Grundlegende Schaltungen - Lehrstuhl Technische Informatik der ...

Addierer 

Subtrahierer 

Multiplizierer 

ALU 

Question Time 

Grundlegende Schaltungen 

[Technische Informatik — Eine Einführung] 

Univ.-Prof. Dr. Paul Molitor 

Lehrstuhl für Technische Informatik 

Institut für Informatik 

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 

29. November 2005 

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Lernziele 

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Nachdem wir uns angeschaut haben, wie allgemein kombinatorische Schaltungen zu 

Booleschen Funktionen synthetisiert werden können, wollen wir uns nun mit 

Schaltungen beschäftigen, die in jedem Datenpfad bzw. Prozessor enthalten sind: 

effiziente Schaltungen für die Addition zweier Festkommazahlen 

effiziente Schaltungen für die Subtraktion zweier Festkommazahlen 

effiziente Schaltungen für die Multiplikation zweier Festkommazahlen 

Es macht sicherlich keinen Sinn, diese Schaltungen ”jedesmal neu zu erfinden”. 

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Lernziele 

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Nachdem wir uns angeschaut haben, wie allgemein kombinatorische Schaltungen zu 

Booleschen Funktionen synthetisiert werden können, wollen wir uns nun mit 

Schaltungen beschäftigen, die in jedem Datenpfad bzw. Prozessor enthalten sind: 

effiziente Schaltungen für die Addition zweier Festkommazahlen 

effiziente Schaltungen für die Subtraktion zweier Festkommazahlen 

effiziente Schaltungen für die Multiplikation zweier Festkommazahlen 

Es macht sicherlich keinen Sinn, diese Schaltungen ”jedesmal neu zu erfinden”. 

Hier nur Zweier-Komplement-Darstellung! 

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Zur Erinnerung: 

Definition (Formale Summe) 

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Theoretische Basis 

Halb- und Volladdierer 

Carry-Ripple-Addierer 

Conditional-Sum-Addierer 

Carry-Look-Ahead-Addierer 

Die formale Summe der Bitvektoren a = (an, an−1 . . . , a0, a−1, . . . , a−k) und 

b = (bn, bn−1, . . . , b0, b−1, . . . , b−k) ist durch s = (sn, sn−1, . . . , s0, s−1, . . . , b−k) mit 

gegeben. 

si = (ai + bi + ci−1) mod 2 

0 falls i = −(k + 1) 

ci = 

(ai + bi + ci−1) div 2 falls i ≥ −k. 

Theorem (Addition im Zweier-Komplement) 

Für alle Bitvektoren a = (an, an−1 . . . , a0, a−1, . . . , a−k) und 

b = (bn, bn−1, . . . , b0, b−1, . . . , b−k) gilt: 

[a]2 + [b2] = [s]2 ⇐⇒ (an = bn oder an = bn = sn) 

”·” und ”+” bezeichnen hier die ”Multiplikation” und ”Addition” ganzer Zahlen! 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Basisbausteine für die Berechnung der formalen Summe ist der Halbaddierer und der 

Volladdierer. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Volladdierer. 

Definition (Halbaddierer) 

Einen Schaltkreis, der eine 1-Bit Addition (ohne eingehenden Übertrag) realisiert, 

nennt man Halbaddierer (engl.: half adder) (HA). 

Der HA berechnet die Funktion ha : B 2 → B 2 , die durch ha(a0, b0) := (s1, s0) mit 

2 · s1 + s0 = a0 + b0 definiert ist. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Volladdierer. 






Es gilt: 

2 · s1 + s0 

= 2 · (a0 ∧ b0) + (a0 ⊕ b0) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Volladdierer. 






Es gilt: 

2 · s1 + s0 

= 2 · (a0 ∧ b0) + (a0 ⊕ b0) 

= 2 · ((a0 + b0) div 2) + ((a0 + b0) mod 2) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Volladdierer. 






Es gilt: 

2 · s1 + s0 

= 2 · (a0 ∧ b0) + (a0 ⊕ b0) 

= 2 · ((a0 + b0) div 2) + ((a0 + b0) mod 2) 

= a0 + b0 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Volladdierer. 

Definition (Volladdierer) 

Einen Schaltkreis, der eine 1-Bit Addition mit eingehendem Übertrag realisiert, nennt 

man Volladdierer (engl.: full adder) (FA). 

Der FA berechnet die Funktion fa : B 3 → B 2 , die durch fa(a0, b0, c) := (s1, s0) mit 

2s1 + s0 = a0 + b0 + c definiert ist. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Volladdierer. 

Definition (Volladdierer) 

Einen Schaltkreis, der eine 1-Bit Addition mit eingehendem Übertrag realisiert, nennt 

man Volladdierer (engl.: full adder) (FA). 

Der FA berechnet die Funktion fa : B 3 → B 2 , die durch fa(a0, b0, c) := (s1, s0) mit 

2s1 + s0 = a0 + b0 + c definiert ist. 

Man überlegt sich, dass für 

s0 = a0 ⊕ b0 ⊕ c 

s1 = (a0 ∧ b0) ∨ (c ∧ (a0 ⊕ b0)) 

die Gleichung 

gilt. 

2 · s1 + s0 = a0 + b0 + c 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Korrektheitsbeweis zum Volladdierer 






Man überlegt sich, dass für 

s0 = a0 ⊕ b0 ⊕ c 

s1 = (a0 ∧ b0) ∨ (c ∧ (a0 ⊕ b0)) 

die Gleichung 2 · s1 + s0 = a0 + b0 + c gilt. 

a0 b0 c a0 + b0 + c s1 s0 2 · s1 2 · s1 + s0 

0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 1 1 0 1 0 1 

0 1 0 1 0 1 0 1 

0 1 1 2 1 0 2 2 

1 0 0 1 0 1 0 1 

1 0 1 2 1 0 2 2 

1 1 0 2 1 0 2 2 

1 1 1 3 1 1 2 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Kosten von Halb- und Volladdierer 

Definition (Aktive Fläche und Laufzeit einer Schaltung) 






Unter den Kosten area(C) eines allgemeinen Schaltkreises C verstehen wir im 

Folgenden die Anzahl der in dem Schaltkreis enthaltenen Bausteine aus B2. 

Die Tiefe depth(C) einer Schaltung C ist gegeben durch die Länge eines längsten 

Pfades von einem primären Eingang zu einem primären Ausgang der Schaltung. 

Example 

Es gilt area(HA) = 2, depth(HA) = 1 sowie area(FA) = 5, depth(FA) = 3. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Der Carry-Ripple-Addierer setzt die Schulmethode für die Addition 1-zu-1 um! 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Der Carry-Ripple-Addierer setzt die Schulmethode für die Addition 1-zu-1 um! 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Kosten eines n-Bit Carry-Ripple-Addierers 

Es gilt 

area(CRn) 

= area(CRn−1) + area(FA) 

= area(CRn−1) + 5 

= 5 · n 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Kosten eines n-Bit Carry-Ripple-Addierers 

Es gilt 

area(CRn) 

= area(CRn−1) + area(FA) 

= area(CRn−1) + 5 

= 5 · n 

depth(CRn) 

= 3 + 2 · (n − 1) 

Letzteres gilt, da der längste Pfad bei a0 

oder b0 startet und dann über die Übertragsleitungen 

zu sn−1 läuft. 

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Geht’s besser? 

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Um von der linearen Laufzeit wegzukommen, müssen weitergehende Überlegungen 

gemacht werden. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








Unser Ziel ist ein n-Bit Addierer mit 

einer Tiefe von cd · log 2 n 

einer Fläche von ca · n 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 











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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 











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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 











wobei cd und ca kleine Konstanten (die unabhängig von n sind) sein. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


Grundidee eines Conditiona-Sum-Addierers (CSA) 






1 Zerteile die beiden Eingabeworte (Operanden) in zwei Teile, in die 

höherwertigen Stellen 

niederwertigen Stellen 

der beiden Operanden. 

2 Berechne unabhängig voneinander die Additionen auf den niederwertigen und 

den höherwertigen Stellen! 

3 Wähle in Abhängigkeit von dem durch die niederwertigen Stellen generierten 

Übertrag das korrekte Ergebnis aus. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 
















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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 














Da wir nicht vorab wissen können, welcher Übertrag von den niederwertigen 

Stellen berechnet wird, berechnen wir die Addition auf den höherwertigen 

Stellen sowohl für den Fall, dass der eingehende, von den niederwertigen 

Stellen generierte Übertrag gleich 1 als auch für den Fall, dass er gleich 0 ist. 



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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 














Da wir nicht vorab wissen können, welcher Übertrag von den niederwertigen 

Stellen berechnet wird, berechnen wir die Addition auf den höherwertigen 

Stellen sowohl für den Fall, dass der eingehende, von den niederwertigen 

Stellen generierte Übertrag gleich 1 als auch für den Fall, dass er gleich 0 ist. 



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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Rekursiver Aufbau eines n-Bit Conditional-Sum-Addierers 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Kosten eines n-Bit Conditional-Sum-Addierers 

Es gilt für jede Zweierpotenz n 

depth(CSAn) 

≤ depth(CSA n/2) + depth(Mux n/2+1) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Der Multiplexer der Breite p (p = n/2 + 1) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








Es gilt depth(Mux n/2+1) = 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








depth(CSAn) 


= depth(CSA n/2) + 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








depth(CSAn) 



≤ depth(CSA n/4) + 3 + 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








depth(CSAn) 



≤ depth(CSA n/4) + 3 + 3 

≤ depth(CSA n/8) + 3 + 3 + 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








depth(CSAn) 



≤ depth(CSA n/4) + 3 + 3 

≤ depth(CSA n/8) + 3 + 3 + 3 

≤ depth(CSA n/2 k ) + 3k 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








depth(CSAn) 



≤ depth(CSA n/4) + 3 + 3 

≤ depth(CSA n/8) + 3 + 3 + 3 


≤ depth(CSA1) + 3 · log 2 n 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








depth(CSAn) 



≤ depth(CSA n/4) + 3 + 3 

≤ depth(CSA n/8) + 3 + 3 + 3 


≤ depth(CSA1) + 3 · log 2 n 

= 3 · log 2 n + 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








area(CSAn) 

≤ 3 · area(CSA n/2) + area(Mux n/2+1) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








Es gilt depth(Mux n/2+1) = 3 und area(Mux n/2+1) = 3 · (n/2 + 1) + 1 = 3·n 

2 

+ 4. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








area(CSAn) 


= 3 · area(CSA n/2) + 

3 · n 

2 

+ 4 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








area(CSAn) 


3 · n 

= 3 · area(CSAn/2) + 

2 

≤ 10 · n log2 3 − 3 · n − 2 

+ 4 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








area(CSAn) 

≤ 10 · n log 2 3 − 3 · n − 2 

depth(CSAn) 

≤ 3 · log 2 n + 3 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








area(CSAn) 

≤ 10 · n log 2 3 − 3 · n − 2 

depth(CSAn) 

≤ 3 · log 2 n + 3 

Unser Ziel war ein n-Bit Addierer mit 

Tiefe cd · log 2 n 

Fläche ca · n 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Grundidee des Carry-Look-Ahead-Addierers 

Beobachtung 

Bei der Addition muss man den Übertrag ci−1 an der Stelle i − 1 kennen, um das 

Summenbit si = ai ⊕ bi ⊕ ci−1 ausrechnen zu können. Wenn die ci ’s schnell berechnet 

werden können, dann auch die Summenbits. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Beobachtung 

Bei der Addition muss man den Übertrag ci−1 an der Stelle i − 1 kennen, um das 

Summenbit si = ai ⊕ bi ⊕ ci−1 ausrechnen zu können. Wenn die ci ’s schnell berechnet 

werden können, dann auch die Summenbits. 

Wann entsteht ein Übertrag an der i − 1. Stelle? 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Wir betrachten für die folgenden Überlegungen die Stellen i bis j mit i ≤ j als Block. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








Man kann drei Fälle unterscheiden: 

die Generierung eines Übertrages 

die Propagation des Übertrages 

die Absorption des Übertrages. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 












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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 












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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 












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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








Definition (Generierung und Propagierung eines Übertrages) 

Die Stellen i bis j generieren einen Übertrag, falls cj = 1 ist, unabhängig von dem 

Wert des Eingangsübertrages ci−1 der Stelle i. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








Definition (Generierung und Propagierung eines Übertrages) 

Die Stellen i bis j generieren einen Übertrag, falls cj = 1 ist, unabhängig von dem 

Wert des Eingangsübertrages ci−1 der Stelle i. 

Die Stellen i bis j propagieren einen Übertrag, falls cj = ci−1 gilt. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Um Generierung bzw. Propagation zu fassen, definieren wir die Funktionen gj,i 

(generate), und pj,i (propagate), mit gj,i , pj,i : B2n → B, 0 ≤ i < n, i ≤ j < n und 

1 , Stellen i bis j von a und b generieren einen Übertrag 

gj,i (a, b) = 

0 , sonst 

1 , Stellen i bis j von a und b propagieren einen Übertrag 

pj,i (a, b) = 

0 , sonst 

Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir im Folgenden a und b ”weg”. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Eigenschaften von generate und propagate 

Lemma 

Für 0 ≤ i < n gilt ci = gi,0 + pi,0 · c−1. 

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ALU 

Question Time 







Lemma 


Eigenschaften: 

1 Für i = j mit 0 ≤ i < n gilt 

pi,i = ai ⊕ bi 

gi,i = ai · bi 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Lemma 






2 Für i = j mit i ≤ k < j gilt 

gj,i = gj,k+1 + pj,k+1 · gk,i 

pj,i = pj,k+1 · pk,i . 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Lemma 






2 Für i = j mit i ≤ k < j gilt 

gj,i = gj,k+1 + pj,k+1 · gk,i 

pj,i = pj,k+1 · pk,i . 

Die Eigenschaften benachbarter Blöcke 

lassen sich also verknüpfen zu der 

Eigenschaft des zusammengesetzten 

Blockes 

(gj,i , pj,i ) = (gj,k+1, pj,k+1) ◦ (gk,i , pk,i ) 

mit area(◦) = 3 und depth(◦) = 2. 

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Addierer 

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ALU 

Question Time 







Weitere Eigenschaften: 

3 Die Operation ◦ ist assoziativ, d.h. 

4 Es gilt 

((g1, p1) ◦ (g2, p2)) ◦ (g3, p3) = (g1, p1) ◦ ((g2, p2) ◦ (g3, p3)) 

(gj,0, pj,0) = (gj,j , pj,j ) ◦ (gj−1,j−1, pj,j−1) ◦ . . . ◦ (g1,1, p1,1) ◦ (g0,0, p0,0) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Weitere Eigenschaften: 

3 Die Operation ◦ ist assoziativ, d.h. 

4 Es gilt 

((g1, p1) ◦ (g2, p2)) ◦ (g3, p3) = (g1, p1) ◦ ((g2, p2) ◦ (g3, p3)) 


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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Parallele Präfix-Berechnung 

Die Berechnung von 







für alle 0 ≤ j ≤ n − 1 ist ein allgemeines Problem: + 

Setze hierfür yj := yj,0 := (gj,0, pj,0) und xi := xi,i := (gi,i , pi,i ) 

Definition (parallele Präfix-Funktion) 

Sei M eine Menge und sei ◦ : M × M → M eine assoziative Abbildung. Die parallele 

Präfix-Funktion (PP n ) ist definiert durch 

mit 

PP n : M n → M n 

und PP n (xn−1, . . . , x0) = (yn−1, . . . , y0) 

∀ 0 ≤ j < n : yj = xj ◦ xj−1 ◦ . . . ◦ x0. 

Wir nehmen an, dass ◦ durch ein spezielles Gatter berechnet werden kann. 

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ALU 

Question Time 

Parallele Präfix-Berechnung 

Lemma 






Für alle 2-er Potenzen n = 2 i , i ∈ N , kann die Funktion PP n durch einen Schaltkreis 

Pn mit Kosten 

und Tiefe 

area(Pn) ≤ 2 · n · area(◦) 

depth(Pn) ≤ (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

berechnet werden. 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Beweis zur parallelen Präfix-Berechnung 

Fall i = 1, d. h. n = 2: 

Die parallele Präfix- 

Berechnung wird realisiert 

durch: 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 

depth(P2) = depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 


= 1 · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 


= 1 · depth(◦) 

= (2 · 1 − 1) · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 


= 1 · depth(◦) 

= (2 · 1 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 2 − 1) · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 


= 1 · depth(◦) 

= (2 · 1 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 


= 1 · depth(◦) 

= (2 · 1 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(P2) = area(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 1, d. h. n = 2: 



durch: 

Es gilt: 


= 1 · depth(◦) 

= (2 · 1 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(P2) = area(◦) 

< 4 · area(◦) 

= 2 · n · area(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 

depth(P4) = 2 · depth(◦) + depth(P2) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 


= 3 · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 


= 3 · depth(◦) 

= (2 · 2 − 1) · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 


= 3 · depth(◦) 

= (2 · 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 4 − 1) · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 


= 3 · depth(◦) 

= (2 · 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 4 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 


= 3 · depth(◦) 

= (2 · 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 4 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(P4) = 3 · area(◦) + area(P2) 

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Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = 2, d. h. n = 4: 



durch: 

Es gilt: 


= 3 · depth(◦) 

= (2 · 2 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 4 − 1) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(P4) = 3 · area(◦) + area(P2) 

≤ 7 · area(◦) 

< 8 · area(◦) 

= 2 · n · area(◦) 

79 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Fall i = k, d. h. n = 2 k : 

80 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Induktiv gilt für alle 0 ≤ i ≤ n 

2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

81 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

82 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

= x ′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

83 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

= x ′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

= (x2i+1 ◦ x2i ) ◦ . . . ◦ (x1 ◦ x0) 

84 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

= x ′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

= (x2i+1 ◦ x2i ) ◦ . . . ◦ (x1 ◦ x0) 

= x2i+1 ◦ x2i ◦ . . . ◦ x1 ◦ x0 

85 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

= x ′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

= (x2i+1 ◦ x2i ) ◦ . . . ◦ (x1 ◦ x0) 

= x2i+1 ◦ x2i ◦ . . . ◦ x1 ◦ x0 

y2i = x2i ◦ y ′ 

i−1 

86 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

= x ′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

= (x2i+1 ◦ x2i ) ◦ . . . ◦ (x1 ◦ x0) 

= x2i+1 ◦ x2i ◦ . . . ◦ x1 ◦ x0 

y2i = x2i ◦ y ′ 

i−1 

= x2i ◦ (x ′ i−1 ◦ . . . ◦ x′ 0 ) 

87 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 








2 

y ′ 

i = x′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

mit x ′ j = x2j+1 ◦ x2j . 

Damit gilt: 

y2i+1 = y ′ 

i 

= x ′ i ◦ . . . ◦ x′ 0 

= (x2i+1 ◦ x2i ) ◦ . . . ◦ (x1 ◦ x0) 

= x2i+1 ◦ x2i ◦ . . . ◦ x1 ◦ x0 

y2i = x2i ◦ y ′ 

i−1 

= x2i ◦ (x ′ i−1 ◦ . . . ◦ x′ 0 ) 

= x2i ◦ x2i−1 ◦ . . . ◦ x0 

 

88 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

89 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 

= depth(◦) + depth(P n/2) + depth(◦) 

90 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

91 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

= ((2 · log 2 n − 3) + 2) · depth(◦) 

92 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

= ((2 · log 2 n − 3) + 2) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

93 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

= ((2 · log 2 n − 3) + 2) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(Pn) = 

94 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

= ((2 · log 2 n − 3) + 2) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(Pn) = 

= area(P n/2) + (n − 1) · area(◦) 

95 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

= ((2 · log 2 n − 3) + 2) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(Pn) = 

= area(Pn/2) + (n − 1) · area(◦) 

≤ (2 · n 

+ n − 1) · area(◦) 

2 

96 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(Pn) = 


= ((2 · log 2 n/2 − 1) + 2) · depth(◦) 

= ((2 · log 2 n − 3) + 2) · depth(◦) 

= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) 

area(Pn) = 

= area(Pn/2) + (n − 1) · area(◦) 

≤ (2 · n 

+ n − 1) · area(◦) 

2 

≤ (2 · n − 1) · area(◦) 

< 2 · n · area(◦) 

97 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Das Schaltbild des Carry-Look-Ahead Addierers 

98 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 






Kosten des Carry-Look-Ahead Addierers 

Kosten: 

99 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 

= depth(Pn) + 4 

100 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

101 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

102 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

= 4 · log 2 n + 2 

103 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

= 4 · log 2 n + 2 

area(CLAn) = 

104 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

= 4 · log 2 n + 2 

area(CLAn) = 

= area(Pn) + 2 · n + 3 · n 

105 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

= 4 · log 2 n + 2 

area(CLAn) = 

= area(Pn) + 2 · n + 3 · n 

≤ 2 · n · area(◦) + 5 · n 

106 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

= 4 · log 2 n + 2 

area(CLAn) = 

= area(Pn) + 2 · n + 3 · n 

≤ 2 · n · area(◦) + 5 · n 

= 6 · n + 5 · n 

107 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 







Kosten: 

depth(CLAn) = 


= (2 · log 2 n − 1) · depth(◦) + 4 

= (2 · log 2 n − 1) · 2 + 4 

= 4 · log 2 n + 2 

area(CLAn) = 

= area(Pn) + 2 · n + 3 · n 

≤ 2 · n · area(◦) + 5 · n 

= 6 · n + 5 · n 

= 11 · n 

108 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Das Schaltbild eines Addierers/Subtrahierers 

109 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Kosten eines Addierers/Subtrahierers 

Kosten: 

depth(ADDSUBn) = 

= depth(CLAn) + 1 

= 4 · log 2 n + 3 

area(ADDSUBn) = 

= area(CLAn) + n 

= 12 · n 

110 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Parallele Multiplikation 

Grundidee der Parallelen Multiplikation 

111 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 



Es gilt für die Multiplikation von zwei nichtnegativen Zahlen a = (an−1, . . . , a0) und 

b = (bn−1, . . . , b0) (Darstellung ohne Vorzeichen): 

i=0 

j=0 

n−1 

〈a〉 · 〈b〉 = ( ai 2 i n−1 

) · ( bj 2 j ) 

= a02 0 〈b〉 + a12 1 〈b〉 + . . . + an−12 n−1 〈b〉. 

112 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 



Es gilt für die Multiplikation von zwei nichtnegativen Zahlen a = (an−1, . . . , a0) und 

b = (bn−1, . . . , b0) (Darstellung ohne Vorzeichen): 

i=0 

j=0 

n−1 

〈a〉 · 〈b〉 = ( ai 2 i n−1 

) · ( bj 2 j ) 

= a02 0 〈b〉 + a12 1 〈b〉 + . . . + an−12 n−1 〈b〉. 

Anschaulich läßt sich das Produkt der Summen in einer Matrix analog zu der 

Schulmethode darstellen. 

 

 

0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 

Jede der Zeilen wird Partialprodukt (PaP) genannt und hat 2 · n Stellen. 

 

 

113 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


 

 

Um die Zeilen der Partialproduktmatrix 

0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 

aufzuaddieren, könnte man n − 1 (2n)-Bit CLA-Addierer benutzen! 

 

 

114 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


 

 


0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 


Kosten 

depth(Muln) = 1 + log 2 n · depth(CLA2n) 

 

 

115 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


 

 


0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 


Kosten 


= 1 + log 2 n · (4 · log 2 2n + 2) 

= Θ(log 2 (n)) 

 

 

116 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


 

 


0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 


Kosten 


= 1 + log 2 n · (4 · log 2 2n + 2) 

= Θ(log 2 (n)) 

area(Muln) = n 2 + (n − 1) · area(CLA2n) 

 

 

117 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


 

 


0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 


Kosten 


= 1 + log 2 n · (4 · log 2 2n + 2) 

= Θ(log 2 (n)) 

area(Muln) = n 2 + (n − 1) · area(CLA2n) 

= n 2 + (n − 1) · 11 · n 

= 12 · n 2 − 11 · n 

= Θ(n 2 ) 

 

 

118 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


 

 

Bessere Idee, um die Zeilen der Partialproduktmatrix 

aufzuaddieren: 

0 an−1bn−1 an−1bn−2 . . . an−1b0 0 . . . 0 

. 0 an−2bn−1 . . . an−2b1 an−2b0 0 

. 

. 0 

. .. . .. 

. . . . . . 

. .. 

0 

0 . . . . . . 0 a0bn−1 . . . . . . a0b0 

3-zu-2-Reduktion 

Reduziere parallel jeweils drei Zeilen 〈u〉, 〈v〉, 〈w〉 der Partialmatrix zu zwei 

Ausgabeworten 〈s〉, 〈c〉, mit 

〈u〉 + 〈v〉 + 〈w〉 = 〈s〉 + 〈c〉 

 

 

119 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Parallele Multiplikation: 3-zu-2-Reduktionen 

3-zu-2-Reduktion 

Reduziere parallel jeweils drei Zeilen 〈u〉, 〈v〉, 〈w〉 der Partialmatrix zu zwei 

Ausgabeworten 〈s〉, 〈c〉, mit 〈u〉 + 〈v〉 + 〈w〉 = 〈s〉 + 〈c〉 

Strukturell besteht ein solcher Carry-Save-Addierer (CSavA) aus FA-Zellen, wobei der 

Carry-Ausgang nicht in den nachfolgenden FA eingeht, sondern an die nächste 

Addiererstufe weitergereicht wird, d. h. 

〈u〉 + 〈v〉 + 〈w〉 = 〈(sn−1, . . . , s0)〉 + 〈(cn, cn−1 . . . , c1, 0)〉 

120 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


Zwei 3-zu-2-Reduktionsbausteine können zu einem 

4-zu-2-Reduktionsbaustein zusammengeschaltet 

werden! 

121 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 




werden! 

Kosten 

depth(4-zu-2n) = 2 · depth(CSavA) 

122 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 




werden! 

Kosten 


= 2 · depth(FA) 

123 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 




werden! 

Kosten 



= 6 

= O(1) 

124 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 




werden! 

Kosten 



= 6 

= O(1) 

area(4-zu-2n) = 2 · area(CSavAn) 

125 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 




werden! 

Kosten 



= 6 

= O(1) 


= 2 · n · area(FA) 

126 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 




werden! 

Kosten 



= 6 

= O(1) 


= 2 · n · area(FA) 

= 10 · n 

= O(n) 

127 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Parallele Multiplikation nach Luk&Vuillemin 

128 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


129 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


130 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


131 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

Kosten eines n-Bit Luk&Vuillemin Multiplizieres 

Kosten: 

depth(LVn) = 

= log 2 n · depth(4-zu-22n) + depth(CLAn) 

132 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


Kosten: 

depth(LVn) = 


= O(log n) 

133 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


Kosten: 

depth(LVn) = 


= O(log n) 

area(LVn) = 

= (n − 1) · area(4-zu-22n) + area(CLAn) 

134 / 137

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 


Kosten: 

depth(LVn) = 


= O(log n) 

area(LVn) = 

= (n − 1) · area(4-zu-22n) + area(CLAn) 

= O(n 2 ) + O(n) 

= O(n 2 ) 

135 / 137

Prinzipieller Aufbau einer ALU 

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

136 / 137

Unser ”Hochhaus” 

Addierer 

Subtrahierer 


ALU 

Question Time 

[http://www.moselschatulle.de/] 

Sicht auf die Altstadt und das Europa-Zentrum 

insbesondere auf ”das Hochhaus” mit seinen 22 Stockwerken. 

137 / 137

Grundlegende Schaltungen - Lehrstuhl Technische Informatik der ...

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