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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 65<br />
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✩<br />
9 Universalität und<br />
✫<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Eine Codierung für Turing-Maschinen über dem<br />
Alphabet X ⊇ {a,b,#}<br />
Zustände : z0,z1,z2,...<br />
Buchstaben : a0 = ,a1,...,a |X|,a |X|+1,...<br />
Vereinbarungen : z0 iststetsAnfangszustand<br />
z1 iststets<br />
akzeptierender Endzustand<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 67<br />
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Folgerung 9.1 DieSprache<br />
CODE := {Code(M): Mist Turing-Maschine } ist<br />
regulär.<br />
Satz 9.2 (Turing, universelle Turingmaschine) Esgibt<br />
eine universelle Turingmaschine, d.h. eineTuringmaschine<br />
U,für diegilt:<br />
FüralleTuringmaschinen M über X gilt: U akzeptiert das<br />
WortCode(M) ·w genau dann,wenn die Turing-Maschine<br />
M (alsdeterministische TM gesehen) dasWort w ∈ X ∗<br />
akzeptiert.<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 66<br />
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Codierung von<br />
M = (X,Z, Γ,z0, , (d1,...,d ℓ), {z1},w0) mit<br />
d i ∈ Z × Γ ×Z×Γ×{−1,0, +1}<br />
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Code(z i) := a i+1 #<br />
Code(a i) := b i+1 #<br />
Code((z i,a j,z k,a l, β)) := a i+1 #b j+1 #a k+1 #b l+1 #a β+2 #<br />
mit β ∈ {−1,0, +1}<br />
Code(δ) := Code(d1) · · ·Code(d ℓ)##,<br />
wobei δ = (d1,...,d ℓ)<br />
Code(M) := Code(δ)##Code(w0)###<br />
mit w0 ∈ X ∗ (Initialpräfix)<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 68<br />
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DeterministischeSimulationvon M durch<br />
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die universelle Turing-Maschine U<br />
1. U zerlegtEingabe in Code(δ),Code(w0) und<br />
w ∈ X ∗ .<br />
2. U wandelt w = w1 · · ·w |w| ∈ X ∗ ,w i ∈ X,in<br />
Code(w) := Code(w1) · · ·Code(w |w|) umund<br />
schreibtCode(z0)Code(w0w) als<br />
Anfangskonfigurationauf.<br />
3. U berechnet durchVergleich mit Code(δ)<br />
sukzessivedie Nachfolgekonfigurationen,indem<br />
dererste anwendbare Befehl angewendet wird<br />
(deterministische Simulation !).<br />
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