kleine Folien (.pdf)

Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 57
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8 RekursiveFunktionen
Bezeichnung: F k := {f : f:IN k → IN} fürdie Menge
aller k-stelligenFunktionen
Konstruktionsschemata fürFunktionen
Substitution S(f;g1,...,g k):IN m → IN
Es seien f ∈ F k ,g1,...,g k ∈ F m .
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S(f;g1,...,g k)(x1,...,xm) :=
f(g1(x1,...,xm) ,..., g k(x1,...,xm))
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 59
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Primitiv-rekursive Funktionen
Anfangsfunktionen
A0 := {o,s} ∪ {I m k
induktiver Aufbau
A i+1 := A i ∪
: m,k ∈ IN ∧1 ≤ k ≤ m}
{S(f;g1,...,g k) : k ∈IN ∧ f,g1,...,g k ∈ A i} ∪
{R(g,h) : g,h ∈ A i}
Abschluß PR :=
i∈IN A i
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 58
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PrimitiveRekursion R(g,h):IN m+1 → IN
Es seien g ∈ F m und h ∈ F m+2 .
x := (x1,...,xm) sei derParametervektor.
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R(g,h)(x,0) := g(x)
R(g,h)(x,n +1) := h(x,n,R(g,h)(x,n))
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 60
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Satz 8.1 Primitiv-rekursive Funktionensind vollständig
definierte Funktionen
Lemma 8.2 Die Klasse PR ist abgeschlossen bezüglich
1. Permutation vonVariablen,
2. Identifizierung von Variablen,
3. Einsetzung vonKonstanten,und
4. Einführung fiktiver Variablen.
Satz 8.3 Jedeprimitiv-rekursive Funktionist
Turing-berechenbar.
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