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Logik und Berechenbarkeit 22 2. für Ausdrücke (≡ t ′ 1t ′ 2) t0,...,tℓ v0,...,vℓ (Rt ′ 1 ...t ′ n) t0,...,tℓ v0,...,vℓ (¬ϕ) t0,...,tℓ v0,...,vℓ (ϕ ◦ ψ) t0,...,tℓ v0,...,vℓ (Qvϕ) t0,...,tℓ v0,...,vℓ := ≡ t ′ t0,...,tℓ 1 v0,...,vℓ t ′ t0,...,tℓ 2 v0,...,vℓ := Rt ′ t0,...,tℓ 1 ...t v0,...,vℓ ′ := t0,...,tℓ n v0,...,vℓ ¬ ϕ t0,...,tℓ v0,...,vℓ := ϕ t0,...,tℓ ◦ ψ v0,...,vℓ t0,...,tℓ v0,...,vℓ ti1 ,...,tir ,u := Qu ϕ vi 1 ,...,vir ,v In der letzten Gleichung seien vi1 ,...,vir diejenigen unter den v0,...,vℓ, für die vi ∈ frei(Qvϕ) und vi = ti, und u sei v, falls v nicht in t0,...,tℓ auftritt, ansonsten sei u die erste nicht in ϕ,t0,...,tℓ vorkommende Variable.
Logik und Berechenbarkeit 23 Lemma 2.17 [Substitutionslemma] 1. Für alle Terme t gilt I t t0...t l v 0...v l 2. Für alle Ausdrücke ϕ gilt genau dann I ϕ t 0...t l v0...v l Hierbei sei I I(t0)...I(tl) v0 ...vl I(t0)...I(t = I l) v (t). 0...vl I(t0)...I(t = 1 , wenn I l) v0...v (ϕ) = 1. l (v) := ⎧ ⎨ ⎩ I(ti) , falls v = vi , und I(v) , anderenfalls. Folgerung 2.18 Es sei ϕ ein Ausdruck, und es seien β,β ′ Belegungen. Stimmen β und β ′ auf frei(ϕ) überein, so gilt Iβ (ϕ) = Iβ ′(ϕ).
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