Bonusserie - Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Institut für Informatik
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Prof. Dr. L. Staiger
Dr. R. Winter
Dipl.-Ing. M. Kogler
D–06120 Halle (Saale)
Von-Seckendorff-Platz 1
Tel. 0345/55 24714
Tel. 0345/55 24738
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Bonusserie: 14. Übung zum Modul ” Automaten und Berechenbarkeit“
Sommersemester 2012 5.6.2012
Abgabe: spätestens am Donnerstag, dem 12.7.2012 vor Beginn der Vorlesung
Hinweis zu den bewerteten Aufgaben:
Alle Aussagen (in sämtlichen Lösungen) sind zu begründen bzw. zu beweisen.
Aufgabe 14.1: (2+2 Punkte)
Beweisen Sie, dass die Sprache L1 := {ww : w ∈ {0,1} ∗ } nicht regulär ist
(a) mittels Pumpinglemma für reguläre Sprachen,
(b) mithilfe der Nerode-Relation.
Aufgabe 14.2: (1+1+1 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Sprache L2 ⊆ {0,1} ∗ aller Wörter mit einer durch 3 teilbaren Anzahl Einsen regulär
ist
(a) durch Angabe eines geeigneten regulären Ausdrucks,
(b) durch Angabe eines endlichen Automaten,
(c) mithilfe der Nerode-Relation.
Aufgabe 14.3: (1+1 Punkte)
(a) Geben Sie eine kontextfreieGrammatikan, die die Lukasiewicz-Sprache ̷L über dem Alphabet {a,b}
erzeugt. Wandeln Sie diese in Chomsky-Normalform um.
(b) Untersuchen Sie, welche der folgenden Wörter aus {a,b} ∗ zu ̷L gehören und geben Sie gegebenenenfalls
einen zugehörigen arithmetischen Ausdruck in polnischer und in Infix-Notation an:
• aabaabbbbaaabbb
• aabaabbbabaabbb
• aabaabababaabbb
Aufgabe 14.4: (2 Punkte)
Man beweise:
Ist L ⊆ X ∗ eine deterministisch kontextfreie Sprache, so ist MIN(L) := {w : w ∈ L∧∀v(v ❁ w → v /∈ L)}
ebenfalls deterministisch kontextfrei.
Bitte wenden!

Aufgabe 14.5: (3 Punkte)
Eine Grammatik G heißt eindeutig, wenn es für jedes Wort w ∈ L(G) genau einen Ableitungsbaum gibt.
Kann jede eindeutige kontextfreie Grammatik, die e-frei ist und keine Kettenregeln enthält, in eine äquivalenteeindeutige
Grammatikin Chomsky-Normalformtransformiertwerden?BeweisenSie IhreBehauptung.
Aufgabe 14.6: (2+2+2 Punkte)
Konstruieren Sie aus der Grammatik G = ({S,A,B,C,D,S ′ },{a,b},S,P) mit
P = {S → aS ′ |aB|a,S ′ → aS|aB|a,A → abbB|abb|e,B → abaA|b,C → Ca,D → ab}
(a) eine rechtslineare Grammatik G ′ = (N,X,S,P) mit L(G) = L(G ′ ) und
P ⊆ N ×(X ∪X ·N),
(b) einen NEA, der L(G) akzeptiert,
(c) eine linkslineare Grammatik G ′′ mit L(G) = L(G ′′ ).
Aufgabe 14.7: (2+2+2+2 Punkte)
Gegeben seien die Sprachen L1 = {a m b n c r : m,n,r ≥ 3}, L2 = {a m b n c r : m > n ≥ 3,r ≥ 3},
L3 = {a m b n c r : 3 ≤ m < n < r} und L4 = {a m b n c r : m < n < r < 3},
Sind diese Sprachen entscheidbar, regulär, endlich, kontextfrei, aufzählbar, akzeptierbar (jeweils ja oder
nein)? Beweisen Sie Ihre Behauptungen.
Aufgabe 14.8: (2+2+2 Punkte)
Gegeben seien drei Sprachen L1,L2,L3 ⊆ {a,b} ∗ mit a ∈ L1 und b ∈ L1.
Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Ist die Sprache L1 \ {a,b} aufzählbar und ist die Sprache L1 ∪{a,b} akzeptierbar, so ist L1 entscheidbar.
(b) Sind L1 aufzählbar, L2 akzeptierbar und L3 endlich, so ist L1 ∩L2 ∩L3 entscheidbar.
(c) Sind L1 kontextfrei, L2 endlich und L3 = ∅, so ist L1 ∪L2 ∪L3 kontextfrei.
Übungsblätter und weitere Informationen zur Vorlesung bzw. Übung finden Sie unter:
http://nirvana.informatik.uni-halle.de/~theo/THEOlehre/THEOaktuell.html
Email: {staiger, winter, kogler}@informatik.uni-halle.de