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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 37
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A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f)
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Ein Beispiel
δ : ( z0 , a , γ0 , aγ0 , z0 )
( z0 , a , a , aa , z0 )
( z0 , b , a , e , z1 )
( z1 , b , a , e , z1 )
( z1 , e , γ0 , e , z f )
(z0,aabb, γ0) ⊢ (z0,abb,aγ0) ⊢ (z0,bb,aaγ0) ⊢
(z1,b,aγ0) ⊢ (z1,e, γ0) ⊢ (z f,e,e)
(z0,aba, γ0) ⊢ (z0,ba,aγ0) ⊢ (z1,a, γ0) ⊢ (z f,a,e)
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 39
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Satz 5.2 1. Zujeder kontextfreien Grammatik
G = (N,X,S,P)kannmaneffektiv einen PDA
A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ) mit L(G) = N (A)
konstruieren.
2. Zujedem PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ) kannman
effektiv einekontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P)
mit N (A) = L(G)konstruieren.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 38
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L(A):= {w : w ∈ X ∗ ∧ ∃z∃γ(z ∈ Z f ∧ γ ∈ Γ ∗
∧(z0,w, γ0) ⊢∗ A (z,e, γ))}
N (A):= {w : w ∈ X∗ ∧ ∃z(z ∈ Z ∧ (z0,w, γ0) ⊢∗ A (z,e,e))}
Satz 5.1 1. Zujedem PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f)
gibt eseinen PDA B = (X, Γ ′ ,S,s0, γ ′ 0 , δ′ ),der L(A)
mit leerem Keller akzeptiert, d.h. L(A) = N (B).
2. Zujedem PDA B = (X, Γ,S,s0, γ0, δ) gibtes einen
PDA A derart, daß N (B) = L(A).
Ist B deterministisch, sokannauch A deterministisch
gewählt werden.
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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 40
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Definition 6.1 Esseien G = (N,X,S,P)eine kontextfreie
Grammatikund k := max{|w| : A → w ∈ P}.
(B, µ)heißt Ableitungsbaum zu G : ⇐⇒
1. B ist präfixabgeschlossene Teilmenge von {1,...,k} ∗
mit derEigenschaft
∀w∀i(w ∈ {1,...,k} ∗ ∧i ∈ {2,...,k} ∧wi ∈ B →
w(i −1) ∈ B).
2. µ : B → X ∪ N mit derEigenschaft:
Sind w1,...,wj sämtliche Nachfolger von w in B,so ist
µ(w) → µ(w1) · · · µ(wj) ∈ P.
3. µ(e) = S
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