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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 61 ✬ ✩ MinimaleNullstelle (Minimisierung) Es seien g ∈ F m+1 und x ∈ IN m . ✫ MIN(g)(x) := µt(g(x,t) = 0) ,wobei ⎧ min{z : g(x,z) = 0 ∧ ⎪⎨ ∀i ≤ z(g(x,i) ∈ IN)}, µt(g(x,t) = 0) := fallsex.,und ⎪⎩ nichtdef.,sonst. ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 63 ✬ ✩ Satz 8.4 Jedepartiell-rekursive Funktionist Turing-berechenbar. Satz 8.5 Eine (partielle) Funktion f :⊆ IN × · · · ×IN → INist genau dannpartiell-rekursiv, k−mal wenn eseine Turing-berechenbare Funktion ϕ :⊆ {0,1} ∗ × · · · × {0,1} ∗ → {0,1} k−mal ∗ gibt, so daß f = bin −1 ◦S(ϕ,bin,...,bin ) gilt. k−mal Hierbei sei ” bin“ die durchdie unär-binär Konvertierungberechnete Funktion. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 62 ✬ ✩ ✫ Partiell-rekursive Funktionen Anfangsfunktionen A ′ 0 := A0 = {o,s} ∪ {I m k induktiver Aufbau A ′ i+1 := A ′ i ∪ : m,k ∈ IN ∧1 ≤ k ≤ m} {S(f;g1,...,g k) : k ∈IN ∧ f,g1,...,g k ∈ A i} ∪ {R(g,h) : g,h ∈ A i} ∪ {MIN(g) : g ∈ A i} Abschluß P := i∈IN A′ i ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 64 ✬ ✩ Satz 8.6 (Hauptsatz derAlgorithmentheorie) Essei ϕ: (X ∗ ) n → X ∗ eine n-stellige Wortfunktion.Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. ϕ ist von einer Ein-Band-Turingmaschine berechenbar. 2. ϕ ist von einer k-Band-Turingmaschineberechenbar. 3. ϕ ist partiell-rekursiv. Church-Turing-These (Church, Turing 1936) Eine Wortfunktionistgenau dann imintuitiven Sinn berechenbar, wenn sieTuring-berechenbar ist. ✫ ✪
Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 65 ✬ ✩ 9 Universalität und ✫ Unentscheidbarkeit Eine Codierung für Turing-Maschinen über dem Alphabet X ⊇ {a,b,#} Zustände : z0,z1,z2,... Buchstaben : a0 = ,a1,...,a |X|,a |X|+1,... Vereinbarungen : z0 iststetsAnfangszustand z1 iststets akzeptierender Endzustand ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 67 ✬ ✩ Folgerung 9.1 DieSprache CODE := {Code(M): Mist Turing-Maschine } ist regulär. Satz 9.2 (Turing, universelle Turingmaschine) Esgibt eine universelle Turingmaschine, d.h. eineTuringmaschine U,für diegilt: FüralleTuringmaschinen M über X gilt: U akzeptiert das WortCode(M) ·w genau dann,wenn die Turing-Maschine M (alsdeterministische TM gesehen) dasWort w ∈ X ∗ akzeptiert. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 66 ✬ ✩ Codierung von M = (X,Z, Γ,z0, , (d1,...,d ℓ), {z1},w0) mit d i ∈ Z × Γ ×Z×Γ×{−1,0, +1} ✫ Code(z i) := a i+1 # Code(a i) := b i+1 # Code((z i,a j,z k,a l, β)) := a i+1 #b j+1 #a k+1 #b l+1 #a β+2 # mit β ∈ {−1,0, +1} Code(δ) := Code(d1) · · ·Code(d ℓ)##, wobei δ = (d1,...,d ℓ) Code(M) := Code(δ)##Code(w0)### mit w0 ∈ X ∗ (Initialpräfix) ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 68 ✬ ✩ DeterministischeSimulationvon M durch ✫ die universelle Turing-Maschine U 1. U zerlegtEingabe in Code(δ),Code(w0) und w ∈ X ∗ . 2. U wandelt w = w1 · · ·w |w| ∈ X ∗ ,w i ∈ X,in Code(w) := Code(w1) · · ·Code(w |w|) umund schreibtCode(z0)Code(w0w) als Anfangskonfigurationauf. 3. U berechnet durchVergleich mit Code(δ) sukzessivedie Nachfolgekonfigurationen,indem dererste anwendbare Befehl angewendet wird (deterministische Simulation !). ✪
Seite 1 und 2: Automatenund Berechenbarkeit, SoS20
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