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Automatenund Berechenbarkeit, SoS2011 1 

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Definition 1.1 Ein Quintupel A = (X,Z,z0, δ,Z f) heißt 

nichtdeterministischer endlicher Automat(NEA):⇔ 

1. X,Z sind endliche nichtleere Mengen. 

2. z0 ∈ Z 

3. Z f ⊆ Z 

4. δ ⊆ Z ×X×Z 

Bemerkung: Ein Automat A heißt deterministisch, falls es 

zu jedem Paar (z,x) ∈ Z ×X höchstens ein z ′ ∈ Z mit 

(z,x,z ′ ) ∈ δ gibt, und A heißt vollständig, falls es 

zu jedem Paar (z,x) ∈ Z ×X mindestens ein z 

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′ ∈ Z mit 

(z,x,z ′ ) ∈ δ gibt. 

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Lemma 1.1 

DieKlasse L (X) 

FA := {LA : LA ⊆ X ∗ ∧ A ist NEA} ist 

abgeschlossen unterden Operationen ∩, ∪, · und ∗ . 

Definition 1.3 Ein DEA ist ein Quintupel 

A = (X,Z,z0, f,Z f),wobei 

1. X,Z endliche nichtleere Mengen sind, 

2. z0 ∈ Z, 

3. Z f ⊆ Z,und 

4. f :⊆ Z ×X → Z. 

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Schreibweise: A : z w 

−→ z ′ 

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e 

A : z −→ z 

A : z 

x 

−→ z ′ 

A : z wx 

−→ z ′ 

: ⇐⇒ (z,x,z ′ ) ∈ δ 

: ⇐⇒ ∃z ′′ (z ′′ ∈ Z ∧ 

A : z w 

−→ z ′′ ∧ (z ′′ ,x,z ′ ) ∈ δ) 

w 

Definition 1.2 LA := {w : ∃z(z ∈ ZF ∧ A : z0 −→ z)} 

ist die von A akzeptierte Sprache. 

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Satz 1.2 (Potenzmengenkonstruktion) 

Zujedem nichtdeterministischen endlichen Automaten 

A = (X,Q,q0, δ,Q f) gibt eseinen vollständigen DEA 

B = (X,S,s0, f,S f) mit LA = LB. 

Konstruktion: 

1. S := {Q ′ : Q ′ ⊆ Q} (Potenzmenge !) 

2. s0 := {q0} 

3. S f := {Q ′ : Q ′ ∩Q f = ∅} 

4. f(Q ′ ,x) := {q ′ : ∃q(q ∈ Q ′ ∧ (q,x,q ′ ) ∈ δ)} 

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Pattern matching 

gegeben: p,t ∈ X ∗ (Pattern,Text) 

gesucht: Liste der Präfixe (t1,...t k) von t, 

die t i ∈ X ∗ · p erfüllen 

1. naives Verfahren (slidingwindow); Zeitschranke 

O(|p| · |t|) 

2. Verfahren von KNUTH-MORRIS-PRATT 

(KMP-Verfahren);ZeitschrankeO(|p| + |t|) 

Vorverarbeitungvon p in ZeitO(|p|):Konstruktion 

eines vollständigen DEA,der X ∗ · p akzeptiert. 

3. weitere Verfahren ... 

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Definition 1.6 Esseien A = (X,Z,z0, f,Z f) und 

B = (X,S,s0,g,S f) DEAen. EineAbbildung φ : Z → S 

heißt Homomorphismusvon A nach B : ⇐⇒ 

1. φ(z0) = s0 

2. φ(Z f) ⊆ S f und φ(Z Z f) ∩S f = ∅ 

3. φ(f(z,x)) = g(φ(z),x) 

Lemma 1.3 Sind A und B initial zusammenhängende 

DEAen und ist B homomorphesBild von A,so gilt 

LA = LB. 

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Vereinbarung: 

Für A = (X,Z,z0, δ,Z f) sei Az := (X,Z,z, δ,Z f). 

Definition 1.4 Essei A = (X,Z,z0, δ,Z f) ein NEA. Zwei 

Zustände z,z ′ ∈ Z heißen äquivalent(ununterscheidbar) 

✫ 

: ⇐⇒ ∀w(w ∈ X ∗ → (w ∈ LAz ←→ w ∈ LAz ′ )) . 

Definition 1.5 Füreinen DEA A = (X,Z,z0, f,Z f) heißt 

w ∈ X ∗ ein die Zustände z und z ′ unterscheidendes 

Experiment : ⇐⇒ 

f(z,w) ∈ Z f ←→ f(z ′ ,w) /∈ Z f . 

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Definition 1.7 (Nerode-Rechtskongruenz) 

Essei L ⊆ X ∗ .Wir nennen u,v ∈ X ∗ kongruent 

(u ∼L v) : ⇐⇒ 

∀w w ∈ X ∗ → (uw ∈ L ↔ vw ∈ L) 

Notation: [u]∼L := {v : u ∼L v} 

Folgerung 1.4 1. ∼L ist Äquivalenzrelation auf X ∗ . 

2. L ist eine Vereinigung von Äquivalenzklassen von ∼L. 

3. ∼L ist rechtsstabil bezüglich der Operation ” ·“. 

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Notation: X∗ /∼L := {[u]∼L : u ∈ X∗ } und 

L/∼L := {[u]∼L : u ∈ L} 

Definition 1.8 (Minimalautomat) 

A = (X, X/∼L, [e]∼L , fL, L/∼L), 

wobei fL([w]∼L ,x) := [wx]∼L 

Satz 1.5 AL akzeptiert L. 

Satz 1.6 Ist A = (X,Z,z0, f,Z f) ein vollständiger 

initial zusammenhängender deterministischer Automat,der 

L akzeptiert, so ist AL homomorphesBild von A. 

✫ 

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Lemma 1.10 Essei A = 

X,Z,z0, f,Z f ein initial 

zusammmenhängenderDEA, der dieSprache L ⊆ X∗ akzeptiert. Danngilt fürjeden Homomorphismus φ von A 

nach AL dieBeziehung: 

✫ 

φ(z) = φ(z ′ ) ⇐⇒ LA z = LA z ′ . 

Folgerung 1.11 Wird L ⊆ X∗ durch einen NEA akzeptiert, 

so ist auch X∗ Ldurch einen NEA akzeptierbar. 

Lemma 1.12 Essei A = 

X,Z,z0, δ,Z f ein NEA.Dann 

gelten 

1. LA = ∅ ⇐⇒ ∃w(w ∈ LA ∧ |w| < |Z|) 

2. |LA| = ℵ0 ⇐⇒ ∃w(w ∈ LA ∧ |Z| ≤ |w| < 2|Z|) 

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Lemma 1.7 Es sei A = 

X,Z,z0, δ,Z f ein NEA. Dann 

gibt eseinen vollständigen NEA A = 

X,Z,z0, δ,Z f , der 

LA = LA , Z ⊆ Z, δ ⊆ δ und |Z| ≤ |Z| +1 erfüllt. 

Lemma 1.8 Ist A = 

X,Z,z0, f,Z f ein vollständiger 

DEA,der die Sprache L ⊆ X∗ akzeptiert, so gilt 

|Z| ≥ |X∗ /∼L|. 

Satz 1.9 Essei L ⊆ X ∗ durch einen DEA akzeptiert. Dann 

ist der Minimalautomat AL der (bisaufIsomorphie) 

eindeutig bestimmtevollständige DEA mit minimaler 

Zustandsanzahl,der L akzeptiert. 

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Patternmatching beim emacs 

(mit regexps) 

gegeben: t ∈ X ∗ (Text), p ∈ (X ∪ Γ) ∗ (Pattern-Menge) 

gesucht: Liste der Präfixe (t1,...t k) von t, 

die auf p ” passen“ 

abc, PQR:XYZ einfache Muster (Wörter) 

[A-Z0-9], [!?;], [a-yA-Q] Buchstabenmengen 

\(〈P1〉\|〈P2〉\) Alternative (Vereinigung) 

〈P1〉〈P2〉 Aneinanderreihung 

\(〈P〉\)* Wiederholung(Iteration) 

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Definition 2.1 EineSprache L ⊆ X ∗ heißt regulär(oder: 

rational) : ⇐⇒ 

1. L ist endliche Teilmenge von X ∗ ,oder 

2. esgibt reguläre Sprachen L1,L2 derart, daß 

L = L1 ∪L2,L = L1 ·L2 oder L = L ∗ 1 gilt. 

3. Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist nurdannregulär, wenn dies 

aufGrund von 1.oder 2.der Fallist. 

Lemma 2.1 Jede reguläre Sprache ist durch einen endlichen 

Automatenakzeptierbar. 

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Entscheidungsprobleme für Sprachen L ⊆ X ∗ 

Gegeben seienSprachen L1,L2 ⊆ X ∗ .Gesuchtsind 

Algorithmen, die Antworten auf die folgenden Fragen 

geben: 

1. ” L = ∅ ?“ (Leerheitsproblem) 

2. ” L = X ∗ ?“ 

3. Ist L endlich? (Endlichkeitsproblem) 

4. Hat L genau n Elemente? 

5. ” L1 ⊆ L2 ?“ (Inklusionsproblem) 

6. ” L1 = L2 ?“ (Gleichheitsproblem) 

7. L1 ∩L2 = ∅ ?“ (Disjunktheitsproblem) 

✫” 

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Lemma 2.2 Jede durch einen endlichen Automaten 

akzeptierbare Sprache ist regulär. 

Satz 2.3 (Kleene) Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann 

regulär, wenn sie durch einen endlichen Automaten 

akzeptierbarist. 

Satz 2.4 FüreineSprache L ⊆ X ∗ sind die folgenden 

Bedingungen äquivalent: 

1. L ist regulär. 

2. L ist durch einen NEAakzeptierbar. 

3. L wird durch einen vollständigen DEA akzeptiert. 

4. DieNerode-Rechtskongruenz ∼L hat endlichen Index. 

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Endliche Automatenals 

informationsverarbeitende Systeme 

✛v ∈ Y M ✛ 

∗ w ∈ X∗ ϕM(w) := v 

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Definition 3.1 Ein Sextupel M = (X,Y,Z,z0, f,g) heißt 

verallgemeinertsequentielle Maschine (gsm):⇔ 

1. (X,Z,z0, f,Z) ist ein vollständiger DEA. 

2. Y ist eine nichtleere endliche Menge. 

3. g : Z ×X → Y ∗ 

Ausdehnungvon g auf Z ×X ∗ : 

✫ 

g(z,e) := e 

g(z,wx) := g(z,w) ·g(f(z,w),x) 

Notation: ϕM(w) := g(z0,w) 

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Satz 3.2 Essei ϕ : X ∗ → Y ∗ gsm-Funktion.Danngelten: 

1. ϕ(e) = e 

2. ϕ ist präfixtreu,d.h. aus w ⊑ v folgt ϕ(w) ⊑ ϕ(v). 

3. ϕ ist linear beschränkt, d.h. |ϕ(wx)| − |ϕ(w)| ≤ cϕ. 

4. ϕ −1 ist regularitätserhaltend, d.h. ϕ −1 (L) ⊆ X ∗ ist 

regulär, falls L ⊆ Y ∗ regulär ist. 

5. ϕ ist regularitätserhaltend, d.h. ϕ(W) ⊆ Y ∗ ist 

regulär, fallsW ⊆ X ∗ regulär ist. 

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Definition 3.2 EineFunktion ϕ : X ∗ → Y ∗ heißt 

gsm-Funktion,falls es eineverallgemeinert sequentielle 

Maschine M mit ϕ = ϕM gibt. 

Definition 3.3 EineFunktion ϕ : X ∗ → Y ∗ heißt 

Homomorphismus : ⇐⇒ 

✫ 

∀w∀v w,v ∈ X ∗ → ϕ(w ·v) = ϕ(w) · ϕ(v) 

Lemma 3.1 Ist L ⊆ X ∗ reguläre Spracheund ist 

ϕ Homomorphismusvon X ∗ nachY ∗ ,so ist auch 

ϕ(L) = {ϕ(w) : w ∈ L} regulär. 

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ZumBeweis von Satz 3.2.4 

a) Voraussetzungen: ϕ = ϕM für 

M = (X,Y,Z,z0, f,g) 

L = LA für A = (Y,S,s0,h,S f) 

b) Konstruktion: B := (X,Z ×S, (z0,s0), f,Z ×S f) mit 

✫ 

f((z,s),x) := (f(z,x),h(s,g(z,x))) 

c)Verifikation: Wirzeigen perInduktion 

f((z,s),w) := (f(z,w),h(s,g(z,w))). 

Dann gilt LB = {w : f((z0,s0),w) ∈ Z ×S f } = 

= {w : h(s0,g(z0,w)) ∈ S f } = {w : ϕ(w) ∈ L} 

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Definition 3.4 (2-lokal testbare Sprachen) Eine Sprache 

W ⊆ X ∗ heißt 2-lokal testbar, falls 

1. W die Form V ·X ∗ , X ∗ ·V oder X ∗ ·V ·X ∗ mit 

V ⊆ {e} ∪X∪X 2 hat,oder 

2. es2-lokaltestbare SprachenW1,W2 mitW = W1 ∪W2 

oderW = X ∗ W1 gibt. 

Folgerung 3.3 Jede2-lokaltestbare Spracheist regulär. 

Lemma 3.4 Jede reguläre Sprache ist homomorphes Bild 

einer 2-lokaltestbaren Sprache. 

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Definition 4.1 Ein Quadrupel G = (N,X,S,P)heißt 

kontextfreie Grammatik (CFG):⇔ 

1. N,X sind endliche nichtleere Mengen. 

2. N ∩X = ∅ 

3. S ∈ N 

4. P ist endliche Teilmenge von N × (N ∪X) ∗ 

Schreibweise: 

Für (A,w) ∈ P schreibenwir auch A →G w. 

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Satz 3.5 (Ginsburg, Rose) Es sei ϕ : X ∗ → Y ∗ eine 

Funktion,diedie Bedingungen 

1. ϕ(e) = e 

2. ϕ ist präfixtreu,d.h. aus w ⊑ v folgt ϕ(w) ⊑ ϕ(v). 

3. ϕ ist linear beschränkt, d.h. |ϕ(wx)| − |ϕ(w)| ≤ cϕ. 

4. ϕ −1 ist regularitätserhaltend, d.h. ϕ −1 (L) ⊆ X ∗ ist 

regulär, falls L ⊆ Y ∗ regulär ist. 

erfüllt, so gibt eseine verallgemeinert sequentielle 

Maschine M mit ϕM = ϕ. 

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Definition 4.2 (Ableitungsrelation) 

u ⊢G v :⇔ ∃A ∈ N ∃(A,w) ∈ P ∃u1,u2 ∈ (N ∪X) ∗ : 

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u = u1 · A ·u2 ∧v = u1 ·w·u2 

u ⊢ n G v :⇔ ∃u1,u2,...,un−1 ∈ (N ∪X) ∗ : 

u ⊢G u1 ⊢G u2 ⊢G · · · ⊢G un−1 ⊢G v 

u ⊢ ∗ G v :⇔ ∃n ∈ IN : u ⊢n G v 

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Kontextfreie Sprachen 

Definition 4.3 1. L(G) := {w : w ∈ X ∗ ∧S ⊢ ∗ G w} 

2. L heißt kontextfrei : ⇐⇒ 

∃G(G ist kontextfreie Grammatik ∧L = L(G)) 

Definition 4.4 Essei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie 

Grammatik.Ein Symbol A ∈ N heißt 

1. aus B erreichbar,falls ∃w1∃w2(B ⊢ ∗ G w1Aw2); 

2. terminierend, falls ∃w(w ∈ X ∗ ∧ A ⊢ ∗ G w). 

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Lemma 4.4 Es sei A → w0A1w1....A lw l mit w i ∈ X ∗ 

Regel einer kontextfreien Grammatik G.Sind A1,...,A l 

terminierend, so ist A terminierend. 

Sind A → v i (i = 1,...,k) sämtliche Regeln einer 

kontextfreien Grammatik G,die die linke Seite A ∈ N haben, 

und ist A terminierend, so gibt esein i derart, dass auchalle 

in v i vorkommenden Symboleaus N terminierend sind. 

Lemma 4.5 Ist A ⊢G w1 ⊢G w2 ⊢G ... ⊢G w l eine 

Ableitungskette bezüglich G und ist w l ∈ X ∗ , soist jedes 

auftretende Symbolaus N terminierend. 

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Lemma 4.1 Es sei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie 

Grammatik,undesseien A,B,C ∈ N.Ist B aus Aerreichbar 

und ist C aus B erreichbar, so ist auch C aus A erreichbar. 

Lemma 4.2 Es sei A ⊢ ∗ G w1 ⊢ ∗ G w2 ⊢ ∗ G ... ⊢∗ G w l eine 

Ableitungskette bezüglich G,und essei B ein Buchstabe aus 

w l,dannist B aus A erreichbar. 

Folgerung 4.3 Essei G = (N,X,S,P)eine kontextfreie 

Grammatik,und essei N ′ die Mengealler aus S erreichbaren 

Symboleaus N.Danngilt L(G) = L(G ′ ) für 

G ′ := (N ′ ,X,S,P ′ ) mit P ′ := P ∩ (N ′ × (N ′ ∪X) ∗ ). 

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Folgerung 4.6 Ist G = (N,X,S,P)einekontextfreie 

Grammatikund ist N ′′ ⊆ N dieMenge aller terminierenden 

Symbole,so ist L(G) = L(G ′′ ) für 

G ′′ := ({S} ∪ N ′′ ,X,S,P∩ N ′′ ×(N ′′ ∪X) ∗ ). 

Definition 4.5 EineGrammatik G = (N,X,S,P)heißt 

reduziert : ⇐⇒ 

G = ({S},X,S, ∅)oder jedes Symbolin N ist sowohl 

terminierend als aucherreichbar. 

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Grammatik.Dannläßt sich aus G eine Grammatik 

G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ ) mit N ′ ⊆ N ohneRegeln derForm 

(A,e),die dieBeziehung L(G ′ ) = L(G) {e} erfüllt, 

konstruieren. 


Grammatik.Dannläßt sich aus G eine äquivalente 

Grammatik G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ ) mit N ′ ⊆ N ohne 

Kettenregeln (d.h.Regeln der Form (A,B), B ∈ N) 

konstruieren. 

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Chomsky-Normalform (Konstruktion) 

Satz 4.9 Zujeder kontextfreien Grammatik G gibt eseine 

äquivalente G ′ in Chomsky-Normalform. 

Die Regeln derneuen Grammatik G ′ = (N ′ ,X,S,P ′ ) 

entstehen ausdenen der alten G = (N,X,S,P)(e-frei 

und ohne Kettenregeln) wie folgt: 

⎧ 

⎨ Xα ,falls α ∈ X 

Wirsetzen Xα := 

⎩ α ,falls α ∈ N , und 

N ′ 

:= N ∪ {Xx : x ∈ X} ∪ 

{[v] : v ∈ (N ∪X) ∗ ∧2 ≤ |v| < max |w|} 

(A,w)∈P 

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Definition 4.6 Einekontextfreie Grammatik 

G = (N,X,S,P)heißt e-frei : ⇐⇒ 

1. P enthält, außereventuell S → e,keineRegel der Form 

A → e,und 

2. ist (S,e) ∈ P,so gilt P ⊆ N × (X ∪ N {S}) ∗ . 

Definition 4.7 Einekontextfreie Grammatik 

G = (N,X,S,P)ist in CHOMSKY-Normalform (CNF) 

: ⇐⇒ 

1. G ist e-frei. 

2. P {(S,e)} ⊆ N × (X ∪ N 2 ) 

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alt neu Bedingung 

S → e S → e S → e ∈ P 

Xx → x x ∈ X 

A → v v ∈ X 

A → v A → XxXy v = xy,x,y ∈ N ∪X 

A → Xx[u] v = xu,x ∈ N ∪X, |u| ≥ 2 

[xy] → XxXy v = xy,x,y ∈ N ∪X 

[xu] → Xx[u] v = xu,x ∈ N ∪X, |u| ≥ 2 

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Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus 

G = (N,X,S,P)kontextfrei in CNF, w = a1 · · ·an 

N ij = {A : A ⊢ ∗ G a i · · ·a j}, ” w ∈ LG ↔ S ∈ N1n“ 

for i := 1 to n do Nii := {A : (A,ai) ∈ P} endfor 

for d := 1 to n −1 do 

for i := 1 to n −d do 

j := i +d 

N ij:= 

endfor 

endfor 

 

A : ∃(A,BC) ∈P ∃k:B ∈ N ik ∧C ∈ N (k+1)j 

 

Suche des geeigneten k 

 

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Definition 5.1 Ein Septupel A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f) 

heißt nichtdeterministischer Kellerautomat(PDA):⇔ 

1. X, Γ,Z sind endliche nichtleere Mengen. 

2. z0 ∈ Z, γ0 ∈ Γ 

3. Z f ⊆ Z 

4. δ ist endliche Teilmenge von 

Z × (X ∪ {e}) × Γ × Γ ∗ ×Z. 

Nachfolgekonfiguration: 

(z,uw, αγ) ⊢A (z ′ ,w, βγ),falls (z,u, α, β,z ′ ) ∈ δ 

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Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus(Beispiel) 

1 2 3 4 5 6 Grammatik 

1 S ∅ S ∅ ∅ S 

2 B A,B B B A,B S → SA | a 

3 S ∅ ∅ S A → BS 

4 B B A,B B → BB | BS | b | c 

5 B A,B 

6 S 

a b a c b a Nij = j−1 

Nik ⋆G Nk+1,j k=i 

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Definition 5.2 Ein Septupel A = (X, Γ,Z,z0, γ0, f,Z f) 

heißt deterministischer Kellerautomat (PDA):⇔ 

1. X, Γ,Z sind endliche nichtleere Mengen. 

2. z0 ∈ Z, γ0 ∈ Γ 

3. Z f ⊆ Z 

4. f : Z × (X ∪ {e}) × Γ aus → Γ ∗ ×Z ist partielle 

Funktionmitder Eigenschaft: 

Ist f(z,e, α)definiert, so ist f(z,x, α)füralle x ∈ X 

nichtdefiniert. 

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A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f) 

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Ein Beispiel 

δ : ( z0 , a , γ0 , aγ0 , z0 ) 

( z0 , a , a , aa , z0 ) 

( z0 , b , a , e , z1 ) 

( z1 , b , a , e , z1 ) 

( z1 , e , γ0 , e , z f ) 

(z0,aabb, γ0) ⊢ (z0,abb,aγ0) ⊢ (z0,bb,aaγ0) ⊢ 

(z1,b,aγ0) ⊢ (z1,e, γ0) ⊢ (z f,e,e) 

(z0,aba, γ0) ⊢ (z0,ba,aγ0) ⊢ (z1,a, γ0) ⊢ (z f,a,e) 

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Satz 5.2 1. Zujeder kontextfreien Grammatik 

G = (N,X,S,P)kannmaneffektiv einen PDA 

A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ) mit L(G) = N (A) 

konstruieren. 

2. Zujedem PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ) kannman 

effektiv einekontextfreie Grammatik G = (N,X,S,P) 

mit N (A) = L(G)konstruieren. 

✫ 

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L(A):= {w : w ∈ X ∗ ∧ ∃z∃γ(z ∈ Z f ∧ γ ∈ Γ ∗ 

∧(z0,w, γ0) ⊢∗ A (z,e, γ))} 

N (A):= {w : w ∈ X∗ ∧ ∃z(z ∈ Z ∧ (z0,w, γ0) ⊢∗ A (z,e,e))} 

Satz 5.1 1. Zujedem PDA A = (X, Γ,Z,z0, γ0, δ,Z f) 

gibt eseinen PDA B = (X, Γ ′ ,S,s0, γ ′ 0 , δ′ ),der L(A) 

mit leerem Keller akzeptiert, d.h. L(A) = N (B). 

2. Zujedem PDA B = (X, Γ,S,s0, γ0, δ) gibtes einen 

PDA A derart, daß N (B) = L(A). 

Ist B deterministisch, sokannauch A deterministisch 

gewählt werden. 

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Definition 6.1 Esseien G = (N,X,S,P)eine kontextfreie 

Grammatikund k := max{|w| : A → w ∈ P}. 

(B, µ)heißt Ableitungsbaum zu G : ⇐⇒ 

1. B ist präfixabgeschlossene Teilmenge von {1,...,k} ∗ 

mit derEigenschaft 

∀w∀i(w ∈ {1,...,k} ∗ ∧i ∈ {2,...,k} ∧wi ∈ B → 

w(i −1) ∈ B). 

2. µ : B → X ∪ N mit derEigenschaft: 

Sind w1,...,wj sämtliche Nachfolger von w in B,so ist 

µ(w) → µ(w1) · · · µ(wj) ∈ P. 

3. µ(e) = S 

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Pumping-Lemma für kontextfreie Grammatiken 

Lemma 6.1 Es sei L ⊆ X ∗ eine kontextfreie Sprache. Dann 

gibt eseine (von L abhängige) Konstante kL derart, dassfür 

alle Wörter w ∈ L mit |w| > kL folgendes gilt: 

Esgibt u,v,w,x,y ∈ X ∗ mitdenEigenschaften w = uvwxy 

vx = e und |vwx| ≤ kL sowie ∀i(i ∈ IN → uv i wx i y ∈ L). 


Grammatikin CHOMSKY-Normalform. Danngilt fürjedes 

w ∈ L(G)mit |w| > 2 |N| : 

Esgibt u,v,w,x,y ∈ X ∗ mit den Eigenschaften 

w = uvwxy vx = e und |vwx| ≤ 2 |N| sowie 

∀i(i ∈ IN → uv i wx i y ∈ L(G)). 

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Beispiel und Anwendung 

G : S → AC|a, A → BS|b, B → b, C → BS 

Lemma 6.3 1. Die Sprache L = {a i b i c i : i ∈ IN} ist nicht 

kontextfrei. 

2. DieKlasse der (deterministisch) kontextfreien Sprachen 

ist nicht abgeschlossen unterDurchschnittsbildung, 

genauer: Esgibt deterministisch kontextfreie und 

gleichzeitig lineare Sprachen L1 und L2 derart, dass 

L1 ∩L2 nicht kontextfrei ist. 

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Ein Hilfssatzüber Bäume 

Hilfssatz:Es sei B ein höchstens k-verzweigterBaum 

mit derWurzel e. 

Hat B mehr als k m Blätter, sohat B eine Höhe ≥ m +1, 

d.h.es gibteinen von derWurzel e ausgehenden Pfad 

derLänge (Anzahl der Kanten) ≥ m +1 in B. 

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Operationen auf kontextfreien Sprachen 

Folgerung 6.4 Sind L1,L2 ⊆ X ∗ kontextfreie Sprachen, so 

sind auch L1 ∪L2, L1 ·L2 und L ∗ 1 kontextfrei. 

Lemma 6.5 Ist L ⊆ X ∗ eine(deterministisch) kontextfreie 

Sprache undist W ⊆ X ∗ einereguläre Sprache, so is L ∩W 

ebenfalls (deterministisch) kontextfrei. 

Lemma 6.6 Ist L ⊆ X ∗ einedeterministisch kontextfreie 

Sprache, so is X ∗ Lebenfalls deterministisch kontextfrei. 

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Lemma 6.7 Ist A = (X, Γ,Z,z0, γ0, f,Z f) ein 

deterministischer Kellerautomat,so gibt eseinen 

deterministischen Kellerautomaten A ′ mit L(A) = L(A ′ ), 

der jedes Eingabewort w ∈ X ∗ vollständig liest. 

Probleme bei derWandlung von A in A ′ : 

1. A hältvorzeitig bei leeremKeller. 

2. A brichtin derSituation (z, γ) ∈ Z × Γ die Arbeit 

vorzeitig ab. 

3. A gerätin der Situation (z, γ) ∈ Z × Γ in einen 

(unendlichen) Zyklus. 

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7 Turing-Maschinen 

Definition 7.1 Ein Septupel M = (X, Γ,Z,z0, , δ,Z f) 

heißt 0-TuringMaschine (0-TM):⇔ 

1. X, Γ,Z sind endliche Mengen mit X ⊆ Γ. 

2. ∈ Γ X. wird Blank- oderLeersymbol genannt. 

3. z0 ∈ Z heißt Anfangszustand. 

4. Z f ⊆ Z sei die Mengeder Final- oder auch 

Endzustände. 

5. δ ⊆ Z × Γ ×Z×Γ×{0,R,L}die 

Überführungsrelation 

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Lemma 6.8 Ist L ⊆ X ∗ einedeterministisch kontextfreie 

Sprache, so ist 

MIN(L) := {w : w ∈ L ∧ ∀v(v ⊏ w → v /∈ L)}ebenfalls 

deterministisch kontextfrei. 

Die Sprache PAL (2) := {w ·w R : w ∈ {a,b} ∗ ∧w = e} 

istnichtdeterministisch kontextfrei.Betrachten dazu 

PAL (2) ∩ (ab) ∗ · (ba) ∗ · (ab) ∗ · (ba) ∗ = 

{(ab) i · (ba) j · (ab) j · (ba) i : i,j ∈ IN} 

und 

MIN(PAL (2) ∩ (ab) ∗ · (ba) ∗ · (ab) ∗ · (ba) ∗ ) = 

{(ab) i · (ba) j · (ab) j · (ba) i : i,j ∈ IN ∧j < i} 

✫ 

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Vereinbarung 7.1 

✫ 

• δ ⊆ (Z Z f) × Γ ×Z×Γ×{0,R,L},insbesondere 

ist für deterministische Turing Maschinen δ(z,x)nicht 

definiert falls z ∈ Z f 

• Z ∩ Γ = ∅ 

Definition 7.2 w heißt Konfigurationder Turing 

Maschine M :⇔ 

1. w ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ und 

2. w /∈ (Γ ∪Z) ∗ ∪ (Γ ∪Z) ∗ 

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Definition 7.3 

1. Ers(w; α, β) bezeichne die Funktion,die daserste Vorkommen 

✫ 

von α als Teilwort in w durchdasWort β ersetzt. 

2. η (w) := w für w /∈ (Γ ∪Z) ∗ ∪ (Γ ∪Z) ∗ , und 

η (w) = η (w) := η (w) 

3. w ′ heißt Nachfolgekonfigurationvon w [w |=M w ′ ] :⇔ 

Ist yzx Teilwort von w mit x,y ∈ Γ, z ∈ Z,so ist 

w ′ ⎧ 

⎪⎨ 

η(Ers(w;yzx,yx = 

⎪⎩ 

′ z ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,R) ∈ δ, 

η(Ers(w;yzx,yz ′ x ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,0) ∈ δ, und 

η(Ers(w;yzx,z ′ yx ′ )), falls (z,x,z ′ ,x ′ ,L) ∈ δ. 

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Definition 7.6 EineTM M akzeptiert die Sprache 

L ⊆ X ∗ :⇔ 

✫ 

∀v (v ∈ L ⇔ ∃w(w ∈ Γ ∗ Z fΓ ∗ ∧ z0v|= ∗ 

M w)) 

Definition 7.7 EineDTM M entscheidet dieSprache 

L ⊆ X ∗ :⇔ 

1. ∀u (u ∈ X ∗ ⇒ ∃w(w ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ ∧ z0u|= ∗ 

M w |=M ∅)) 

2. M akzeptiert L ⊆ X ∗ 

Dabeiheiße w |=M ∅ : w hat keineNachfolgekonfiguration 

in M : 

∀w ′ (w ′ ∈ Γ ∗ ZΓ ∗ → ¬ w |=M w ′ ) 

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1. Eine Konfiguration w heißt Anfangskonfiguration 

:⇔ w ∈ η(z0(X ∗ ) n ) fürein n ∈ IN. 

2. Eine Konfiguration w heißt Endkonfiguration, falls w 

keineNachfolgerkonfiguration hat (w |=M ∅). 

Definition 7.5 EineDTM M berechneteine (partielle) 

Funktion f :⊆ (X ∗ ) n → Γ ∗ :⇔ 

Füralle (v1,...,vn) ∈ (X ∗ ) n gilt 

1. genau dann (v1,...,vn) ∈ dom(f),wenn es eine 

Endkonfiguration w ∈ Γ ∗ Z fΓ ∗ derart gibt, dass 

η(z0v1 v2... vn)|= ∗ 

M w,und 

2. f(v1,...,vn) = η(w1w2),für w = w1zw2 mit z ∈ Zf ✫ 

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Akzeptierung und Entscheidung 

✫ 

Akzeptierung Entscheidung 

Anfrage ’w ∈ L ?‘ ’w ∈ L ?‘ 

Antworttyp ’ja‘ , wenn w ∈ L ’ja‘ ,wenn w ∈ L 

¬’ja‘ , wenn w /∈ L ’nein‘, wenn w /∈ L 

Verhalten des nichtdeterministisch deterministisch 

Automaten unddeterministisch 

Terminierung wenn w ∈ L, stets 

sonstbeliebig 

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Satz 7.1 Zujeder k-BandTuring-Maschine M die eine 

Sprache L ⊆ X ∗ akzeptiert (entscheidet) kannmaneine 

Ein-Band Turing-Maschine M ′ konstruieren, die auch 

L ⊆ X ∗ akzeptiert (entscheidet). 

M ′ arbeitet dabeiin der ZeitO(t2 M ),wenn M in der Zeit 

tM : X∗ → INarbeitet. 

Satz 7.2 Wird L ⊆ X ∗ von einer nichtdeterministischen 

Turing-Maschine akzeptiert, so wird L auchvon einer 

deterministischen Turing-Maschine akzeptiert. 

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Satz 7.4 Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann 

Turing-akzeptierbar, wenn L Turing-aufzählbarist. 


Turing-entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion 

χL Turing-berechenbar ist. 

Satz 7.6 (E. Post) Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann 

Turing-entscheidbar, wenn sowohl L alsauch X ∗ L 

Turing-aufzählbar sind. 

Satz 7.7 Eine partielle Funktion ϕ :⊆ X ∗ → Γ ∗ ist genau 

dannTuring-berechenbar, wenn ihr Graph (d.h. ϕ als 

Teilmenge von X ∗ × Γ ∗ gesehen) Turing-akzeptierbar ist. 

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Definition 7.8 EineSprache L ⊆ X ∗ heißt 

Turing-aufzählbar :⇔ 

1. L = ∅ oder 

2. esgibt eine Turing-berechenbare Funktion f : X ∗ → X ∗ 

derart, daß dom(f) = X ∗ und L = {f(v) : v ∈ X ∗ }. 

Folgerung 7.3 Einenichtleere Sprache L = {v i : i ∈ IN} 

ist genau dann Turing-aufzählbar, wenn eseine DTM mit 

separatem einseitig unendlichen Ausgabeband gibt,die 

unendlich lange rechnet und dabeisukzessive die 

Bandinschrift v1 v2... v i ... produziert. 

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Folgerung 7.8 Essei ϕ :⊆ X ∗ → Γ ∗ Turing-berechenbar. 

Dannsind dom(ϕ) und ϕ(X ∗ ) Turing-aufzählbar. 

Folgerung 7.9 Ist f : X ∗ → Γ ∗ (dom(f) = X ∗ !) 

Turing-berechenbar, soist ihrGraph (d.h. f als Teilmenge 

von X ∗ × Γ ∗ gesehen) Turing-entscheidbar. 

Satz 7.10 Es sei L ⊆ X ∗ .Dannsind die folgenden 

Bedingungen äquivalent. 

1. L ist aufzählbar. 

2. L ist Definitionsbereich einer Turing-berechenbaren 

Funktion. 

3. L ist Wertebereich einer Turing-berechenbaren Funktion. 

✫ 

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8 RekursiveFunktionen 

Bezeichnung: F k := {f : f:IN k → IN} fürdie Menge 

aller k-stelligenFunktionen 

Konstruktionsschemata fürFunktionen 

Substitution S(f;g1,...,g k):IN m → IN 

Es seien f ∈ F k ,g1,...,g k ∈ F m . 

✫ 

S(f;g1,...,g k)(x1,...,xm) := 

f(g1(x1,...,xm) ,..., g k(x1,...,xm)) 

✪ 


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✫ 

Primitiv-rekursive Funktionen 

Anfangsfunktionen 

A0 := {o,s} ∪ {I m k 

induktiver Aufbau 

A i+1 := A i ∪ 

: m,k ∈ IN ∧1 ≤ k ≤ m} 

{S(f;g1,...,g k) : k ∈IN ∧ f,g1,...,g k ∈ A i} ∪ 

{R(g,h) : g,h ∈ A i} 

Abschluß PR := 

i∈IN A i 

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PrimitiveRekursion R(g,h):IN m+1 → IN 

Es seien g ∈ F m und h ∈ F m+2 . 

x := (x1,...,xm) sei derParametervektor. 

✫ 

R(g,h)(x,0) := g(x) 

R(g,h)(x,n +1) := h(x,n,R(g,h)(x,n)) 

✪ 


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✩ 

Satz 8.1 Primitiv-rekursive Funktionensind vollständig 

definierte Funktionen 

Lemma 8.2 Die Klasse PR ist abgeschlossen bezüglich 

1. Permutation vonVariablen, 

2. Identifizierung von Variablen, 

3. Einsetzung vonKonstanten,und 

4. Einführung fiktiver Variablen. 

Satz 8.3 Jedeprimitiv-rekursive Funktionist 

Turing-berechenbar. 

✫ 

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MinimaleNullstelle (Minimisierung) 

Es seien g ∈ F m+1 und x ∈ IN m . 

✫ 

MIN(g)(x) := µt(g(x,t) = 0) ,wobei 

⎧ 

min{z : g(x,z) = 0 ∧ 

⎪⎨ ∀i ≤ z(g(x,i) ∈ IN)}, 

µt(g(x,t) = 0) := 

fallsex.,und 

⎪⎩ 

nichtdef.,sonst. 

✪ 


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Satz 8.4 Jedepartiell-rekursive Funktionist 

Turing-berechenbar. 

Satz 8.5 Eine (partielle) Funktion 

f :⊆ IN 

 

× · 

 

· · ×IN 

 

→ INist genau dannpartiell-rekursiv, 

k−mal 

wenn eseine Turing-berechenbare Funktion 

ϕ :⊆ {0,1} ∗ × · · · × {0,1} ∗ → {0,1} 

 

k−mal 

∗ gibt, so daß 

f = bin −1 ◦S(ϕ,bin,...,bin ) gilt. 

 

k−mal 

Hierbei sei ” bin“ die durchdie unär-binär 

Konvertierungberechnete Funktion. 

✫ 

✪ 


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✫ 

Partiell-rekursive Funktionen 

Anfangsfunktionen 

A ′ 0 := A0 = {o,s} ∪ {I m k 

induktiver Aufbau 

A ′ i+1 := A ′ i ∪ 

: m,k ∈ IN ∧1 ≤ k ≤ m} 

{S(f;g1,...,g k) : k ∈IN ∧ f,g1,...,g k ∈ A i} ∪ 

{R(g,h) : g,h ∈ A i} ∪ 

{MIN(g) : g ∈ A i} 

Abschluß P := 

i∈IN A′ i 

✪ 


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Satz 8.6 (Hauptsatz derAlgorithmentheorie) 

Essei ϕ: (X ∗ ) n → X ∗ eine n-stellige Wortfunktion.Dann 

sind folgende Aussagen äquivalent: 

1. ϕ ist von einer Ein-Band-Turingmaschine berechenbar. 

2. ϕ ist von einer k-Band-Turingmaschineberechenbar. 

3. ϕ ist partiell-rekursiv. 

Church-Turing-These (Church, Turing 1936) 

Eine Wortfunktionistgenau dann imintuitiven Sinn 

berechenbar, wenn sieTuring-berechenbar ist. 

✫ 

✪


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9 Universalität und 

✫ 

Unentscheidbarkeit 

Eine Codierung für Turing-Maschinen über dem 

Alphabet X ⊇ {a,b,#} 

Zustände : z0,z1,z2,... 

Buchstaben : a0 = ,a1,...,a |X|,a |X|+1,... 

Vereinbarungen : z0 iststetsAnfangszustand 

z1 iststets 

akzeptierender Endzustand 

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Folgerung 9.1 DieSprache 

CODE := {Code(M): Mist Turing-Maschine } ist 

regulär. 

Satz 9.2 (Turing, universelle Turingmaschine) Esgibt 

eine universelle Turingmaschine, d.h. eineTuringmaschine 

U,für diegilt: 

FüralleTuringmaschinen M über X gilt: U akzeptiert das 

WortCode(M) ·w genau dann,wenn die Turing-Maschine 

M (alsdeterministische TM gesehen) dasWort w ∈ X ∗ 

akzeptiert. 

✫ 

✪ 


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✩ 

Codierung von 

M = (X,Z, Γ,z0, , (d1,...,d ℓ), {z1},w0) mit 

d i ∈ Z × Γ ×Z×Γ×{−1,0, +1} 

✫ 

Code(z i) := a i+1 # 

Code(a i) := b i+1 # 

Code((z i,a j,z k,a l, β)) := a i+1 #b j+1 #a k+1 #b l+1 #a β+2 # 

mit β ∈ {−1,0, +1} 

Code(δ) := Code(d1) · · ·Code(d ℓ)##, 

wobei δ = (d1,...,d ℓ) 

Code(M) := Code(δ)##Code(w0)### 

mit w0 ∈ X ∗ (Initialpräfix) 

✪ 


✬ 

✩ 

DeterministischeSimulationvon M durch 

✫ 

die universelle Turing-Maschine U 

1. U zerlegtEingabe in Code(δ),Code(w0) und 

w ∈ X ∗ . 

2. U wandelt w = w1 · · ·w |w| ∈ X ∗ ,w i ∈ X,in 

Code(w) := Code(w1) · · ·Code(w |w|) umund 

schreibtCode(z0)Code(w0w) als 

Anfangskonfigurationauf. 

3. U berechnet durchVergleich mit Code(δ) 

sukzessivedie Nachfolgekonfigurationen,indem 

dererste anwendbare Befehl angewendet wird 

(deterministische Simulation !). 

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✬ 

✩ 

Satz 9.3 DieSprache 

Univ := {Code(M)w: MistDTMundakzeptiert w} 

ist aufzählbar,abernicht entscheidbar. 

Satz 9.4 DieSprache 

Halt := {Code(M)w : M ist DTMund hält aufEingabe w} 

ist aufzählbar,abernicht entscheidbar. 

✫ 

✪ 


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✩ 

Folgerung 9.6 DasHalteproblemfürDTMaufleeremBand 

He := {Code(M): Mist DTM und hält aufEingabe e} 

ist unentscheidbar. 

Lemma 9.7 DasÄquivalenzproblem 

Äqu := {Code(M1)#Code(M2): 

M1 und M2 sind DTM,die dieselbe Sprache akzeptieren} 

fürDTM ist unentscheidbar. 

Satz 9.8 Dasspezielle Halteproblem Hs := 

{Code(M): Mist DTMund hält aufEingabeCode(M)} 

fürDTM ist aufzählbar,abernicht entscheidbar. 

✫ 

✪ 


✬ 

✩ 

Definition 9.1 Esseien L1 und L2 Sprachen über X.Dann 

heißt L1 auf L2 reduzierbar(Schreibweise: L1 ≤m L2), 

wenn eseine überall definierte, Turing-berechenbare 

Funktion f:X ∗ → X ∗ derart gibt, dassgilt: 

∀w(w ∈ X ∗ → (w ∈ L1 ↔ f(w) ∈ L2)). 

Lemma 9.5 Gilt L1 ≤m L2 undist L2 Turing-entscheidbar 

(Turing-akzeptierbar), dannist L1 Turing-entscheidbar 

(Turing-akzeptierbar). 

Umgekehrt gilt: Falls L1 ≤m L2 gilt und L1 nicht 

Turing-entscheidbar (Turing-akzeptierbar) ist, so ist auch L2 

nicht Turing-entscheidbar (Turing-akzeptierbar). 

✫ 

✪ 


✬ 

✩ 

10 Polynomialzeitberechnung 

Definition 10.1 (Rechenzeit, Anzahl der Rechenschritte) 

Füreine DTM T sei 

tT (v) := sup{i : ∃K1...∃K i(z0v |= K1 |= ... |= K i)}. 

Füreine NTM T , die L ⊆ X ∗ akzeptiert und die die 

akzeptierende Finalkonfiguration K f hat,sei 

⎧ 

⎪⎨ 

inf{i +1 : ∃K1...∃K i(z0v |= ... |= Ki |= Kf)}, tT (v) := falls v ∈ L,und 

⎪⎩ 

0, anderenfalls. 

✫ 

tT (n) := sup{tT (v) : |v| = n} 

✪


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✩ 


✫ 

P := {L : L ⊆ X ∗ ∧ esgibt eine DTM M, 

die L entscheidet ∧ ∃k(tM(n) ∈ O(n k ))} 

NP := {L : L ⊆ X ∗ ∧ esgibt eine NTM M, 

die L akzeptiert ∧ ∃k(tM(n) ∈ O(n k ))} 

Definition 10.3 L ⊆ X∗ ist polynomiell reduzierbar auf 

W ⊆ Y∗ 

: ⇐⇒ ∃g g : X∗ → Y∗ ∧gist in polynomieller Zeit berechenbar 

 

∧ ∀w (w ∈ L ↔ g(w) ∈ W) . 

Schreibweise: L ≤ P m W 

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L heißt NP-schwierig(NP-hard) : ⇐⇒ 

∀W (W ∈ NP → W ≤ P m L) 

L heißt NP-vollständig (NP-complete) : ⇐⇒ 

L ∈ NP ∧List NP-schwierig 

Folgerung 10.2 Ist L NP-schwierig und L ≤ P m W,so ist 

auchW NP-schwierig. 

Lemma 10.3 Ist L ⊆ X ∗ NP-schwierig und L ∈ P,so gilt 

P = NP. 

Lemma 10.4 Ist L ⊆ X ∗ NP-schwierig und 

L ∈ co-NP := {X ∗ W : W ∈ NP},sogilt NP = co-NP. 

✫ 

✪ 


✬ 

✩ 

Lemma 10.1 

✫ 

1. A ≤ P m A 

2. A ≤ P m B ∧B ≤ P m C → A ≤ P m C 

3. A ≤ P m B ↔ A ≤P m B 

4. A ∈ P ∧B /∈ {∅,X ∗ } → A ≤ P m B 

5. A ≤ P m B ∧B ∈ P → A ∈ P 

6. A ≤ P m B ∧B ∈ NP → A ∈ NP 

✪ 


✬ 

✩ 

✫ 

Einige NP-vollständige Probleme 

Erfüllbarkeitsproblem (SAT): 

input AussagenlogischeFormel ϕ(x1,...,xm) 

mit den Variablen x i 

output true, falls eseine Belegung 

false, sonst. 

β : {x i : i ∈ IN} → {0,1} 

derVariablen x i gibt, 

die β(ϕ(x1,...,xm)) = 1 ergibt. 

✪


✬ 

✩ 

Traveling Salesman Problem (TSP): 

input Liste von Städten (a1,...,am), a i ∈ IN, 

✫ 

die Abstände d(a i,a j) ∈ IN, b ∈ IN 

output true, falls eseine Toureiner Länge ≤ b gibt, 

false, sonst. 

Hamilton Kreis(HK): 

die jede Stadt einmal durchläuft 

input ungerichteter Graph (E,K) 

output true, falls eseinen Kreisin (E,K)gibt, 

false, sonst. 

derjeden Knoten genau einmal berührt 

✪ 


✬ 

✩ 

ZumBeweis des Satzes vonCook 

NTM M= (X, Γ, Z, δ, z0, , Z f), p-zeitbeschränktfür 

ein Polynom p mit o.B.d.A.der folgenden Eigenschaft: 

(z,a,z ′ ,b,d), (z,a,z ′ ,b ′ ,d ′ ) ∈ δ → b = b ′ ∧d = d ′ 

Aussagenvariablen 

• Z[t,z]:zumZeitpunkt t Zustand z 

• K[t,j]:zumZeitpunkt t Kopf an Position j 

• S[t,j, γ]:zumZeitpunkt t an Position j Symbol γ 

Bereiche:0 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ j ≤ p(n),z ∈ Z, γ ∈ Γ 

Zahl der Variablen:O([p(n)] 

✫ 

2 ), 

Länge der Kodierungeiner Klausel:O([p(n)] 2 log p(n)) 

✪ 


✬ 

✩ 

Variablen x i 

Literale x i oder ¬x i 

Klauseln (¬)x i1 ∨...∨(¬)x im 

KNF 

✫ 

lj=1 klausel j 

(¬x1 ∨...∨¬xm ∨y1 ∨...∨yn) istäquivalentzu 

(x1 ∧...∧xm) → y1 ∨...∨yn 

Satz 10.5 (Cook) SAT ist NP-vollständig. 

✪ 


✬ 

✩ 

Klauselmengen 

C1: zujedem Zeitpunkt t genau ein Zustand 

{Z[t,z] : z ∈ Z},0 ≤ t ≤ p(n) 

Z[t,z1],Z[t,z2]},0 ≤ t ≤ p(n),z1,z2 ∈ Z,z1 = z2 

✫ 

Zahl der Klauselnin C1:O(p(n)) 

C2: zujedem Zeitpunkt t eindeutige Kopfposition j 

{K[t,j] : −p(n) ≤ j ≤ p(n)},0 ≤ t ≤ p(n) 

K[t,j1],K[t,j2] ,0 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ j1 < j2 ≤ 

p(n) 

Zahl der Klauselnin C2:O([p(n)] 3 ) 

✪


✬ 

✩ 

C3: zujedem Zeitpunkt t an jeder Stelle j genau ein 

Symbol γ ∈ Γ 

{S[t,j, γ] : γ ∈ Γ}, −p(n) ≤ j ≤ p(n),0 ≤ t ≤ p(n) 

S[t,j, γ1],S[t,j, γ2]},0 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ j ≤ 

✫ 

p(n), γ1, γ2 ∈ Γ, γ1 = γ2 

Zahl der Klauselnin C3 : O([p(n)] 2 ) 

C4: zumZeitpunkt0Anfangskonfiguration mit 

Eingabe w = x1 · · ·xn 

{Z[0,z0]}, {K[0,1]}, {S[0,j,x j]},1 ≤ j ≤ n 

{S[0,j,]}, −p(n) ≤ j ≤ 0 oder n < j ≤ p(n) 

Zahl der Klauselnin C4:O(p(n)) 

✪ 


✬ 

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✫ 

– falls Kopfan Position j,soVeränderung gemäß 

Transitionstabelle δ odernurErhöhung derZeit 

in einem Finalzustand z ∈ Z f 

{K[t,j],Z[t,z],S[t,j, γ],Z[t +1,z ′ ], S[t +1,j, γ ′ ]}, 

{K[t,j],Z[t,z],S[t,j, γ],Z[t +1,z ′ ], 

K[t +1,j+d ]}, 

(z, γ,z ′ , γ ′ ,d) ∈ δ oder 

z ∈ Z f,z ′ = z, γ ′ = γ,d = 0, 

0 ≤ t < p(n), −p(n) ≤ j ≤ p(n) 

Zahl der Klauselnin C6 : O([p(n)] 2 ) 

✪ 


✬ 

✩ 

C5: zueinem Zeitpunkt t akzeptierende Konfiguration 

{Z[t,z] : z ∈ Z f ∧0 ≤ t ≤ p(n)} 

Zahl der Klauselnin C5: 1( der Länge p(n) · |Z f |) 

C6: zujedem Zeitpunkt t +1 Nachfolgekonfiguration 

dervorherigen Konfiguration 

✫ 

– falls Kopfnicht an Position j, sobleibtInhalt 

gleich 

{K[t,j],S[t,j, γ],S[t +1,j, γ]}, 

0 ≤ t < p(n), −p(n) ≤ j ≤ p(n), γ ∈ Γ 

✪ 


✬ 

✩ 

Definition 10.5 Essei (E,K)ungerichteter Graph. Eine 

Teilmenge Q ⊆ E heißt Clique, falls {q,q ′ } ∈ K füralle 

q,q ′ ∈ Q, q = q ′ ,gilt. 

Cliquenproblem (CLIQUE): 

input ungerichteter Graph (E,K)und Zahl k ∈ IN 

output true, falls esin (E,K) 

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false, sonst. 

eine Clique derGröße k gibt. 

Satz 10.6 CLIQUEist NP-vollständig. 

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11 Die CHOMSKY-Hierarchie 

Definition 11.1 (Typ 0 Grammatik) Ein Quadrupel 

G = (N,X,S,P)heißt Grammatik :⇔ 

1. N,X sind endliche nichtleere Mengen, N ∩X = ∅, 

2. S ∈ N 

3. P ⊆ (N ∪X) ∗ {e} ×(N ∪X) ∗ ,und P ist endlich. 

L(G) := {w : w ∈ X ∗ ∧S ⊢ ∗ G w} 

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G = (N,X,S,P)heißt nichtverkürzende Grammatik :⇔ 


2. S ∈ N 

3. P ⊆ (N ∪X) ∗ {e} ×(N ∪X) ∗ ,und P ist endlich. 

4. Ist (u,v) ∈ P, u = S,so gilt |u| ≤ |v|. 

5. Ist (S,e) ∈ P,so gilt 

P ∩ (N ∪X) ∗ × (N ∪X) ∗ ·S·(N ∪X) ∗ = ∅. 

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Typ 0-Sprache, wenn sie rekursiv aufzählbarist. 

Folgerung 11.2 Ist für (u,v) ∈ P stets |u| ≤ |v| erfüllt, so 

ist L(G)entscheidbar. 

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Typ 1-Sprache, wenn sie voneiner nichtdeterministischen 

Turing-Maschine in linearem Raumakzeptiert wird. 

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G = (N,X,S,P)heißt kontextfreie Grammatik (CFG):⇔ 

1. N,X sind endliche nichtleere Mengen. 

2. N ∩X = ∅ 

3. S ∈ N 

4. P ist endliche Teilmenge von N × (N ∪X) ∗ 

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Typ 1-Sprache, wenn sie voneiner nichtdeterministischen 

Turing-Maschine in linearem Raumakzeptiert wird. 

Satz 11.5 Jede Typ 1-Sprache ist entscheidbar. Esgibt 

entscheidbare Sprachen, die nicht Typ 1-Sprache sind. 


Typ 2-Sprache, wenn sie voneinem nichtdeterministischen 

PDA akzeptiert wird. (Satz5.2) 


Typ 3-Sprache, wenn sie voneinem endlichen Automaten 

akzeptiert wird. 

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G = (N,X,S,P)heißt rechtslineare Grammatik :⇔ 


2. S ∈ N 

3. P ⊆ N × (X ∗ ∪X ∗ N). 

Eine kontextfreie Sprache L ⊆ X ∗ mit e ∈ L ist 

rechtslinear genau dann, wenn sie durcheine 

Grammatik G = (N,X,S,P)mit Produktionender 

Gestalt A → aB und A → a für a ∈ X und A,B ∈ N mit 

A = B erzeugbar ist. 

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12 Das POSTsche 

Korrespondenzproblem 


gegeben Folgevon Paaren vonnichtleeren Wörtern 

P = (w1,u1),...,(wn,un) mit w i,u i ∈ X ∗ {e} 

gesucht gibt es eineFolge vonIndices 

i1,...,i l (l ≥ 1, 1 ≤ i j ≤ n) mit 

w il · · ·w i1 = u i l · · ·u i1 

Satz 12.1 Es gibtkeinen Algorithmus, derentscheidet, ob 

ein gegebenes POSTsches Korrespondenzproblem P eine 

Lösung hat. 

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Lemma 12.2 Diefolgenden Probleme sind für(lineare) 

kontextfreie Sprachen L1,L2 ⊆ X ∗ unentscheidbar: 

1. Ist L1 ∩L2 = ∅? 

2. Ist L1 ∩L2 unendlich? 

3. Ist L1 ∩L2 regulär? 

Satz 12.3 DasHalteproblem für Zwei-Zähler-Maschinen ist 

unentscheidbar. 

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Definition 12.2 Eine Teilmenge L ⊆ X ∗ heißt Code, falls 

aus w1,...,wm,v1,...,vn ∈ L und w1 · · ·wm = v1 · · ·vn 

stets m = n und w i = v i, für i = 1,...,m,folgen. 

Lemma 12.4 Esist algorithmisch unentscheidbar, obeine 

deterministisch kontextfreie Sprache L ⊆ X ∗ ein Codeist. 

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