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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 37 ✬ ✩ A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f) ✫ Ein Beispiel δ : ( z0 , a , γ0 , aγ0 , z0 ) ( z0 , a , a , aa , z0 ) ( z0 , b , a , e , z1 ) ( z1 , b , a , e , z1 ) ( z1 , e , γ0 , e , z f ) (z0,aabb, γ0) ⊢ (z0,abb,aγ0) ⊢ (z0,bb,aaγ0) ⊢ (z1,b,aγ0) ⊢ (z1,e, γ0) ⊢ (z f,e,e) (z0,aba, γ0) ⊢ (z0,ba,aγ0) ⊢ (z1,a, γ0) ⊢ (z f,a,e) ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 39 ✬ ✩ Satz 5.2 1. Zujeder kontextfreien Grammatik G = (N,X,S,P)kannmaneffektiv einen PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ) mit L(G) = N (A) konstruieren. 2. Zujedem PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ) kannman effektiv einekontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P) mit N (A) = L(G)konstruieren. ✫ ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 38 ✬ ✩ ✫ L(A):= {w : w ∈ X ∗ ∧ ∃z∃γ(z ∈ Z f ∧ γ ∈ Γ ∗ ∧(z0,w, γ0) ⊢∗ A (z,e, γ))} N (A):= {w : w ∈ X∗ ∧ ∃z(z ∈ Z ∧ (z0,w, γ0) ⊢∗ A (z,e,e))} Satz 5.1 1. Zujedem PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f) gibt eseinen PDA B = (X, Γ ′ ,S,s0, γ ′ 0 , δ′ ),der L(A) mit leerem Keller akzeptiert, d.h. L(A) = N (B). 2. Zujedem PDA B = (X, Γ,S,s0, γ0, δ) gibtes einen PDA A derart, daß N (B) = L(A). Ist B deterministisch, sokannauch A deterministisch gewählt werden. ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 40 ✬ ✩ Definition 6.1 Esseien G = (N,X,S,P)eine kontextfreie Grammatikund k := max{|w| : A → w ∈ P}. (B, µ)heißt Ableitungsbaum zu G : ⇐⇒ 1. B ist präfixabgeschlossene Teilmenge von {1,...,k} ∗ mit derEigenschaft ∀w∀i(w ∈ {1,...,k} ∗ ∧i ∈ {2,...,k} ∧wi ∈ B → w(i −1) ∈ B). 2. µ : B → X ∪ N mit derEigenschaft: Sind w1,...,wj sämtliche Nachfolger von w in B,so ist µ(w) → µ(w1) · · · µ(wj) ∈ P. 3. µ(e) = S ✫ ✪
Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 41 ✬ ✩ ✫ Pumping-Lemma für kontextfreie Grammatiken Lemma 6.1 Es sei L ⊆ X ∗ eine kontextfreie Sprache. Dann gibt eseine (von L abhängige) Konstante kL derart, dassfür alle Wörter w ∈ L mit |w| > kL folgendes gilt: Esgibt u,v,w,x,y ∈ X ∗ mitdenEigenschaften w = uvwxy vx = e und |vwx| ≤ kL sowie ∀i(i ∈ IN → uv i wx i y ∈ L). Lemma 6.2 Es sei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie Grammatikin CHOMSKY-Normalform. Danngilt fürjedes w ∈ L(G)mit |w| > 2 |N| : Esgibt u,v,w,x,y ∈ X ∗ mit den Eigenschaften w = uvwxy vx = e und |vwx| ≤ 2 |N| sowie ∀i(i ∈ IN → uv i wx i y ∈ L(G)). ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 43 ✬ ✩ ✫ Beispiel und Anwendung G : S → AC|a, A → BS|b, B → b, C → BS Lemma 6.3 1. Die Sprache L = {a i b i c i : i ∈ IN} ist nicht kontextfrei. 2. DieKlasse der (deterministisch) kontextfreien Sprachen ist nicht abgeschlossen unterDurchschnittsbildung, genauer: Esgibt deterministisch kontextfreie und gleichzeitig lineare Sprachen L1 und L2 derart, dass L1 ∩L2 nicht kontextfrei ist. ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 42 ✬ ✩ ✫ Ein Hilfssatzüber Bäume Hilfssatz:Es sei B ein höchstens k-verzweigterBaum mit derWurzel e. Hat B mehr als k m Blätter, sohat B eine Höhe ≥ m +1, d.h.es gibteinen von derWurzel e ausgehenden Pfad derLänge (Anzahl der Kanten) ≥ m +1 in B. ✪ Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 44 ✬ ✩ ✫ Operationen auf kontextfreien Sprachen Folgerung 6.4 Sind L1,L2 ⊆ X ∗ kontextfreie Sprachen, so sind auch L1 ∪L2, L1 ·L2 und L ∗ 1 kontextfrei. Lemma 6.5 Ist L ⊆ X ∗ eine(deterministisch) kontextfreie Sprache undist W ⊆ X ∗ einereguläre Sprache, so is L ∩W ebenfalls (deterministisch) kontextfrei. Lemma 6.6 Ist L ⊆ X ∗ einedeterministisch kontextfreie Sprache, so is X ∗ Lebenfalls deterministisch kontextfrei. ✪
Seite 1 und 2: Automatenund Berechenbarkeit, SoS20
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