Darstellung von Zeichen und Zahlen - Lehrstuhl Technische ...

Was ist Information? 

Darstellung von Zeichen 

Darstellung von Zahlen 

Question Time 

Darstellung von Zeichen und Zahlen 

[Technische Informatik — Eine Einführung] 

Univ.-Prof. Dr. Paul Molitor 

Lehrstuhl für Technische Informatik 

Institut für Informatik 

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 

1. November 2005 

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Question Time 

Der Begriff der Information 

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Question Time 


Der Begriff der Information wird sowohl umgangssprachlich als auch in verschiedenen 

Wissenschaften unterschiedlich benutzt! 

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Question Time 




Example (Informationstheorie: Informationsgehalt, Eigeninformation) 

Information = Maß für die Beseitigung von Unbestimmtheit 

[...später mehr dazu, siehe Datenkompression] 

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Question Time 




Example (Informationstheorie: Informationsgehalt, Eigeninformation) 

Information = Maß für die Beseitigung von Unbestimmtheit 

Example (Informatik: Daten) 

Information = Daten 

... daher auch der Begriff ”Informationsverarbeitung” 

[...später mehr dazu, siehe Datenkompression] 

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Daten 




Question Time 

Die Daten, die in einem Rechner verarbeitet werden, sind vielfältig: 

Zeichen, z. B. über Tastatur eingegebenes Zeichen 

Text, z. B. Brief an das Finanzamt 

Zahlen 

Bilder und Videos 

Audio-Daten 

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Daten 




Question Time 






Audio-Daten 

Speicherung von Daten in digitalen ”binären” Rechner 

Auch wenn ein Algorithmus prinzipiell mit solchen Objekten operiert, letztendlich 

müssen sie (bei den heutigen digitalen Rechnern) als Folgen von Bits repräsentiert 

werden. 

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Daten 




Question Time 






Audio-Daten 

Speicherung von Daten in digitalen ”binären” Rechner 

Auch wenn ein Algorithmus prinzipiell mit solchen Objekten operiert, letztendlich 

müssen sie (bei den heutigen digitalen Rechnern) als Folgen von Bits repräsentiert 

werden. 

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Question Time 

Bit, Byte, Wort, Doppelwort, ... 

Definition (Bit und Byte) 

Ein Bit ist eine Elementarinformation in Form einer einzelnen Ziffer, 

die entweder den Wert 0 oder den Wert 1 annehmen kann. 

Ob an einem Punkt der Wert 1 oder 0 anliegt, wird über das Potenzial an diesem 

Punkt definiert. Bei nichtinvertierender Logik z. B. liegt an einem Punkt der Wert 1 

dann an, wenn sein Potenzial größer als die Schwellenspannung eines Transistors ist. 

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Question Time 





Eine Folge von acht Bits wird als Byte bezeichnet. 

Bei einem 2 k -Bit Rechner besteht ein Wort aus 2 k Bits, 

ein Doppelwort aus 2 · 2 k Bit. 

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Question Time 





Eine Folge von acht Bits wird als Byte bezeichnet. 

Durch ein Byte können 2 8 = 256 verschiedene Werte/Zeichen dargestellt werden 

Bei einem 2 k -Bit Rechner besteht ein Wort aus 2 k Bits, 

ein Doppelwort aus 2 · 2 k Bit. 

Für k = 32 bzw. k = 64 können mit einem Wort 4.294.967.296 bzw. 

18.446.744.073.709.551.616 verschiedene Informationen dargestellt werden. 

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Codes 




Question Time 

Codes: Definition und Beispiele 

Codes: Eigenschaften und Ziele 

Welches Byte welches Zeichen darstellt, ist eine Frage der Kodierung! 

Definition (Code) 

Gegeben sei ein endliches Alphabet A, also eine endliche Menge von Symbolen. 

Weiterhin sei B ∗ die Menge aller beliebig langen endlichen Bitfolgen. 

1 Ein Code ist eine injektive Abbildung c : A → B ∗ . 

2 Ein Code c heißt auch Code fester Länge oder genauer Code der Länge n, 

wenn c : A → B, B ⊆ B n für beliebiges n ∈ N gilt, 

3 Die Menge aller Codewörter eines Codes c ist durch 

c(A) := { w ∈ B ∗ ; ∃ a ∈ A : c(a) = w } gegeben. 

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Codes 




Question Time 



Welches Byte welches Zeichen darstellt, ist eine Frage der Kodierung! 

Definition (Code) 

Gegeben sei ein endliches Alphabet A, also eine endliche Menge von Symbolen. 

Weiterhin sei B ∗ die Menge aller beliebig langen endlichen Bitfolgen. 

1 Ein Code ist eine injektive Abbildung c : A → B ∗ . 

2 Ein Code c heißt auch Code fester Länge oder genauer Code der Länge n, 

wenn c : A → B, B ⊆ B n für beliebiges n ∈ N gilt, 

3 Die Menge aller Codewörter eines Codes c ist durch 

c(A) := { w ∈ B ∗ ; ∃ a ∈ A : c(a) = w } gegeben. 

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Codes 

Example 




Question Time 



Gegeben sei das Alphabet A1 := {rot, grün, blau}. Dann ist die Abbildung 

c1 : A1 → B 24 , 

c1 := { (rot ↦→ 1111 1111 0000 0000 0000 0000), 

(grün ↦→ 0000 0000 1111 1111 0000 0000), 

(blau ↦→ 0000 0000 0000 0000 1111 1111) } 

ein Code der Länge 24. 

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Codes 

Example 




Question Time 



Gegeben sei das Alphabet A1 := {rot, grün, blau}. Dann ist die Abbildung 

c1 : A1 → B 24 , 

c1 := { (rot ↦→ 1111 1111 0000 0000 0000 0000), 

(grün ↦→ 0000 0000 1111 1111 0000 0000), 

(blau ↦→ 0000 0000 0000 0000 1111 1111) } 

ein Code der Länge 24. 

Example 

Gegeben sei das Alphabet A2 := {lila, violett, gelb}. Dann ist die Abbildung 

c2 : A2 → B 24 , 

c2 := { (lila ↦→ 1111 1111 0000 0000 1111 1111), 

(violett ↦→ 1111 1111 0000 0000 1111 1111), 

(gelb ↦→ 1111 1111 1111 1111 0000 0000) } 

kein Code. 

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Question Time 



ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 

Tabelle: Code-Tabelle für den ASCII-Code 

c6 0 0 0 0 1 1 1 1 

c5 0 0 1 1 0 0 1 1 

c4 0 1 0 1 0 1 0 1 

c3 c2 c1 c0 

0 0 0 0 NUL DLE 0 P ‘ p 

0 0 0 1 SOH DC1 ! 1 A Q a q 

0 0 1 0 SFX DC2 ” 2 B R b r 

0 0 1 1 ETX DC3 # 3 C S c s 

0 1 0 0 EOT DC4 $ 4 D T d t 

0 1 0 1 ENQ NAK % 5 E U e u 

0 1 1 0 ACK SYN & 6 F V f v 

0 1 1 1 BEL ETB ’ 7 G W g w 

1 0 0 0 BS CAN ( 8 H X h x 

1 0 0 1 HT EM ) 9 I Y i y 

1 0 1 0 LF SUB * : J Z j z 

1 0 1 1 VT ESC + ; K [ k { 

1 1 0 0 FF FS , ¡ L \ l — 

1 1 0 1 CR QS - = M ] m } 

1 1 1 0 SO RS . ¿ N ˆ n * 

1 1 1 1 SI US / ? O o DEL 

 

Steuerzeichen Schriftzeichen 

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Question Time 



Kodierung und Dekodierung von Zeichen 

Kodierung bzw. Verschlüsselung 

Vorgang des ”Übersetzens” eines Zeichens in sein Codewort. 

Dekodierung bzw. Entschlüsselung 

Vorgang des ”Rückübersetzens” eines Codeswortes in das dazugehörige Zeichen. 

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Question Time 

Welcher Code für welchen Zweck? 

Gegeben sei ein endliches Alphabet A der Größe m. 

Wie hat man A zu kodieren? 



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Question Time 




Bei Codes fester Länge n: 

Wie groß muss n sein? 



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Question Time 






Es muss n ≥ ⌈log 2 m⌉ gelten! 



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Question Time 






Es muss n ≥ ⌈log 2 m⌉ gelten! 

... ist eine Folgerung aus 

Definition (Tiefe eines gerichteten Baumes) 



Die Tiefe eines gerichteten Baumes T ist gegeben durch die Länge des längsten 

Pfades von der Wurzel von T zu einem seiner Blätter. 

Lemma 

Ein binärer Baum der Tiefe k besitzt höchstens 2 k Blätter. 

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Question Time 





Welche zusätzlichen Ziele werden mit der Kodierung verfolgt? 

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Question Time 






Mögliche Ziele 

keine weiteren Ziele 

Fehlererkennung 

Fehlerkorrektur 

Minimierung der mittleren Codewortlänge 

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Question Time 









Es muss n ≥ ⌈log 2 m⌉ + r für ein r ≥ 1 gelten! 



[für Weiteres siehe später...] 

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Question Time 











Es muss n ≥ ⌈log 2 m⌉ + r für ein r ≥ ⌈log 2 log 2 m⌉ gelten! 




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Question Time 











Es muss n ≥ ⌈log 2 m⌉ + r für ein r ≥ ⌈log 2 log 2 m⌉ gelten! 


Der Code muss ein Code variabler Länge sein! 




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Zahlendarstellungen 




Question Time 

Stellenwertsysteme 

Festkommadarstellungen 

Gleitkommadarstellungen 

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zahlen im Rechner darzustellen: 



Die verschiedenen Darstellungen besitzen unterschiedliche Eigenschaften! 

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Question Time 






Darstellung durch Betrag und Vorzeichen 

(engl.: sign and magnitude representation) 

Einer-Komplement-Darstellung 

(engl.: one’s complement representation) 

Zweier-Komplement-Darstellung 

(engl.: two’s complement representation) 



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Question Time 







(engl.: sign and magnitude representation) 


(engl.: one’s complement representation) 


(engl.: two’s complement representation) 


Gleitkommadarstellung nach dem IEEE 754 Format 


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Question Time 




Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, δ) mit: 

1 b ≥ 2 ist eine natürliche Zahl, die Basis des Stellenwertsystems. 

2 Z ist eine b-elementige Menge von Symbolen, 

die auch als Ziffern bezeichnet werden. 

3 δ : Z → {0, 1, . . . , b − 1} ist eine Abbildung, 

die jeder Ziffer eine natürliche Zahl zwischen 0 und b − 1 zuordnet. 

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Question Time 




Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, δ) mit: 

1 b ≥ 2 ist eine natürliche Zahl, die Basis des Stellenwertsystems. 

2 Z ist eine b-elementige Menge von Symbolen, 

die auch als Ziffern bezeichnet werden. 

3 δ : Z → {0, 1, . . . , b − 1} ist eine Abbildung, 

die jeder Ziffer eine natürliche Zahl zwischen 0 und b − 1 zuordnet. 

Example 

Basis b Zahlensystem Ziffernmenge Z 

b = 2 Binärsystem 0, 1 

b = 8 Oktalsystem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 

b = 10 Dezimalsystem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 

b = 16 Hexadezimalsystem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C,D,E,F 

Reihenfolge der Ziffern gemäß wie sie auf die jeweiligen Zahlen abgebildet werden. 

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Question Time 




Festkommadarstellung ohne Vorzeichen 

Definition (Nichtnegative Festkommazahl) 

Gegeben sei ein Zahlensystem S := (b, Z, δ) sowie n, k ∈ N . Eine nichtnegative 

Festkommazahl d mit n Vor- und k Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern aus 

Z, deren Länge n + k beträgt. Der Wert 〈d〉 von 

d := dndn−1 . . . d1d0 

 

Vorkommastellen 

mit di ∈ Z (−k ≤ i ≤ n) beträgt 

〈d〉 := 

n 

i=−k 

δ(di ) · b i . 

d−1 . . . d−k 

 

Nachkommastellen 

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Question Time 




Festkommadarstellung ohne Vorzeichen 

Definition (Nichtnegative Festkommazahl) 

Gegeben sei ein Zahlensystem S := (b, Z, δ) sowie n, k ∈ N . Eine nichtnegative 

Festkommazahl d mit n Vor- und k Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern aus 

Z, deren Länge n + k beträgt. Der Wert 〈d〉 von 

d := dndn−1 . . . d1d0 

 

Vorkommastellen 

mit di ∈ Z (−k ≤ i ≤ n) beträgt 

〈d〉 := 

n 

i=−k 

δ(di ) · b i . 

d−1 . . . d−k 

 

Nachkommastellen 

Ist die Basis des benutzten Stellenwertsystems nicht unmittelbar aus dem Kontext 

ersichtlich, versieht man die Ziffernfolge mit der Basis als Index. 

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Example 




Question Time 




Wir betrachten die Festkommazahl 0110, die je nach Basis b des Stellenwertsystems, 

bezüglich dessen sie interpretiert wird, unterschiedliche Werte darstellt. Dabei sind in 

diesem Beispiel sämtliche Ziffern der Zahl Vorkommastellen, es gilt also n = 3 und 

k = 0. 

Basis 2 8 10 

Festkommazahl 01102 01108 011010 

Dezimalwert 610 7210 11010 

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Question Time 

Zahlen sind zum Rechnen da! 




Wie kann man in den verschiedenen Stellenwertsystemen rechnen? 

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Question Time 

Zahlen sind zum Rechnen da! 




Wie kann man in den verschiedenen Stellenwertsystemen rechnen? 

Mögliche Realisierungen arithmetischer Operationen: 

[später mehr...] 

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Question Time 





Definition (Darstellung durch Betrag und Vorzeichen) 

Gegeben sei eine Festkommazahl 

d := dndn−1 . . . d0d−1 . . . d−k 

mit n + 1 Vor- und k Nachkommastellen (k, n ≥ 0). 

Interpretiert man d als Darstellung durch Betrag und Vorzeichen, so wird dies durch 

die Bezeichnung [d]BV gekennzeichnet. Die Bitstelle dn repräsentiert das Vorzeichen, 

und durch die Stellen dn−1 . . . d0d−1 . . . d−k wird der Betrag von d dargestellt. Der 

Dezimalwert [d]BV ergibt sich somit zu 

[dndn−1 . . . d0d−1 . . . d−k]BV := (−1) dn · 

n−1 

i=−k 

di · 2 i . 

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Question Time 





Example (n = 2 und k = 0) 

d 000 001 010 011 100 101 110 111 

[d]BV 0 1 2 3 0 −1 −2 −3 

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Question Time 





Eigenschaften der Darstellung durch Betrag und Vorzeichen 

1 Symmetrischer Zahlenbereich: [−(2 n − 2 −k ), 2 n − 2 −k ] 

2 Keine kanonische Darstellung der Zahlen aus dem Zahlenbereich! 

3 Addition und Subtraktion sind recht kompliziert in dieser Darstellung! 

[als Übung...] 

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Question Time 


Definition 


d := dndn−1 . . . d0d−1 . . . d−k 

mit n + 1 Vor- und k Nachkommastellen (k, n 0). 




Interpretiert man d als Darstellung im Einer-Komplement, so wird dies durch die 

Bezeichnung [d]1 gekennzeichnet. Die Bitstelle dn repräsentiert wieder das Vorzeichen. 

Der Dezimalwert [d]1 ergibt sich zu 

 

 

[dndn−1 . . . d0d−1 . . . d−k]1 := n−1 

di · 2 i 

− dn · 

i=−k 

 

2 n − 2 −k . 

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Question Time 





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Question Time 





Lemma (Negation von Bitfolgen im Einer-Komplement) 

Seien d und d ′ Bitfolgen. Zudem gehe d ′ durch Komplementieren aller Bits aus d 

hervor. Dann gilt: 

[d ′ ]1 = −[d]1 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]1 + [d]1 = 




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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]1 + [d]1 = 

= 

 

n−1 

i=−k 

 

di · 2 i 

− dn · 




 

n −k 

2 − 2 

+ n−1 

i=−k 

 

d ′ i · 2i 

− d ′ n · 

2 n − 2 −k 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]1 + [d]1 = 

= 

= 

 

n−1 

i=−k 

 

 

 

di · 2 i 

− dn · 

 




 

n −k 

2 − 2 

+ n−1 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 

i=−k 

2 n − 2 −k 

 

d ′ i · 2i 

− d ′ n · 

2 n − 2 −k 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]1 + [d]1 = 

= 

= 

= 

 

n−1 

i=−k 

 

 

 

di · 2 i 

− dn · 

 




 

n −k 

2 − 2 

+ n−1 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 

 

 

i=−k 

2 n − 2 −k 

n−1 

(di + (1 − di )) · 2 i 

− (dn + (1 − dn)) · 

i=−k 

 

 

d ′ i · 2i 

− d ′ n · 

2 n − 2 −k 

2 n − 2 −k 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]1 + [d]1 = 

= 

= 

= 

= 

 

n−1 

i=−k 

 

 

 

di · 2 i 

− dn · 

 




 

n −k 

2 − 2 

+ n−1 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 

 

 

i=−k 

i=−k 

2 n − 2 −k 

n−1 

(di + (1 − di )) · 2 i 

− (dn + (1 − dn)) · 

 

n−1 

2 i − (2 n − 2 −k ) 

i=−k 

 

 

d ′ i · 2i 

− d ′ n · 

2 n − 2 −k 

2 n − 2 −k 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]1 + [d]1 = 

= 

= 

= 

= 

 

n−1 

i=−k 

 

 

 

di · 2 i 

− dn · 

 




 

n −k 

2 − 2 

+ n−1 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 

 

 

i=−k 

i=−k 

2 n − 2 −k 

n−1 

(di + (1 − di )) · 2 i 

− (dn + (1 − dn)) · 

 

n−1 

2 i − (2 n − 2 −k ) 

i=−k 

= (2 n − 2 −k ) − (2 n − 2 −k ) 

= 0 

 

 

d ′ i · 2i 

− d ′ n · 

2 n − 2 −k 

2 n − 2 −k 

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Question Time 


Eigenschaften der Einer-Komplement-Darstellung 




1 Symmetrischer Zahlenbereich: [−(2 n − 2 −k ), 2 n − 2 −k ] 

2 Keine kanonische Darstellung der Zahlen aus dem Zahlenbereich! 

3 Addition und Subtraktion sind effizient realisierbar. 

[wird später explizit nachgewiesen...] 

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Question Time 


Definition 


d := dndn−1 . . . d0d−1 . . . d−k 

mit n + 1 Vor- und k Nachkommastellen (k, n 0). 




Interpretiert man d als Darstellung im Zweier-Komplement, so wird dies durch die 

Bezeichnung [d]2 gekennzeichnet. Die Bitstelle dn repräsentiert wieder das Vorzeichen. 

Der Dezimalwert [d]2 ergibt sich zu 

 

 

[dndn−1 . . . d0d−1 . . . d−k]2 := n−1 

di · 2 i 

− dn · 2 n . 

i=−k 

 

50 / 178




Question Time 





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Question Time 





Lemma (Negation von Bitfolgen im Einer-Komplement) 

Seien d und d ′ Bitfolgen. Zudem gehe d ′ durch Komplementieren aller Bits aus d 

hervor. Dann gilt: 

[d ′ ]2 + 2 −k = −[d]2 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]2 + [d]2 = 




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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]2 + [d]2 = 

= 

 

n−1 

 

 

 




di · 2 

i=−k 

i 

− dn · 2 n + n−1 

d 

i=−k 

′ i · 2i 

− d ′ n · 2 n 

 

54 / 178




Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]2 + [d]2 = 

= 

= 

 

n−1 

 

 

 




di · 2 

i=−k 

i 

− dn · 2 n + n−1 

d 

i=−k 

′ i · 2i 

− d ′ n · 2 n 

 

 

 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 2n 

 

55 / 178




Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]2 + [d]2 = 

= 

= 

= 

 

n−1 

 

 

 




di · 2 

i=−k 

i 

− dn · 2 n + n−1 

d 

i=−k 

′ i · 2i 

− d ′ n · 2 n 

 

 

 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 2n 

 

n−1 

2 i − 2 n 

i=−k 

 

56 / 178




Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]2 + [d]2 = 

= 

= 

= 

 

n−1 

 

 

 




di · 2 

i=−k 

i 

− dn · 2 n + n−1 

d 

i=−k 

′ i · 2i 

− d ′ n · 2 n 

 

 

 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 2n 

 

n−1 

2 i − 2 n 

i=−k 

= (2 n − 2 −k ) − 2 n 

= −2 −k 

 

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Question Time 


Beweis: 

[d ′ ]2 + [d]2 = 

= 

= 

= 

 

n−1 

 

 

 




di · 2 

i=−k 

i 

− dn · 2 n + n−1 

d 

i=−k 

′ i · 2i 

− d ′ n · 2 n 

 

 

 

n−1 

(di + d 

i=−k 

′ i ) · 2i 

− (dn + d ′ n ) · 2n 

 

n−1 

2 i − 2 n 

i=−k 

= (2 n − 2 −k ) − 2 n 

= −2 −k 

=⇒ [d ′ ]2 + 2 −k = −[d]2 

 

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Question Time 


Eigenschaften der Zweier-Komplement-Darstellung 

1 Asymmetrischer Zahlenbereich: [−2 n , 2 n − 2 −k ] 




2 Kanonische Darstellung der Zahlen aus dem Zahlenbereich! 

3 Addition und Subtraktion sind effizient realisierbar. 

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Question Time 




Addition in der Zweier-Komplement-Darstellung 

Die binäre Addition kann bei positiven Zahlen analog zur Schulmethode erfolgen! 

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Question Time 






Ü 

S 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

61 / 178




Question Time 






0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

Ü 0 

S 1 

62 / 178




Question Time 






0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

Ü 1 0 

S 0 1 

63 / 178




Question Time 






0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

Ü 1 1 0 

S 1 0 1 

64 / 178




Question Time 






0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

Ü 0 1 1 0 

S 1 1 0 1 

65 / 178




Question Time 






0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

Ü 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 

66 / 178




Question Time 






0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

Ü 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 

S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 

In der Tat, es gilt 7+6=13. 

67 / 178




Question Time 





Die Schulmethode funktioniert bei Verwendung der Zweier-Komplement 

auch wenn ein Operand oder beide Operanden negativ sind ! 

68 / 178




Question Time 







Ü 

S 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

69 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 0 

S 1 

70 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 1 0 

S 0 1 

71 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 1 1 0 

S 0 0 1 

72 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 1 1 1 0 

S 0 0 0 1 

73 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 

S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 

74 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 

S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 

In der Tat, es gilt 7+(-6)=1. 

75 / 178




Question Time 







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 

Ü 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 

S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 

In der Tat, es gilt 7+(-6)=1. 

Ist das immer so oder nur in diesem Beispiel? 

76 / 178




Question Time 





Definition (Formale Summe) 

Die formale Summe der Bitvektoren a = (an, an−1 . . . , a0, a−1, . . . , a−k) und 

b = (bn, bn−1, . . . , b0, b−1, . . . , b−k) ist gegeben durch den Bitvektor 

s = (sn, sn−1, . . . , s0, s−1, . . . , b−k), der durch 

mit 

si = (ai + bi + ci−1) mod 2 

ci = 

definiert ist. 

 

 

 

0 falls i = −(k + 1) 

(ai + bi + ci−1) div 2 falls i ≥ −k. 

77 / 178




Question Time 





Theorem (Addition im Zweier-Komplement) 

Für alle Bitvektoren a = (an, an−1 . . . , a0, a−1, . . . , a−k) und 

b = (bn, bn−1, . . . , b0, b−1, . . . , b−k) gilt: 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 

78 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 

Mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen der Operanden. 

79 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 


Fall an = bn = 0 

Zeige (beispielsweise durch Induktion) 

[a]2 + [b]2 = [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n 

80 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




Dann gilt 

[a]2 + [b]2 = [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n 

[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 0 

81 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




Dann gilt 

[a]2 + [b]2 = [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n 

[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 0 ⇐⇒ 0 ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 

82 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 



83 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 



Aus dem ersten Fall und der Definition des Zweier-Kompplements folgt 

[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n+1 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n+1 

84 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n+1 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n+1 

Dann gilt wegen sn = cn−1 und 2 n − 2 n+1 = −2 n 

[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 1 

85 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n+1 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n+1 

Dann gilt wegen sn = cn−1 und 2 n − 2 n+1 = −2 n 

[a]2 + [b]2 = [s]2 ⇐⇒ cn−1 = 1 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 < 0 

86 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 


Fall an + bn = 1 

87 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n 

88 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 − (1 − cn−1) · 2 n 

89 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 − (1 − cn−1) · 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 − sn · 2 n 

90 / 178




Question Time 








Beweisidee 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ −2 n ≤ [a]2 + [b]2 ≤ 2 n − 2 −k 




[a]2 + [b]2 = [0, an−1, . . . , a−k]2 + [0, bn−1, . . . , b−k]2 − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 + cn−1 · 2 n − 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 − (1 − cn−1) · 2 n 

= [0, sn−1, . . . , s−k]2 − sn · 2 n 

= [s]2 

91 / 178




Question Time 




Multiplikation in der Zweier-Komplement-Darstellung 

Die binäre Multiplikation erfolgt bei positiven Zahlen wie in der Schulmethode! 

92 / 178




Question Time 






x 0 0 1 1 

y 0 1 1 1 

0 0 1 1 

93 / 178




Question Time 






x 0 0 1 1 

y 0 1 1 1 

x · y0 0 0 1 1 

94 / 178




Question Time 






x 0 0 1 1 

y 0 1 1 1 

x · y0 0 0 1 1 

shift 0 0 0 1 1 

x · y1 0 0 1 1 

add 0 1 0 0 1 

95 / 178




Question Time 






x 0 0 1 1 

y 0 1 1 1 

x · y0 0 0 1 1 

shift 0 0 0 1 1 

x · y1 0 0 1 1 

add 0 1 0 0 1 

shift 0 0 1 0 0 1 

x · y2 0 0 1 1 

add 0 1 0 1 0 1 

96 / 178




Question Time 






x 0 0 1 1 

y 0 1 1 1 

x · y0 0 0 1 1 

shift 0 0 0 1 1 

x · y1 0 0 1 1 

add 0 1 0 0 1 

shift 0 0 1 0 0 1 

x · y2 0 0 1 1 

add 0 1 0 1 0 1 

shift 0 0 1 0 1 0 1 

x · y3 0 0 0 0 

add 0 0 1 0 1 0 1 

97 / 178




Question Time 






In der Tat, es gilt 3 · 7 = 21. 

x 0 0 1 1 

y 0 1 1 1 

x · y0 0 0 1 1 

shift 0 0 0 1 1 

x · y1 0 0 1 1 

add 0 1 0 0 1 

shift 0 0 1 0 0 1 

x · y2 0 0 1 1 

add 0 1 0 1 0 1 

shift 0 0 1 0 1 0 1 

x · y3 0 0 0 0 

add 0 0 1 0 1 0 1 

98 / 178




Question Time 





Blöcke von Nullen bzw. Blöcke von Einsen können ”übersprungen” werden! 

99 / 178




Question Time 






Enthält ein Multiplikator y einen Nullblock der Länge k, so kann die 

Multiplikation durch einen arithmetischen Shift des Partialproduktes nach rechts 

um k Stellen beschleunigt werden. Die k Additionen mit Null entfallen. 

100 / 178




Question Time 









Enthält der Multiplikator y einen Block mit Einser von Stelle u bis Stelle v mit 

u < v, d. h. 

...011...110... 

so können die zum Einsblock gehörigen v − u + 1 Additionen der Multiplikation 

nach Schulmethode 

durch eine Addition an der Stelle v + 1 und eine Subtraktion an der Stelle u 

ersetzt werden. 

101 / 178




Question Time 









Enthält der Multiplikator y einen Block mit Einser von Stelle u bis Stelle v mit 

u < v, d. h. 

...011...110... 

so können die zum Einsblock gehörigen v − u + 1 Additionen der Multiplikation 

nach Schulmethode wegen 

[...011...110...]2 = 

v 

i=u 

2 i = 

v 

i=0 

 

2 i u−1 

− 2 j = 2 v+1 − 2 u 

durch eine Addition an der Stelle v + 1 und eine Subtraktion an der Stelle u 

ersetzt werden. 

j=0 

102 / 178




Question Time 





Arithmetische Operationen sind also nur an 0/1 bzw. 1/0 Übergängen im 

Multiplikator notwendig! 

103 / 178




Question Time 







Rechenvorschrift 

yi yi−1 Operation 

mit y −(k+1) = 0. 

104 / 178




Question Time 









0 0 shift 

1 1 shift 

mit y −(k+1) = 0. 

105 / 178




Question Time 









0 0 shift 

0 1 add and shift 

1 1 shift 

mit y −(k+1) = 0. 

106 / 178




Question Time 









0 0 shift 

0 1 add and shift 

1 0 sub and shift 

1 1 shift 

mit y −(k+1) = 0. 

107 / 178




Question Time 





Beispiel 

x y3 y2 y1 y0 Operation Zwischenergebnis 

0010 0 1 1 0 0000 

108 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ 

109 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

110 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ 

↑ shift 0000 0 

111 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

112 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

113 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

114 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

↑ shift 1111 100 

115 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

↑ shift 1111 100 

116 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

↑ shift 1111 100 

↑ add 0010 0001 100 

117 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

↑ shift 1111 100 

↑ add 0010 0001 100 

↑ 

118 / 178




Question Time 





Beispiel 


0010 0 1 1 0 0000 

↑ shift 0000 0 

↑ sub 0010 1110 0 

↑ shift 1111 00 

↑ shift 1111 100 

↑ add 0010 0001 100 

↑ shift 0000 1100 

119 / 178




Question Time 





Theorem (Satz von Booth) 

Das Verfahren von Booth ist korrekt, auch wenn einer oder zwei der Operanden 

negative Zahlen sind. 

120 / 178




Question Time 








Beweis: Wir betrachten im Verfahren von Booth an jeder Stelle die Differenz yi−1 − yi 

und berechnen das Multiplikationsergebnis durch die Summe 

p = 

 

n 

i=−k 

 

(yi−1 − yi ) · 2 i 

· [x]2 

121 / 178




Question Time 










p = 

= 

 

n 

 

i=−k 

 

(yi−1 − yi ) · 2 i 

· [x]2 

−yn · 2 n + y−k−1 · 2 −k + 

n−1 

i=−k 

 

yi · (−2 i + 2 i+1 ) · [x]2 

122 / 178




Question Time 










p = 

= 

= 

 

n 

 

i=−k 

 

(yi−1 − yi ) · 2 i 

· [x]2 

−yn · 2 n + y−k−1 · 2 −k + 

 

−yn · 2 n + 

n−1 

i=−k 

 

n−1 

i=−k 

yi · 2 i 

· [x]2 

 

yi · (−2 i + 2 i+1 ) · [x]2 

123 / 178




Question Time 










p = 

= 

= 

 

n 

 

i=−k 

 

(yi−1 − yi ) · 2 i 

· [x]2 

−yn · 2 n + y−k−1 · 2 −k + 

 

−yn · 2 n + 

= [y]2 · [x]2 

n−1 

i=−k 

 

n−1 

i=−k 

yi · 2 i 

· [x]2 

 

yi · (−2 i + 2 i+1 ) · [x]2 

 

124 / 178




Question Time 




Vor- und Nachteile von Festkommadarstellungen 

Vorteile 

effizientes Rechnen möglich 

125 / 178




Question Time 




Vor- und Nachteile von Festkommadarstellungen 

Vorteile 

Nachteile 

effizientes Rechnen möglich 

keine ”ganz große” und ”ganz kleine” Zahlen darstellbar 

mangelnde Genauigkeit 

126 / 178

Definition (Gleitkommazahl) 




Question Time 




Es seien n, i ∈ N . Eine Gleitkommazahl (engl.: Floating Point Number) d ist eine 

n-stellige Bitfolge, die — als Dezimalzahl [d] interpretiert — das folgende Format 

besitzt: 

Dabei bildet 

[d] := (−1) S · M · 2 E 

S das Vorzeichen, 

M die Mantisse und 

E den Exponenten (inkl. dessen Vorzeichen) 

der dargestellten Zahl [d]. 

127 / 178

Definition (Gleitkommazahl) 




Question Time 




Es seien n, i ∈ N . Eine Gleitkommazahl (engl.: Floating Point Number) d ist eine 

n-stellige Bitfolge, die — als Dezimalzahl [d] interpretiert — das folgende Format 

besitzt: 

Dabei bildet 

[d] := (−1) S · M · 2 E 

S das Vorzeichen, 

M die Mantisse und 

E den Exponenten (inkl. dessen Vorzeichen) 

der dargestellten Zahl [d]. 

Vorzeichen, Exponent und Mantisse bestehen jeweils aus Teil-(Bit-)folgen von d, die 

zusammengesetzt gerade d ergeben. Das Vorzeichen wird durch ein einzelnes Bit 

repräsentiert, der Exponent durch eine Folge von i Bits. Die verbleibenden n − i − 1 

Bits dienen zur Repräsentation der Mantisse, sodass sich folgende Aufteilung ergibt: 

dn−1 dn−2 . . . d n−(i+1) d n−(i+2) . . . d1d0 

S i Bits Exponent E n − i − 1 Bits (vorzeichenlose) Mantisse M 

128 / 178

Verteilung der Zahlen 




Question Time 




In Festkommadarstellungen ist die Dichte der darstellbaren Zahlen in jedem 

Teilintervall von [−2 n , 2 n − 2 −k ] gleich hoch! 

Bei Gleitkommadarstellungen ist die Anzahl der darstellbaren Zahlen in jedem 

Teilintervall [2 i , 2 i+1 ] (bzw. [−2 i+1 , −2 i ]) unabhängig von i. Die Dichte erhöht sich 

demnach exponentiell je näher das Teilintervall an der 0 liegt. 

129 / 178




Question Time 




Zusammensetzung der Gleitkommazahlen nach IEEE 754 

einfache Genauigkeit: 

31 30 . . . 23 22 . . . 1 0 

S 8 Bits Exponent E 23 Bits vorzeichenlose Mantisse M 

doppelte Genauigkeit: 

63 62 . . . 52 51 . . . 1 0 

S 11 Bits Exponent E 52 Bits vorzeichenlose Mantisse M 

130 / 178




Question Time 

normalisierte Gleitkommazahlen 




Die Gleitkommadarstellung, wie sie bis jetzt bei uns eingeführt worden ist, ist nicht 

kanonisch, d. h. es gibt für eine Zahl mehrere Darstellungen, auch wenn man sich 

entweder auf einfache Genauigkeit oder doppelte Genauigkeit beschränkt, z. B. 

[0 00000001 00000000000000000000010]s 

= (−1) 0 · 2 · 2 1 

= 4 

131 / 178




Question Time 








[0 00000001 00000000000000000000010]s 

= (−1) 0 · 2 · 2 1 

= 4 

= (−1) 0 · 1 · 2 2 

= [0 00000010 0000000000000000000001]s 

132 / 178




Question Time 








[0 00000001 00000000000000000000010]s 

= (−1) 0 · 2 · 2 1 

= 4 

= (−1) 0 · 1 · 2 2 

= [0 00000010 0000000000000000000001]s 

Eindeutigkeit erhält man, indem man die Menge der erlaubten Darstellungen 

einschränkt −→ normalisierte Gleitkommazahlen 

133 / 178




Question Time 




normalisierte Gleitkommazahlen einfacher Genauigkeit 

Um Kanonizität zu erreichen, betrachtet man normalisierte Gleitkommazahlen, bei 

denen der Wert der Mantisse jeweils in dem Intervall [1, 2) liegt, d. h. die Mantisse hat 

als Wert 1, ... 

134 / 178




Question Time 








Hieraus folgt Eindeutigkeit der Darstellung. Zudem braucht die 1 vor dem Komma 

nicht gespeichert zu werden, da ja jede Darstellung an dieser Position eine 1 stehen 

hat. 

135 / 178




Question Time 










hat. 

Definition (normalisierte Gleitkommazahl) 

Es sei n := 32 und d := se7 . . . e0m22 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n. Zudem sei 

e7 . . . e0 ∈ {00000000, 11111111}. Wird d als normalisierte Gleitkommazahl nach 

IEEE 754 interpretiert, so repräsentiert d die Dezimalzahl [d]s mit 

[d]s := (−1) s 

−23 

· 1 + m23+i · 2 i 

7i=0 e i 2 

· 2 

i 

−BIAS 

. 

Es gilt hierbei BIAS := 127 

i=−1 

136 / 178




Question Time 




normalisierte Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit 






hat. 


Es sei n := 64 und d := se10 . . . e0m51 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n. Zudem sei 

e10 . . . e0 ∈ {00000000000, 11111111111}. Wird d als normalisierte Gleitkommazahl 

nach IEEE 754 interpretiert, so repräsentiert d die Dezimalzahl [d]d mit 

[d]d := (−1) s 

−52 

· 1 + m52+i · 2 i 

10 i=0 · 2 

ei 2 i 

−BIAS 

. 


i=−1 

137 / 178




Question Time 


 

[d]s := (−1) s −23 

· 1 + m23+i · 2 i 

· 


Example 

i=−1 

Gegeben sei die normalisierte Gleitkommazahl a1: 

a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000 

 




 

7i=0 ei 2 

2 

i 

−BIAS 

. 

138 / 178




Question Time 


 

[d]s := (−1) s −23 

· 1 + m23+i · 2 i 

· 


Example 

i=−1 


a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000 

 




 

7i=0 ei 2 

2 

i 

−BIAS 

. 

Der dezimale Wert [a1]s von a1 lässt sich gemäß obiger Definition wie folgt ermitteln. 

[a1]s := (−1) 1 · (1 + (2 −1 + 2 −2 )) · 2 27 +2 0 −127 

139 / 178




Question Time 


 

[d]s := (−1) s −23 

· 1 + m23+i · 2 i 

· 


Example 

i=−1 


a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000 

 




 

7i=0 ei 2 

2 

i 

−BIAS 

. 


[a1]s := (−1) 1 · (1 + (2 −1 + 2 −2 )) · 2 27 +2 0 −127 

= (−1) · (1 + 0, 5 + 0, 25) · 2 128+1−127 

140 / 178




Question Time 


 

[d]s := (−1) s −23 

· 1 + m23+i · 2 i 

· 


Example 

i=−1 


a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000 

 




 

7i=0 ei 2 

2 

i 

−BIAS 

. 


[a1]s := (−1) 1 · (1 + (2 −1 + 2 −2 )) · 2 27 +2 0 −127 

= (−1) · (1 + 0, 5 + 0, 25) · 2 128+1−127 

= −1, 75 · 2 2 

141 / 178




Question Time 


 

[d]s := (−1) s −23 

· 1 + m23+i · 2 i 

· 


Example 

i=−1 


a1 := 1 1000 0001 1100 0000 0000 0000 0000 000 

 




 

7i=0 ei 2 

2 

i 

−BIAS 

. 


[a1]s := (−1) 1 · (1 + (2 −1 + 2 −2 )) · 2 27 +2 0 −127 

= (−1) · (1 + 0, 5 + 0, 25) · 2 128+1−127 

= −1, 75 · 2 2 

= −7 

142 / 178

Example 




Question Time 




Gesucht ist die 32-Bit Gleitkommazahl a2 der Dezimalzahl mit [a2]s = −0, 625: 

−0, 625 ist negativ ⇒ Vorzeichenbit = 1 

Umwandlung in eine Binärzahl: −0, 62510 = −0, 1012 

Normalisierung: −0, 1012 = −1, 012 · 2 −1 

Bitfolge zur Repräsentation der Mantisse M = 0100 0000 0000 0000 0000 000. 

Berechnung des Exponenten : 

2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 

Bitfolge zur Repräsentation des Exponenten E = 0111 1110 

Gleitkommadarstellung: 

a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

143 / 178

Example 




Question Time 










2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 



a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

144 / 178

Example 




Question Time 










2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 



a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

145 / 178

Example 




Question Time 










2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 



a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

146 / 178

Example 




Question Time 










2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 



a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

147 / 178

Example 




Question Time 










2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 



a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

148 / 178

Example 




Question Time 










2 −1 = 2 126−127 

= 2 26 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2 1 −127 



a2 = 1 0111 1110 0100 0000 0000 0000 0000 000 

149 / 178




Question Time 

denormalisierte Gleitkommazahlen 

Problem 




150 / 178




Question Time 


Problem 




Die Null kann nicht als normalisierte Gleitkommazahl dargestellt werden!!! 

151 / 178




Question Time 


Problem 

Definition 





=⇒Einführung von denormalisierten Zahlen 

Es sei n := 32 und d := se7 . . . e0m22 . . . m0 eine Bitfolge der Länge n mit 

e7 . . . e0 := 00000000. Dann stellt d eine denormalisierte Gleitkommazahl nach dem 

Standard IEEE 754 dar und repräsentiert die Dezimalzahl [d]s mit 

 

 

[d]s := (−1) s · −23 

m23+i · 2 i 

· 

i=−1 

 

 

2 −126 

Hierdurch wird der ”Bereich um die Null” äquidistant partitioniert! 

 

. 

152 / 178




Question Time 


Problem 

Definition 







e7 . . . e0 := 00000000. Dann stellt d eine denormalisierte Gleitkommazahl nach dem 

Standard IEEE 754 dar und repräsentiert die Dezimalzahl [d]s mit 

 

 

[d]s := (−1) s · −23 

m23+i · 2 i 

· 

i=−1 

 

 

2 −126 


Die Darstellung der 0 ist nicht eindeutig! 

 

. 

153 / 178




Question Time 


Problem 

Definition 







e10 . . . e0 := 00000000000. Dann stellt d eine denormalisierte Gleitkommazahl nach 

dem Standard IEEE 754 dar und repräsentiert die Dezimalzahl [d]d mit 

 

 

[d]d := (−1) s · −52 

m52+i · 2 i 

· 

i=−1 

 

 

2 −1022 


Die Darstellung der 0 ist nicht eindeutig! 

 

. 

154 / 178




Question Time 

Darstellung von +∞ und −∞ 

Definition 

Es seien 




d := 0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 

e := 1 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 

Dann stellt nach dem Standard IEEE 754 d den Wert +∞ und e den Wert −∞ dar. 

155 / 178




Question Time 

IEEE 754 im Überblick 




Genauigkeit 

einfach doppelt 

#Vorzeichen-Bits 1 1 

#Exponenten-Bits 8 11 

#Mantissen-Bits 23 52 

#Bitstellen insgesamt 32 64 

156 / 178




Question Time 





Genauigkeit 






BIAS 127 1023 

Exponentenbereich [−126, 127] ∩ Z [−1022, 1023] ∩ Z 

157 / 178




Question Time 





Genauigkeit 






BIAS 127 1023 


normalisierte Zahl mit max. Betrag (1 − 2 −24 ) · 2 128 (1 − 2 −53 ) · 2 1024 

normalisierte Zahl mit min. Betrag 2 −126 2 −1022 

158 / 178




Question Time 





Genauigkeit 






BIAS 127 1023 


normalisierte Zahl mit max. Betrag (1 − 2 −24 ) · 2 128 (1 − 2 −53 ) · 2 1024 

normalisierte Zahl mit min. Betrag 2 −126 2 −1022 

denormalisierte Zahl mit max. Betrag (1 − 2 −23 ) · 2 −126 (1 − 2 −52 ) · 2 −1022 

denormalisierte Zahl mit min. Betrag 2 −149 2 −1074 

159 / 178




Question Time 

Addition von Gleitkommazahlen 




Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1]s + [d2]s mit 

[d1]s := ± (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := ± (1 + M2) · 2 E2−127 . 

160 / 178




Question Time 






[d1]s := ± (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := ± (1 + M2) · 2 E2−127 . 

Fallunterscheidung 

Falls E1 = E2: 

Falls E1 > E2: 

161 / 178




Question Time 






[d1]s := ± (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := ± (1 + M2) · 2 E2−127 . 



berechne ± (1 + M1) + ± (1 + M2) 

normalisiere die Darstellung (± (1 + M1) + ± (1 + M2)) · 2 E1−127 


162 / 178




Question Time 






[d1]s := ± (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := ± (1 + M2) · 2 E2−127 . 



berechne ± (1 + M1) + ± (1 + M2) 

normalisiere die Darstellung (± (1 + M1) + ± (1 + M2)) · 2 E1−127 


Angleichung der Exponente — der kleinere wird angepasst 

 

[d2]s = ± (1 + M2) · 2 E2−E1 

 

 

neue Mantisse 

Addition der Mantissen 

Normalisierung des Ergebnisses 

·2 E1−127 

163 / 178




Question Time 


Example 

Es sei [d1]s = 1, 101 · 2 −3 und [d2]s = 1, 011 · 2 −4 . 

Der Exponent von d2 ist anzupassen 

[d2]s := 1, 011 · 2 −4 

= (1, 011 · 2 −1 ) · 2 −3 

= 0, 1011 · 2 −3 

Die Mantissen sind aufzuaddieren: 

[sum]s = (1, 101 + 0, 1011) · 2 −3 

= 10, 0101 · 2 −3 

Das Ergebnis ist zu normalisieren 

[sum]s = 10, 0101 · 2 −3 

= (1, 00101 · 2 1 ) · 2 −3 

= 1, 00101 · (2 1 · 2 −3 ) 

= 1, 00101 · 2 −2 




164 / 178




Question Time 


Example 



[d2]s := 1, 011 · 2 −4 

= (1, 011 · 2 −1 ) · 2 −3 

= 0, 1011 · 2 −3 


[sum]s = (1, 101 + 0, 1011) · 2 −3 

= 10, 0101 · 2 −3 


[sum]s = 10, 0101 · 2 −3 

= (1, 00101 · 2 1 ) · 2 −3 

= 1, 00101 · (2 1 · 2 −3 ) 

= 1, 00101 · 2 −2 




165 / 178




Question Time 


Example 



[d2]s := 1, 011 · 2 −4 

= (1, 011 · 2 −1 ) · 2 −3 

= 0, 1011 · 2 −3 


[sum]s = (1, 101 + 0, 1011) · 2 −3 

= 10, 0101 · 2 −3 


[sum]s = 10, 0101 · 2 −3 

= (1, 00101 · 2 1 ) · 2 −3 

= 1, 00101 · (2 1 · 2 −3 ) 

= 1, 00101 · 2 −2 




166 / 178




Question Time 


Example 



[d2]s := 1, 011 · 2 −4 

= (1, 011 · 2 −1 ) · 2 −3 

= 0, 1011 · 2 −3 


[sum]s = (1, 101 + 0, 1011) · 2 −3 

= 10, 0101 · 2 −3 


[sum]s = 10, 0101 · 2 −3 

= (1, 00101 · 2 1 ) · 2 −3 

= 1, 00101 · (2 1 · 2 −3 ) 

= 1, 00101 · 2 −2 




167 / 178




Question Time 




Multiplikation von Gleitkommazahlen 

Berechne die normalisierte Gleitkommadarstellung von [d1]s · [d2]s mit 

[d1]s := (−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := (−1) S2 · (1 + M2) · 2 E2−127 . 

168 / 178




Question Time 






Es gilt: 

[d1]s := (−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := (−1) S2 · (1 + M2) · 2 E2−127 . 

[p]s = [d1]s · [d2]s 

169 / 178




Question Time 






Es gilt: 

[d1]s := (−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := (−1) S2 · (1 + M2) · 2 E2−127 . 

[p]s = [d1]s · [d2]s 

= 

(−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 · 

 

S2 E2−127 

(−1) · (1 + M2) · 2 

170 / 178




Question Time 






Es gilt: 

[d1]s := (−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := (−1) S2 · (1 + M2) · 2 E2−127 . 

[p]s = [d1]s · [d2]s 

= 

(−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 · 

 

S2 E2−127 

(−1) · (1 + M2) · 2 

= (−1) S1⊕S2 · ((1 + M1) · (1 + M2)) · 2 (E1−127)+(E2−127) . 

171 / 178




Question Time 






Es gilt: 

[d1]s := (−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 , 

[d2]s := (−1) S2 · (1 + M2) · 2 E2−127 . 

[p]s = [d1]s · [d2]s 

= 

(−1) S1 · (1 + M1) · 2 E1−127 · 

 

S2 E2−127 

(−1) · (1 + M2) · 2 

= (−1) S1⊕S2 · ((1 + M1) · (1 + M2)) · 2 (E1−127)+(E2−127) . 

Die drei Bestandteile der Gleitkommazahlen d1 und d2 können also, bis auf die 

abschließende Normalisierung des Ergebnisses, getrennt voneinander behandelt und 

verknüpft werden. 

172 / 178




Question Time 





Zwei Details sind also zu berücksichtigen: 

1 Das Ergebnis muss in der Regel normalisiert werden! 

2 Der Exponent ergibt sich nicht direkt aus der in der Darstellung abgespeicherten 

Bitfolge, sondern ergibt sich erst durch Subtraktion des BIAS von der 

dargestellten Binärzahl! 

173 / 178




Question Time 










174 / 178




Question Time 










175 / 178




Question Time 










Gesucht ist also die binäre Darstellung τ von 

(E1 − BIAS) + (E2 − BIAS) + BIAS: 

176 / 178




Question Time 










Gesucht ist also die binäre Darstellung τ von 

(E1 − BIAS) + (E2 − BIAS) + BIAS: 

(E1 − BIAS) + (E2 − BIAS) + BIAS 

= 

= 

7 

7 

i=0 

i=0 

ed1,i · 2 i 

ed1,i · 2 i 

 

 

+ 

− BIAS 

7 

i=0 

 

+ 

ed2,i · 2 i 

7 

 

i=0 

ed2,i · 2 i 

− BIAS 

= [ed1,7 . . . ed1,0] + [ed2,7 . . . ed2,0] − BIAS. 

 

− BIAS 

 

+ BIAS 

177 / 178




Question Time 

”Stad Letzebuerg” 

[http://www.ludgerusschule.de/] 

Wehrmauern erinnern an die Festung Luxemburgs. Luxemburg war eine der berühmtesten 

und am schwersten einnehmbaren Festungen Westeuropas und wurde zu Recht 

Gibraltar des Nordens genannt. In der französischen Zeit (1684-1697) wurde unter dem 

Hauptkommissar der Festungsanlagen und Festungsbaumeister Ludwigs XIV., Sébastien 

le Prestre de Vauban, die Feste Luxemburg besonders stark ausgebaut. Im Anschluss an 

den Neutralitätsvertrag vom 11. Mai 1867 musste Luxemburg seine Festung schleifen. 

178 / 178

Darstellung von Zeichen und Zahlen - Lehrstuhl Technische ...

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