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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 49
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Definition 7.3
1. Ers(w; α, β) bezeichne die Funktion,die daserste Vorkommen
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von α als Teilwort in w durchdasWort β ersetzt.
2. η (w) := w für w /∈ (Γ ∪Z) ∗ ∪ (Γ ∪Z) ∗ , und
η (w) = η (w) := η (w)
3. w ′ heißt Nachfolgekonfigurationvon w [w |=M w ′ ] :⇔
Ist yzx Teilwort von w mit x,y ∈ Γ, z ∈ Z,so ist
w ′ ⎧
⎪⎨
η(Ers(w;yzx,yx =
⎪⎩
′ z ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,R) ∈ δ,
η(Ers(w;yzx,yz ′ x ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,0) ∈ δ, und
η(Ers(w;yzx,z ′ yx ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,L) ∈ δ.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 51
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Definition 7.6 EineTM M akzeptiert die Sprache
L ⊆ X ∗ :⇔
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∀v (v ∈ L ⇔ ∃w(w ∈ Γ ∗ Z fΓ ∗ ∧ z0v|= ∗
M w))
Definition 7.7 EineDTM M entscheidet dieSprache
L ⊆ X ∗ :⇔
1. ∀u (u ∈ X ∗ ⇒ ∃w(w ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ ∧ z0u|= ∗
M w |=M ∅))
2. M akzeptiert L ⊆ X ∗
Dabeiheiße w |=M ∅ : w hat keineNachfolgekonfiguration
in M :
∀w ′ (w ′ ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ → ¬ w |=M w ′ )
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 50
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Definition 7.4
1. Eine Konfiguration w heißt Anfangskonfiguration
:⇔ w ∈ η(z0(X ∗ ) n ) fürein n ∈ IN.
2. Eine Konfiguration w heißt Endkonfiguration, falls w
keineNachfolgerkonfiguration hat (w |=M ∅).
Definition 7.5 EineDTM M berechneteine (partielle)
Funktion f :⊆ (X ∗ ) n → Γ ∗ :⇔
Füralle (v1,...,vn) ∈ (X ∗ ) n gilt
1. genau dann (v1,...,vn) ∈ dom(f),wenn es eine
Endkonfiguration w ∈ Γ ∗ Z fΓ ∗ derart gibt, dass
η(z0v1 v2... vn)|= ∗
M w,und
2. f(v1,...,vn) = η(w1w2),für w = w1zw2 mit z ∈ Zf ✫
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 52
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Akzeptierung und Entscheidung
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Akzeptierung Entscheidung
Anfrage ’w ∈ L ?‘ ’w ∈ L ?‘
Antworttyp ’ja‘ , wenn w ∈ L ’ja‘ ,wenn w ∈ L
¬’ja‘ , wenn w /∈ L ’nein‘, wenn w /∈ L
Verhalten des nichtdeterministisch deterministisch
Automaten unddeterministisch
Terminierung wenn w ∈ L, stets
sonstbeliebig
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