Institut für Informatik - Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Institut für Informatik
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Prof. Dr. L. Staiger
Dr. R. Winter
Dipl.-Ing. M. Kogler
D–06120 Halle (Saale)
Von-Seckendorff-Platz 1
Tel. 0345/55 24714
Tel. 0345/55 24738
Tel. 0345/55 24779
11. Übung zum Modul ” Automaten und Berechenbarkeit“
Sommersemester 2010 15.6.2010
Abgabe: spätestens am Dienstag, dem 22.6.2010 vor Beginn der Vorlesung
Hinweis zu den bewerteten Aufgaben:
Alle Aussagen (in sämtlichen Lösungen) sind zu begründen bzw. zu beweisen.
Aufgabe 11.1: (5 Punkte)
Beweisen Sie:
Eine unendliche Sprache L ist genau dann Turing-entscheidbar, wenn ihre Elemente in quasilexikografischer
Ordnung aufgezählt werden können.
Aufgabe 11.2: (3+1 Punkte)
(a) Beweisen Sie, dass die Vereinigung einer endlichen Anzahl Turing-aufzählbarer Sprachen
stets Turing-aufzählbar ist.
(b) Begründen Sie, warum die Vereinigung einer unendlichen Anzahl Turing-aufzählbarer
Sprachen nicht in jedem Fall Turing-aufzählbar ist. Dabei dürfen Sie voraussetzen, dass es
Sprachen gibt, die nicht Turing-aufzählbar sind.
Aufgabe 11.3: (2+3 Punkte)
Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen primitiv-rekursiv sind:
(a) mult(n,m) := n · m für n,m ∈ N
(b) pot(k,n) := k n für n,k ∈ N mit k > 0
Aufgabe 11.4: (4+2 Punkte)
Beweisen Sie:
(a) Sind f1,... ,fn+1,α1,... ,αn ∈ Fm ∩ PR und sind die Mengen der Nullstellen der Funktionen
α1,...,αn paarweise disjunkt, so ist auch die Funktion
⎧
f1(x1,x2, · · · ,xm), falls α1(x1,x2, · · · ,xm) = 0,
⎪⎨
f(x1,x2, · · · ,xm) := .
⎪⎩
fn(x1,x2, · · · ,xm), falls αn(x1,x2, · · · ,xm) = 0,
fn+1(x1,x2, · · · ,xm), sonst
primitiv-rekursiv. Die Aussage in Aufgabe 11.7 darf verwendet werden.
Bitte wenden!

(b) Die Funktion f ∈ F3 mit
f(x,y,z) :=
ist primitiv-rekursiv.
Lösen Sie die aktuellen Autotool-Aufgaben!
Selbsttestaufgaben – unbewertet
x + y, falls x + y ≤ z
max(x,y), sonst
Selbsttest-Aufgabe 11.5: (0 Punkte)
Schreiben Sie je ein Turing-Programm zur Berechnung der
(a) 0-stelligen Nullfunktion o,
(b) Nachfolgerfunktion s,
(c) konstanten Funktion c m k (x1,x2,...,xm) := k (für k,m ∈ N),
(d) Projektionsfunktion I m k (x1,x2,...,xm) := xk (für k,m ∈ N, 1 ≤ k ≤ m).
Selbsttest-Aufgabe 11.6: (0 Punkte)
Geben Sie ein Programm einer Turingmaschine zur Berechnung der Funktion f : N → N mit
an.
f(x) :=
x
2
, falls x gerade
3x + 1, falls x ungerade
Selbsttest-Aufgabe 11.7: (0 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Signum-Funktion sg ∈ F mit
0, falls n = 0
sg(n) :=
1, sonst
primitiv-rekursiv ist.
Übungsblätter und weitere Informationen zur Vorlesung bzw. Übung finden Sie unter:
http://nirvana.informatik.uni-halle.de/~theo/THEOlehre/THEOaktuell.html
Email: {staiger, winter, kogler}@informatik.uni-halle.de
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