈ NP → W ≤ P m L) L heißt NP-vollständig (NP-complete) : ⇐⇒ L ∈ NP ∧List NP-schwierig Folgerung 10.2 Ist L NP-schwierig und L ≤ P m W,so ist auchW NP-schwierig. Lemma 10.3 Ist L ⊆ X ∗ NP-schwierig und L ∈ P,so gilt P = NP. Lemma 10.4 Ist L ⊆ X ∗ NP-schwierig und L ∈ co-NP := {X ∗ W : W ∈ NP},sogilt NP = co-NP. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 74 ✬ ✩ Lemma 10.1 ✫ 1. A ≤ P m A 2. A ≤ P m B ∧B ≤ P m C → A ≤ P m C 3. A ≤ P m B ↔ A ≤P m B 4. A ∈ P ∧B /∈ {∅,X ∗ } → A ≤ P m B 5. A ≤ P m B ∧B ∈ P → A ∈ P 6. A ≤ P m B ∧B ∈ NP → A ∈ NP ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 76 ✬ ✩ ✫ Einige NP-vollständige Probleme Erfüllbarkeitsproblem (SAT): input AussagenlogischeFormel ϕ(x1,...,xm) mit den Variablen x i output true, falls eseine Belegung false, sonst. β : {x i : i ∈ IN} → {0,1} derVariablen x i gibt, die β(ϕ(x1,...,xm)) = 1 ergibt. ✪
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