5 Graphen

Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1
5 Graphen
5.1 Gerichtete Graphen
Definition 5.1 (V,E) heißt gerichteter Graph (Digraph), wenn
• V Menge von Knoten (auch Ecken genannt, vertex)
• E ⊆ V 2 Menge von Kanten (edge).
gerichteter Graph: relationale Struktur mit einer zweistelligen
Relation
Endpunkte einer Kante (a,b) ∈ E: a,b ∈ V
Schlinge: Kante (a,a) ∈ E mit a ∈ V
Beispiel 1 (V,E) mit V = {0,1,...,4} und
E = {(i, j) | j = i+1 oder j = i+3}

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Repräsentationen endlicher Graphen
Relation G = (V,E) durch (explizite oder implizite) Angabe aller
Elemente von V und E
Diagramm des Graphen
Adjazenzmatrix |V | × |V |-Matrix A = (ai ⎧
j) mit
⎨ 1, wenn (vi,vj) ∈ E
ai j =
⎩ 0, sonst
Adjazenzliste LG : V →2 V mit u ∈ LG(v) genau dann, wenn (u,v) ∈ E

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5.2 Ungerichtete Graphen
Definition 5.2 (V,E) heißt ungerichteter (schlingenfreier) Graph,
wenn
• V Menge von Knoten (auch Ecken)
Menge von Kanten
• E ⊆ V
2
Notation: auch ab statt {a,b}
V
Hierbei sei := {M | M ⊆ V ∧ M enthält genau 2 Elemente }
2
Vereinbarung: Graph (ohne Zusatz) bedeute im folgenden immer:
endlich, ungerichtet und schlingenfrei.
ungerichteter Graph ohne Schlingen: relationale Struktur mit
zweistelliger symmetrischer irreflexiver Relation

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Ordnung von Graphen
Für jede endliche Menge A bezeichne |A| die Anzahl der Elemente
in A.
Ordnung des Graphen (V,E): Anzahl |V | der Knoten
Der Graph (V,E) heißt
leer genau dann, wenn V = /0 (und also E = /0),
isoliert genau dann, wenn E = /0,
vollständig genau dann, wenn E = V 2 .
Bezeichnung: Kn – vollständiger Graph mit n Knoten

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Nachbarschaft
Die Knoten u,v ∈ V heißen im Graphen (V,E)
benachbart (adjazent) genau dann, wenn uv ∈ E,
unabhängig genau dann, wenn uv ∈ E.
Nachbarschaft (Menge aller Nachbarn) eines Knotens v in G:
NG(v) = {u ∈ V | uv ∈ E}
(für gerichtete Graphen: NG(v) = {u ∈ V | uv ∈ E ∪ E −1 })
Ein Knoten v ∈ V mit NG(v) = /0 heißt isoliert.

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Knotengrad
In einem Graphen G = (V,E) werde die Funktion grad G : V →N wie
folgt definiert
grad G(a) = |NG(a)| .
grad G(a) heißt Grad des Knotens a.
(V,E) heißt n-regulär (regulär), falls für alle a ∈ V gilt grad G(a) = n.
Satz 5.1 Für jeden Graphen (V,E) gilt ∑a∈V grad G(a) = 2|E|.
Folgerung 5.2 In jedem endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten
von ungeradem Grad gerade.

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Graph-Isomorphie
(Spezialfall der Isomorphie relationaler Strukturen)
Definition 5.3 Zwei Graphen G = (VG,EG) und H = (VH,EH) heißen
isomorph (G ≃ H), falls eine Bijektion f : VG→VH existiert, sodass für
alle a,b ∈ VG gilt:
{ f(a), f(b)} ∈ EH genau dann, wenn {a,b} ∈ EG.
Die Isomorphie ≃ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
Graphen.
Äquivalenzklassen [G]≃ heißen Isomorphieklassen.
isolierte Graphen In := [({1,···,n}, /0)]≃
vollständige Graphen Kn := [({1,···,n}, {1,···,n}
2
)]≃
Pfade Pn := [({1,···,n},{{i,i+1}|i ∈ {1,···,n − 1}})]≃
Kreise Cn := [({1,···,n},{{i,i+1}|i ∈ {1,···,n − 1}} ∪ {{n,1}})]≃

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Graphinvarianten
Eine Funktion f von Graphen in eine Menge heißt genau dann
Graphinvariante, wenn für isomorphe Graphen G,H stets
f(G) = f(H) gilt.
Beispiele:
• Anzahl der Knoten
• Anzahl der Kanten
• Menge der Knotengrade
Graphinvarianten helfen beim Isomorphietest.

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Graph-Relationen
Für Graphen G = (VG,EG) und H = (VH,EH) heißt H
Teilgraph von G genau dann, wenn VH ⊆ VG und EH ⊆ EG gilt,
echter Teilgraph von G genau dann, wenn H = G und H
Teilgraph von G ist,
induzierter Teilgraph von G genau dann, wenn VH ⊆ VG und
EH = {{a,b} ∈ EG | {a,b} ⊆ VH} = EG ∩VH ×VH
(Im Autotool: Beschränkung von G auf VH)
aufspannender Teilgraph von G genau dann, wenn H Teilgraph
von G ist und VH = VG gilt

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Operationen auf Graphen
Für zwei Graphen G = (VG,EG) und H = (VH,EH) setzen wir:
G ∪ H := (VG ∪VH,EG ∪ EH)
G ∩ H := (VG ∩VH,EG ∩ EH)
GH := (VG ×VH,E) mit
⎧
⎨
E =
⎩ {(a,b),(c,d)}
(a = c ∧ {b,d} ∈ EH)
∨ ({a,c} ∈ EG ∧ b = d)
G ∗ H := VG ∪VH,EG ∪ EH ∪
{g,h} | g ∈ VG ∧ h ∈ VH ,
falls VG und VH disjunkt sind.
Beispiel 2 (Graphenklassen) Km,n = Im ∗ In, speziell:
Sterne K1,n
allgemein Kn1,...,nm
= In1 ∗ ··· ∗ Inm für m > 1
⎫
⎬
⎭

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Paare (Bipartite) Graphen
Definition 5.4 Ein Graph G = (V,E) heißt genau dann paar (oder
bipartit), wenn es eine Zerlegung {V0,V1} von V (d.h. V0 ∩V1 = /0,
Vi = /0 und V0 ∪V1 = V ) mit ( V0 V1
2 ∪ 2 ) ∩ E = /0 gibt.
Beispiel 3 1. Pn für alle n
2. Km,n für alle m,n ∈ N
3. kein Kn für n > 2
4. Cn für alle n ≥ 1 mit n ≡ 0 (mod 2)
Bemerkung:
Ein Graph G = (V,E) ist genau dann bipartit, wenn ein Km,n = (V,E ′ )
mit E ⊆ E ′ existiert.

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Komplementärgraph
Definition 5.5 Das Komplement eines Graphen G = (V,E) ist der
Graph G = (V,E) mit
uv ∈ E genau dann, wenn uv ∈ E gilt.
G heißt genau dann selbstkomplementär, wenn G ≃ G
Beispiel 4 (2 selbstkomplementäre Graphen) Pfad P4,
Kreis C5

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5.3 Wege, Pfade, Kreise
Wege (Kantenfolgen) in Graphen
Weg w im Graphen G = (V,E):
Folge von Kanten w = (v1v2,v2v3,...,vnvn+1) mit vivi+1 ∈ E
(Knoten und Kanten können mehrfach vorkommen!)
Länge des Weges w:
Anzahl der Kanten in w (hier n)
Ein Weg ist durch Folge der Knoten (v1,...,vn+1) eindeutig bestimmt
Weg von a nach b in G:
Weg (v1,...,vn) in G mit v1 = a und vn = b
Für jeden Knoten v ∈ V ist die Knotenfolge (v) ein leerer Weg von v
nach v.

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Pfade in Graphen
Pfad (wiederholungsfreier Weg) im Graphen G = (V,E):
Teilgraph P von G, der für ein n ∈ N isomorph zu Pn ist.
Ein Pfad P = (V ′ ,E ′ ) in G = (V,E) ist eindeutig bestimmt durch
1. die Menge E ′ ⊆ E der Kanten oder
2. die Folge (v1,···,vn) der Knoten in V ′ ⊆ V .
Länge des Pfades = Anzahl der Kanten
(z.B. im Pn also n − 1)
Pfad im Graphen von a nach b im Graphen G:
P = (v1,···,vn) in G mit v1 = a und vn = b
Maximaler Pfad in G bzgl. Teilgraph-Relation:
P = (V ′ ,E ′ ) ist maximaler Pfad in G = (V,E) genau dann, wenn
∀ab ∈ E : (V ′ ∪ {a,b},E ′ ∪ {ab}) ist kein Pfad in G.

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Kreis im Graphen G = (V,E):
Kreise in Graphen
Teilgraph C von G, der für ein n ∈ N isomorph zu Cn ist.
(echte Kreise: isomorph zu Cn mit n ≥ 3)
Kreis C = (V ′ ,E ′ ) in G = (V,E) ist eindeutig bestimmt durch die
1. Menge E ′ der Kanten oder durch die
2. Folge (v1,···,vn,v1) der Knoten in V ′ ⊆ V .
Länge des Kreises = Anzahl der Kanten
(z.B. im Cn also n)
Satz 5.3 1. Jeder Graph (V,E) enthält einen Pfad mit
min{gradG(a) | a ∈ V }+1 Knoten.
2. Jeder Graph (V,E) enthält einen Kreis mit mindestens
min{gradG(a) | a ∈ V }+1 Knoten.

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Pfade und Kreise in Wegen
Jeder Weg w = (v1v2,...,vn−1vn) im Graphen G definiert einen
Teilgraphen Hw = ({v1,...,vn},{v1v2,...,vn−1vn}) in G.
Satz 5.4 Jeder Weg von a nach b in G enthält einen Pfad von a nach b
in G als Teilfolge.
Satz 5.5 Existieren in einem Graphen G = (V,E) zwei verschiedene
(nicht überall gleiche) Pfade zwischen a ∈ V und b ∈ V , dann enthält G
einen Kreis.

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Zusammenhangsrelation
Relation RG ⊆ V ×V im Graphen G = (V,E)
(u,v) ∈ RG (u und v sind zusammenhängend)
genau dann, wenn es einen Weg von u nach v in G gibt.
Bemerkung:
Für jeden Graphen G = (V,E) ist RG eine Äquivalenzrelation auf V .
Äquivalenzklassen [u]RG
von G
sind Knotenmengen induzierter Teilgraphen
und heißen Zusammenhangskomponenten von G.

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Bäume
Definition 5.6 G = (V,E) heißt Baum, wenn
• G zusammenhängend ist und
• kein Teilgraph von G ein echter Kreis ist.
G = (V,E) heißt Wald, wenn kein Teilgraph von G ein echter Kreis ist.
v ∈ V mit grad(v) ≤ 1 heißt Blatt
Lemma 5.6 Jeder Baum mit mindestens 2 Knoten hat mindestens 2
Blätter.

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Charakterisierung der Bäume
Satz 5.7 Für jeden Graphen G = (V,E) sind folgenden Aussagen
äquivalent:
1. G ist ein Baum.
2. Zwischen je zwei Knoten u,v ∈ V existiert genau ein Pfad in G.
3. G ist minimal zusammenhängend.
(G ist zusammenhängend und für jede Kante uv ∈ E ist
(V,E \ {uv}) nicht zusammenhängend.)
4. G ist maximal kreisfrei.
(G enthält keinen echten Kreis, aber für jede Kante uv ∈ V 2 \ E
enthält (V,E ∪ {uv}) einen echten Kreis.)

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Gerüste
Teilgraph H von G heißt Gerüst von G, falls
• H ein Baum und
• H ein aufspannender Teilgraph von G ist.
Beispiele:
• P5 in K5
• K1,4 in K5
• G für jeden Baum G
• I3 hat kein Gerüst
• P2 ∪ K4 hat kein Gerüst
Satz 5.8 G ist genau dann zusammenhängend, wenn G ein Gerüst
besitzt.

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EULERsche Wege und Das Königsberger
Brückenproblem
Definition 5.7 Es sei G = (V,E) ein Graph. Ein Weg (e1,...,en) ∈ E ∗
heißt EULERscher Weg, falls E = {e1,...,en} und ei = e j für i = j, d.h.
der Weg (e1,...,en) ∈ E ∗ enthält jede Kante aus E genau einmal.
Ist der Anfangsknoten v1,(e1 = {v1,v2}) gleich dem Endknoten
vn+1,(en = {vn,vn+1}), so spricht man von einem EULERschen Kreis.
Satz 5.9 (Euler) Ein zusammenhängender Graph G = (V,E) ohne
Schlingen hat genau dann einen EULERschen Kreis, wenn der Grad
aller Knoten gerade ist.
Königsberger Brückenprblem
Kann man einen Spaziergang durch Königsberg machen und dabei
jede der 7 Brücken über den Fluß Pregel genau einmal passieren?

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HAMILTONsche Wege
(dual zu EULERschen Wegen)
Definition 5.8 Es sei G = (V,E) ein Graph. Ein Weg (v1,...,vn) ∈ V ∗
heißt HAMILTONscher Weg, falls V = {v1,...,vn} und vi = v j für i = j,
d.h. der Weg (v1,...,vn) ∈ V ∗ enthält jeden Knoten aus V genau
einmal.
Ist außerdem {vn,v1} ∈ E, so spricht man von einem HAMILTONschen
Kreis.
Bemerkung: Es ist schwierig – genauer gesagt NP-schwierig –
herauszufinden, ob ein Graph einen HAMILTONschen Weg hat.
Lemma 5.10 (Dirac) Hat ein Graph G = (V,E) einen minimalen
Knotengrad von ≥ |V |/2, so hat G einen HAMILTONschen Kreis.

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Planare Graphen
Definition 5.9 Ein Graph G = (V,E) heißt planar, wenn er sich ohne
Überkreuzung von Linien in der Ebene zeichnen lässt.
Die Zeichnung des planaren Graphen in der Ebene zerlegt die Ebene
in eine endliche Anzahl von zusammenhängenden Gebieten (auch
Flächen genannt), wobei wir das äußere (unbeschränkte) Gebiet
mitzählen.
Satz 5.11 (EULERsche Polyederformel) Ist G = (V,E) mit V = /0 ein
zusammenhängender planarer Graph ohne Schlingen mit f Flächen,
so gilt
|V |+ f = |E|+2.

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Folgerung 5.12 Es sei G = (V,E) ein planarer Graph mit mindestens
3 Ecken (3 ≤ |V |). Dann gilt
Ist G außerdem bipartit, so gilt
|E| ≤ 3 · |V| − 6.
|E| ≤ 2 · |V| − 4.
Bemerkung: Es gibt genau fünf regelmäßige Polyeder: das Tetraeder
(den Vierflächner), das Hexaeder (den Sechsflächner oder Würfel),
das Oktaeder (den Achtflächner), das Dodekaeder (den Zwölfflächner)
und das Ikosaeder (den Zwanzigflächner).

Grundlagen der Mathematik für Informatiker 25
Wir betrachten die Menge
Zum Beweis von Folgerung 5.12
B = {(F,e) : F ist Fläche und e ∈ E ist zu F benachbart}
= [
{(F,e0) : e0 ist zu F benachbart}, und
=
e0∈E
[
F0 ist Fläche
{(F0,e) : e ∈ E ist zu F0 benachbart}.
Es gelten die folgenden Beschränkungen:
1. Jede Kante e0 ∈ E ist zu höchstens 2 Flächen benachbart, d.h.
|{(F,e0) : e0 ist zu F benachbart}| ≤ 2, und
2. Jede Fläche F0 ist zu mindestens 3 Kanten benachbart, d.h.
|{(F0,e) : e ∈ E ist zu F0 benachbart}| ≥ 3
(≥ 4 , falls G paarer Graph).
→ Das ergibt 2 · |E| ≥ |B| ≥ 3 · f .