kleine Folien (.pdf)
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 53<br />
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Satz 7.1 Zujeder k-BandTuring-Maschine M die eine<br />
Sprache L ⊆ X ∗ akzeptiert (entscheidet) kannmaneine<br />
Ein-Band Turing-Maschine M ′ konstruieren, die auch<br />
L ⊆ X ∗ akzeptiert (entscheidet).<br />
M ′ arbeitet dabeiin der ZeitO(t2 M ),wenn M in der Zeit<br />
tM : X∗ → INarbeitet.<br />
Satz 7.2 Wird L ⊆ X ∗ von einer nichtdeterministischen<br />
Turing-Maschine akzeptiert, so wird L auchvon einer<br />
deterministischen Turing-Maschine akzeptiert.<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 55<br />
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Satz 7.4 Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann<br />
Turing-akzeptierbar, wenn L Turing-aufzählbarist.<br />
Satz 7.5 Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann<br />
Turing-entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion<br />
χL Turing-berechenbar ist.<br />
Satz 7.6 (E. Post) Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann<br />
Turing-entscheidbar, wenn sowohl L alsauch X ∗ L<br />
Turing-aufzählbar sind.<br />
Satz 7.7 Eine partielle Funktion ϕ :⊆ X ∗ → Γ ∗ ist genau<br />
dannTuring-berechenbar, wenn ihr Graph (d.h. ϕ als<br />
Teilmenge von X ∗ × Γ ∗ gesehen) Turing-akzeptierbar ist.<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 54<br />
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Definition 7.8 EineSprache L ⊆ X ∗ heißt<br />
Turing-aufzählbar :⇔<br />
1. L = ∅ oder<br />
2. esgibt eine Turing-berechenbare Funktion f : X ∗ → X ∗<br />
derart, daß dom(f) = X ∗ und L = {f(v) : v ∈ X ∗ }.<br />
Folgerung 7.3 Einenichtleere Sprache L = {v i : i ∈ IN}<br />
ist genau dann Turing-aufzählbar, wenn eseine DTM mit<br />
separatem einseitig unendlichen Ausgabeband gibt,die<br />
unendlich lange rechnet und dabeisukzessive die<br />
Bandinschrift v1 v2... v i ... produziert.<br />
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 56<br />
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Folgerung 7.8 Essei ϕ :⊆ X ∗ → Γ ∗ Turing-berechenbar.<br />
Dannsind dom(ϕ) und ϕ(X ∗ ) Turing-aufzählbar.<br />
Folgerung 7.9 Ist f : X ∗ → Γ ∗ (dom(f) = X ∗ !)<br />
Turing-berechenbar, soist ihrGraph (d.h. f als Teilmenge<br />
von X ∗ × Γ ∗ gesehen) Turing-entscheidbar.<br />
Satz 7.10 Es sei L ⊆ X ∗ .Dannsind die folgenden<br />
Bedingungen äquivalent.<br />
1. L ist aufzählbar.<br />
2. L ist Definitionsbereich einer Turing-berechenbaren<br />
Funktion.<br />
3. L ist Wertebereich einer Turing-berechenbaren Funktion.<br />
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