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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 45 ✬ ✩ Lemma 6.7 Ist A = (X, Γ,Z,z0, γ0, f,Z f) ein deterministischer Kellerautomat,so gibt eseinen deterministischen Kellerautomaten A ′ mit L(A) = L(A ′ ), der jedes Eingabewort w ∈ X ∗ vollständig liest. Probleme bei derWandlung von A in A ′ : 1. A hältvorzeitig bei leeremKeller. 2. A brichtin derSituation (z, γ) ∈ Z × Γ die Arbeit vorzeitig ab. 3. A gerätin der Situation (z, γ) ∈ Z × Γ in einen (unendlichen) Zyklus. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 47 ✬ ✩ 7 Turing-Maschinen Definition 7.1 Ein Septupel M = (X, Γ,Z,z0, , δ,Z f) heißt 0-TuringMaschine (0-TM):⇔ 1. X, Γ,Z sind endliche Mengen mit X ⊆ Γ. 2. ∈ Γ X. wird Blank- oderLeersymbol genannt. 3. z0 ∈ Z heißt Anfangszustand. 4. Z f ⊆ Z sei die Mengeder Final- oder auch Endzustände. 5. δ ⊆ Z × Γ ×Z×Γ×{0,R,L}die Überführungsrelation ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 46 ✬ ✩ Lemma 6.8 Ist L ⊆ X ∗ einedeterministisch kontextfreie Sprache, so ist MIN(L) := {w : w ∈ L ∧ ∀v(v ⊏ w → v /∈ L)}ebenfalls deterministisch kontextfrei. Die Sprache PAL (2) := {w ·w R : w ∈ {a,b} ∗ ∧w = e} istnichtdeterministisch kontextfrei.Betrachten dazu PAL (2) ∩ (ab) ∗ · (ba) ∗ · (ab) ∗ · (ba) ∗ = {(ab) i · (ba) j · (ab) j · (ba) i : i,j ∈ IN} und MIN(PAL (2) ∩ (ab) ∗ · (ba) ∗ · (ab) ∗ · (ba) ∗ ) = {(ab) i · (ba) j · (ab) j · (ba) i : i,j ∈ IN ∧j < i} ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 48 ✬ ✩ Vereinbarung 7.1 ✫ • δ ⊆ (Z Z f) × Γ ×Z×Γ×{0,R,L},insbesondere ist für deterministische Turing Maschinen δ(z,x)nicht definiert falls z ∈ Z f • Z ∩ Γ = ∅ Definition 7.2 w heißt Konfigurationder Turing Maschine M :⇔ 1. w ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ und 2. w /∈ (Γ ∪Z) ∗ ∪ (Γ ∪Z) ∗ ✪
Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 49 ✬ ✩ Definition 7.3 1. Ers(w; α, β) bezeichne die Funktion,die daserste Vorkommen ✫ von α als Teilwort in w durchdasWort β ersetzt. 2. η (w) := w für w /∈ (Γ ∪Z) ∗ ∪ (Γ ∪Z) ∗ , und η (w) = η (w) := η (w) 3. w ′ heißt Nachfolgekonfigurationvon w [w |=M w ′ ] :⇔ Ist yzx Teilwort von w mit x,y ∈ Γ, z ∈ Z,so ist w ′ ⎧ ⎪⎨ η(Ers(w;yzx,yx = ⎪⎩ ′ z ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,R) ∈ δ, η(Ers(w;yzx,yz ′ x ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,0) ∈ δ, und η(Ers(w;yzx,z ′ yx ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,L) ∈ δ. ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 51 ✬ ✩ Definition 7.6 EineTM M akzeptiert die Sprache L ⊆ X ∗ :⇔ ✫ ∀v (v ∈ L ⇔ ∃w(w ∈ Γ ∗ Z fΓ ∗ ∧ z0v|= ∗ M w)) Definition 7.7 EineDTM M entscheidet dieSprache L ⊆ X ∗ :⇔ 1. ∀u (u ∈ X ∗ ⇒ ∃w(w ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ ∧ z0u|= ∗ M w |=M ∅)) 2. M akzeptiert L ⊆ X ∗ Dabeiheiße w |=M ∅ : w hat keineNachfolgekonfiguration in M : ∀w ′ (w ′ ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ → ¬ w |=M w ′ ) ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 50 ✬ ✩ Definition 7.4 1. Eine Konfiguration w heißt Anfangskonfiguration :⇔ w ∈ η(z0(X ∗ ) n ) fürein n ∈ IN. 2. Eine Konfiguration w heißt Endkonfiguration, falls w keineNachfolgerkonfiguration hat (w |=M ∅). Definition 7.5 EineDTM M berechneteine (partielle) Funktion f :⊆ (X ∗ ) n → Γ ∗ :⇔ Füralle (v1,...,vn) ∈ (X ∗ ) n gilt 1. genau dann (v1,...,vn) ∈ dom(f),wenn es eine Endkonfiguration w ∈ Γ ∗ Z fΓ ∗ derart gibt, dass η(z0v1 v2... vn)|= ∗ M w,und 2. f(v1,...,vn) = η(w1w2),für w = w1zw2 mit z ∈ Zf ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 52 ✬ ✩ Akzeptierung und Entscheidung ✫ Akzeptierung Entscheidung Anfrage ’w ∈ L ?‘ ’w ∈ L ?‘ Antworttyp ’ja‘ , wenn w ∈ L ’ja‘ ,wenn w ∈ L ¬’ja‘ , wenn w /∈ L ’nein‘, wenn w /∈ L Verhalten des nichtdeterministisch deterministisch Automaten unddeterministisch Terminierung wenn w ∈ L, stets sonstbeliebig ✪
Seite 1 und 2: Automatenund Berechenbarkeit, SoS20
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