transform coding - Lehrstuhl Technische Informatik der MLU Halle ...

Seminar Datenkompression 

transform coding 

overview 

Diskrete Karhunen-Loeve-Transformation (DKLT) 

Diskrete Cosinus-Transformation (DCT) 

Diskrete Wavelet-Transformation (DWT) 

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 

Institut für Informatik 

Sommersemester 2002 

generated with L AT E X 

Andreas Both, Seminar Datenkompression, MLU Halle ❂ ⇐ ⇐ ▲ ▼ ⇒ ⇒ Toggle: Fullscreen Präsentation beenden 1

Einleitung 

Grundsätzlich existieren zwei Klassen von Komprimierungsverfahren: 

• verlustlose (lossless) Komprimierung 

• verlustbehaftete (lossy) Komprimierung 


Einleitung 

verlustlose (lossless) Komprimierung 

• geeignet für alle Arten von Daten 

• Kompressionsraten 2:1 bis 6:1

Einleitung 



• Kompressionsraten 2:1 bis 6:1 

• bekannteste Vertreter: 

⋆ LZW (gif, tiff) 

⋆ Huffmann-Kodierung 

⋆ arithmetische Kodierung

Einleitung 



• Kompressionsraten 2:1 bis 6:1 

• bekannteste Vertreter: 

⋆ LZW (gif, tiff) 

⋆ Huffmann-Kodierung 

⋆ arithmetische Kodierung 

durchschnittliche Komprimierung liegt bei 3:1 

d. h. Bild (640x480x24 = 1 MB) immer noch zu groß für z. B. Internetübertragung 


Einleitung 

verlustbehaftete (lossy) Komprimierung seit 1970 

• ungeeignet für Texte und Programme 

• bis ca. 100:1 (auch höher) 

• bekanntester Vertreter: 

⋆ cosinus-Transformation (MP3-, MPEG-, JPEG-Standard) 

⋆ wavelet-Transformation (JPEG2000-Standard)

Einleitung 






⋆ wavelet-Transformation (JPEG2000-Standard) 

• Was ist Verlust?

Einleitung 






⋆ wavelet-Transformation (JPEG2000-Standard) 

• Was ist Verlust? 

Nur Informationen filtern, die nicht/wenig wahrgenommen werden! 


Dieser Vortrag behandelt: 

Inhalt des Vortrages 

• Diskrete Karhunen-Loeve-Transformation (DKLT) 

• Diskrete Cosinus-Transformation (DCT) 

• Diskrete Wavelet-Transformation (DWT)

Dieser Vortrag behandelt: 

Inhalt des Vortrages 

• Diskrete Karhunen-Loeve-Transformation (DKLT) 

• Diskrete Cosinus-Transformation (DCT) 

• Diskrete Wavelet-Transformation (DWT) 

genereller Ablaufplan 

✬ 

✫ 

Bild → Transformation → Quantisierung → Kodierung → . . . 

dieser Vortrag 

Andreas Both, Seminar Datenkompression, MLU Halle ❂ ⇐ ⇐ ▲ ▼ ⇒ ⇒ Toggle: Fullscreen Präsentation beenden 5 

✩ 

✪

vorher: Begriffsklärung 

Frequenz und Frequenzüberlagerung 

bekannt aus Physik 

Begriffsklärung 


Was ist eine Transformation 

• mathematisch: Basiswechsel 


• vereinfacht: eine andere Darstellungsweise 

• Bild: Bildpunkte → Frequenzen und Amplituden 

⋆ Frequenzen: wie schnell ändert sich die Farbe in einem Bild 

⋆ Amplitude: Stärke der Veränderung 



Bsp. (1) 



Bsp. (2)

Bsp. (3) 


Bsp. (2) 


Filter 

Was sind Filter? 

• Selektion von Frequenzen 

• Ausblenden von Frequenzen 



Motivierung 

• interne Darstellung überlegen 

Motivierung

Motivierung 


Motivierung 

• viele Transformationen für viele Anwendungsfälle möglich 

⋆ Mediziner ↣ gute Qualität 

⋆ Webdesigner ↣ geringen Speicherbedarf

Motivierung 


Motivierung 



⋆ Webdesigner ↣ geringen Speicherbedarf 

• außerdem muss overhead beachtet werden

Motivierung 


Motivierung 



⋆ Webdesigner ↣ geringen Speicherbedarf 

• außerdem muss overhead beachtet werden 

gesucht wir ein allgemeines praxistaugliches Verfahren 




auch “Principal Component Analysis“ (PCA) oder Karhunen-Loeve-Analyse 

• eine Methode zur Suche der geeigneter Datentransformation 

• größtmögliche Separierbarkeit der einzelnen Klassen 

• Minimierung der geometrischen Varianz






• Minimierung der geometrischen Varianz 

bestmögliche Kompression (beste bekannte Datenkompression)






• Minimierung der geometrischen Varianz 

bestmögliche Kompression (beste bekannte Datenkompression) 


Definition 

Definition 

• zu segmentierende Region S (unterteilt in R(ed), G(reen), B(lue)) 

• Kovarianzmatrix 1 K der Verteilung von R, G, B in S 

• Eigenwerte 2 (λi) i∈{1,2,3} von K 

• zu λi gehörende Eigenvektoren Ωi von K 

⋆ Ωi = (ωi R , ωi G , ωi B ) T mit ||Ωi|| = 1 

1 

Was ist⎛Kovarianzmatrix? Cov(X1, X1) . . . 

Cov(X) = ⎝ . 

. . . 

⎞ 

Cov(X1, Xn) 

. ⎠ = (Cov(Xi, Xj))ij 

Cov(Xn, X1) . . . Cov(Xn, Xn) 

Covarianz: Cov(X1, X2) = E((X1 − E(X1))(X2 − E(X2))) 

2 

Was sind Eigenwerte? 

λ ist Eigenwert einer Martix A, wenn gilt: A · x = λ · x. x ist der zugehörige Eigenvektor. 


Definition 

Dann ergeben sich die Farbmerkmale Ai aus: 

⎛ 

⎝ A1 

A2 

A3 

A = Φ · S 

⎞ ⎛ 

⎠ = 

⎝ ω1 ω1 ω1 R G B 

ω2 ω2 ω2 R G B 

ω3 R ω3 G ω3 B 

⎞ 

⎠ · 

⎛ 

⎝ R 

⎞ 

G⎠ 

B

Definition 

Dann ergeben sich die Farbmerkmale Ai aus: 

⎛ 

⎝ A1 

A2 

A3 

A = Φ · S 

⎞ ⎛ 

⎠ = 

⎝ ω1 ω1 ω1 R G B 

ω2 ω2 ω2 R G B 

ω3 R ω3 G ω3 B 

⎞ 

⎠ · 

⎛ 

⎝ R 

⎞ 

G⎠ 

B 

Die Drehmatrix Φ muss mitgesendet werden ↦→ kann gesamten Gewinn 

wieder aufheben! 


Idee ↗ Tafel: Bild in Graustufen 

• suche Mittelwerte mx und my 

Idee



Idee 

• suche Maximum der Varianz der Werte entlang allen Winkeln



Idee 

• suche Maximum der Varianz der Werte entlang allen Winkeln 

• Transformation und Translation des Koordinatensystems



Idee 

• suche Maximum der Varianz der Werte entlang allen Winkeln 

• Transformation und Translation des Koordinatensystems 

Die Drehung des Koordinatensystems wird durch die Drehmatix Φ repräsentiert. 

−→ x-Achse (1. Hauptkomponente 3 ) repräsentiert größte unkorrelierte Spektralunterschiede 

• . . . (weitere Schritte) 

3 zusammengesetzte Hauptkomponenten ergeben wieder Bild 


Erweiterbarkeit 

Idee 

Idee leicht erweiterbar zu n-Dimensionen und Farbbildern (Farbkanäle meist 

unkorreliert) 


Algorithmus in Pseudocode 

zu komprimierendes Bild Be in RGB 

Algorithmus in Pseudocode 

Berechne KL-Matrix BKLT aus Be 

Berechne Kovarianzmatrix K aus Be 

Berechne geordnete (λ1 < λ2 < λ3) Eigenwerte 

λ1, λ2, λ3 aus Kovarianzmatrix K 

forall λi do 

Berechne Eigenvektor ωi von λi 

Normiere Eigenvektor ωi 

Berechne Ausgangspunkt Ai = ωi R ·R+ωi G ·G+ωi B ·B 

od 


dynamische Karhunen-Loeve Transformation 


• Yu-Ichi Ohta (1980): Suche nach optimaler Separierbarkeit 

• Verwendung auch anderer Darstellungen {(R, G, B), (X, Y, Z), (L, a, b), . . .} 

• auffallend war: 

Eigenvektor Ω1 des größten Eigenwertes λi: 

ähnlich bei Ω2 und Ω3 

Ω1 ≈ 

T 1 

Ω2 ≈ ± , 0, −1 

2 2 

T 1 1 1 

, , 

3 3 3 

Ω3 ≈ 

 

− 1 

T 1 

, , −1 

4 2 4 



Nach Otha sind die Eigenvektoren unabhängig von den Testbildern! 

−→ nimm diese Werte


Nach Otha sind die Eigenvektoren unabhängig von den Testbildern! 

−→ nimm diese Werte 

−→ bestmögliche generische Transformation bzgl. der Separierbarkeit von 

Farbklassen: 

⎛ 

⎝ A1 

⎛ 

1 

⎞ 

⎜ 

3 

A2⎠ 

= ⎜ 

⎜± 

A3 ⎝ 

1 

3 

1 

3 

1 

2 

0 ∓ 1 

− 

2 

1 

4 

1 

2 −1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

4 

· 

⎛ 

⎝ R 

⎞ 

G⎠ 

B 


Anwendung 

Anwendung der Karhunen-Loeve Transformation 

• Graubilder, wenn Grauwerte innerhalb der Spektralkanäle stark korrelieren 


Fazit 

• (wahrscheinlich) beste Komprimierung 

• sehr aufwendig 

• nur nutzbar für Graubilder 

• wenig Anwendung in der Praxis 

Fazit 




• Grundlage bildet die Fouriertransformation 

⋆ Fouriertransformation: 2-dimensional (Frequenz und Zeit) 

⋆ Cosinus-Transformation: 3-dimensional (Frequenz, Zeit und Farbwert) 

entscheidender Unterschied: 3-dimensionaler Raum 

• beim DCT werden immer kleine Blöcke betrachtet (JPEG-Standard: 8x8) 

⋆ das 2-dimensionale DCT ist eine Kombination des 1-dimensionalen DCT über 

die Zeilen und Spalten 

• größere Blöcke möglich, aber aufwendiger 


1-dimensionale DCT 

Basisvektoren für die 1-dimensionale DCT 

• Bild 0: gleichmäßige Strukturen werden abgetastet (große Flächen) 

• . . . Verfeinerung der abgetasteten Strukturen . . . 

• Bild 7: feinste Strukturen werden abgetastet (Kanten) 


2-dimensionale DCT 

Basismatrizen für die 2-dimensionale DCT (analog) 

• rechte obere Ecke: Abtastung der groben Strukturen (Flächen) 

• linke untere Ecke: Abtastung der feinen Strukturen (Kanten) 


Grundlage 

Grundlage der Cosinus-Transformation: beliebig genaue Darstellung für 

alle Funktionen (in einem festen Intervall) durch eine Folge von Sinus- und 

Cosinus-Transformationen möglich. 

Voraussetzung: Korrelation zwischen Signalen muss existieren! 

DCT kann unter Umständen die DKLT approximieren 

−→ erreicht damit annähernd gleiche Kompression 


n · Cu · Cv · n−1 

i=0 j=0 

Formel 

Formel zur Berechnung des Ausgangsbilds 

Auv = 2 

 

n−1 π·u(2i+1) π·v(2i+1) 

Eij · 

· 

Für die Normierungskonstanten 

Ck(k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}) gilt: 

Ck = 

1 

√2 

falls k = 0 

1 sonst 

2n 

2n 

Transformationsmatrix berechnet sich aus: 

C = 

 

1n · cos (2j+1)·i·Π 

2n 

2n · cos (2j+1)·i·Π 

2n 

E ij : der Farbwert des Pixels in der i-ten Matrixzeile und der j-ten Matrixspalte 

1. Spalte 

andere Spalten 

Auv : der transformierte Wert in der u-ten Zeile und der v-ten Spalte der transformierten Matrix 

n : Anzahl der Zeilen/Spalten der Matrix (im JPEG-Standard ist n = 8) 

u und v : geben dabei den Offset innerhalb der DCT-Matrix an 


Beispiel 

Bsp.: Umwandlung von einem Bild in Matrixdarstellung (Helligkeitsmatrix Θ) 

⎛ 

⎞ 

Θ = 

⎜ 

⎝ 

10 10 10 20 20 10 10 10 

10 20 20 20 20 20 20 10 

20 20 30 20 20 30 20 20 

20 20 20 20 20 20 20 20 

20 20 30 20 20 30 20 20 

20 20 20 30 30 20 20 20 

10 20 20 20 20 20 20 10 

10 10 10 20 20 10 10 10 

⎟ 

⎠

Beispiel 


⎛ 

⎞ 

Θ = 

⎜ 

⎝ 

10 10 10 20 20 10 10 10 

10 20 20 20 20 20 20 10 

20 20 30 20 20 30 20 20 

20 20 20 20 20 20 20 20 

20 20 30 20 20 30 20 20 

20 20 20 30 30 20 20 20 

10 20 20 20 20 20 20 10 

10 10 10 20 20 10 10 10 

⎟ 

⎠

Beispiel 


⎛ 

⎞ 

Θ = 

⎜ 

⎝ 

10 10 10 20 20 10 10 10 

10 20 20 20 20 20 20 10 

20 20 30 20 20 30 20 20 

20 20 20 20 20 20 20 20 

20 20 30 20 20 30 20 20 

20 20 20 30 30 20 20 20 

10 20 20 20 20 20 20 10 

10 10 10 20 20 10 10 10 

⎟ 

⎠ 

gleiche Werte im Bild, gleiche Werte in Matrix 


Beispiel 

Es entsteht folgende Matrix: 

⎛ 

147 

⎜ 0 

⎜ 

⎜−28 

⎜ 

A = ⎜ 1 

⎜ 

⎜−12 

⎜ −2 

⎝ 3 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

−19 

1 

−7 

−3 

3 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

−2 

−3 

7 

4 

7 

1 

10 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

−10 

−3 

1 

−2 

2 

⎞ 

0 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0⎠ 

3 0 0 0 −9 0 9 0 

Konzentration von betragsmäßig großen Werte links oben und kleinen rechts 

unten.

Beispiel 

Es entsteht folgende Matrix: 

⎛ 

147 

⎜ 0 

⎜ 

⎜−28 

⎜ 

A = ⎜ 1 

⎜ 

⎜−12 

⎜ −2 

⎝ 3 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

−19 

1 

−7 

−3 

3 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

−2 

−3 

7 

4 

7 

1 

10 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

−10 

−3 

1 

−2 

2 

⎞ 

0 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

0⎠ 

3 0 0 0 −9 0 9 0 

Konzentration von betragsmäßig großen Werte links oben und kleinen rechts 

unten. 

diese Transformation führt zu keinem Informationsverlust! 

Außer Rundungsfehlern und diskreten Charakter. 


Ausblick: Quantisierung 


Setzen der unteren Werte auf null, bewirkt wenig Informationsverlust, aber 

relativ viel Speicherplatzgewinn. 

Bsp. (1)





Bsp. (1)





Bsp. (1) 


Zusammenfassung 

• Vorteil: 

⋆ hohe Kompression möglich 

⋆ angemessener Aufwand 

Zusammenfassung


• Vorteil: 



• Nachteil: 

⋆ Artefaktbildung 



Break 

Break 


Wiederholung: Diskrete Cosinus-Transformation 

Wiederholung: Diskrete Cosinus-Transformation (für Bilder) 

• basierend auf 3 dimensionaler Darstellung 

• Zerlegung in Blöcke 

• Filterung von Strukturen 


Wiederholung: 2-dimensionale DCT 

Basismatrizen für die 2-dimensionale DCT 

• rechte obere Ecke: Abtastung der groben Strukturen (Flächen) 

• linke untere Ecke: Abtastung der feinen Strukturen (Kanten) 



• Vorteil: 



Wiederholung: Zusammenfassung


• Vorteil: 



• Nachteil: 

⋆ Artefaktbildung 

Wiederholung: Zusammenfassung 


Diskrete Wavelet-Transformation 


• Ausgangspunkt: DCT 

• Ziel: Vermeidung von Blockartefakten




• Ziel: Vermeidung von Blockartefakten 

• Anwendung der Transformation nicht nur auf Block, sondern auf gesamtes Bild 

Blockgröße aus algorithmischen Gründen nicht beliebig vergrößerbar.




• Ziel: Vermeidung von Blockartefakten 

• Anwendung der Transformation nicht nur auf Block, sondern auf gesamtes Bild 

Blockgröße aus algorithmischen Gründen nicht beliebig vergrößerbar. 

• suche Algorithmus, der keine Blöcke braucht 

−→ Wavelet-Transformation 


Kurzabriss 

• relativ neu 

Kurzabriss 

• Ende 80er: entwicklet aus Geophysik und Mathematik (Yves Meyer) 

• Weiterentwicklung: Uni NY und BELL Labs −→ Verbindungen zur Signalverarbeitung 

• weitere Anwendungsgebiete 

⋆ Statistik 

⋆ Behandlung von Differentialgleichungen 

⋆ Erforschung von Fraktalen 


Idee 

• redundante Informationen filtern 

Idee 

• c’t: “den Wald und die Bäume gleichzeitig zu sehen“

Idee 


Idee 

• c’t: “den Wald und die Bäume gleichzeitig zu sehen“ 

• Unterscheidung in Wahrnehmung von groben und feinen Details 

→ Trennung der groben von den feinen Strukturen durch “Schärfeneinstellung“ 

• Unschärfe = Glättung, also Mittelwertbildung

Idee 


Idee 

• c’t: “den Wald und die Bäume gleichzeitig zu sehen“ 

• Unterscheidung in Wahrnehmung von groben und feinen Details 

→ Trennung der groben von den feinen Strukturen durch “Schärfeneinstellung“ 

• Unschärfe = Glättung, also Mittelwertbildung 

Darstellung wieder als Funktion 

aber: keine unendlich ausgebreiteten Sinusschwingungen, sondern 

kompakte Schwingungen 


Was sind kompakte Schwingungen? 

Bsp.: 

kompakte Schwingungen

Was sind kompakte Schwingungen? 

Bsp.: 

kompakte Schwingungen 

Wavelet: little waves, Wellchen 


Aufbau eines Wavelets 

Aufbau eines Wavelets 

→ Muster eines Wavelets ist ein Basiswavelet/-skalierungsfunktion. 

• Signal wird aus gedehnten, gestauchten und verschobenen Versionen des 

Basis-Wavelets zusammengesetzt 

• Haar-Basis ist einfachste Waveletbasis (1910) 

↗ Tafel: Verfeinerung 


Grundprinzip: Filterung 

zwei Arten von Filtern nötig: 

• Details werden herausgefiltet 4 

Filter 

Natürlich dürfen durch Filter keine Informationen verloren gehen! 

Energie- oder Informationserhaltung

Grundprinzip: Filterung 

zwei Arten von Filtern nötig: 

• Details werden herausgefiltet 4 

Filter 

Natürlich dürfen durch Filter keine Informationen verloren gehen! 

Energie- oder Informationserhaltung 

• gefilterte Informationen lassen sich durch einen Differenzenfilter 5 wiederherstellen 

Bsp. 

↗ Tafel 

4 Tiefpass 

5 Hochpass-/Bandpass 


Schnelle Wavelet-Transformation 


• Ziel: möglichst gute Qualität bei geringem Speicherplatz 

• viele Durchläufe → hoher Aufwand



• Ziel: möglichst gute Qualität bei geringem Speicherplatz 

• viele Durchläufe → hoher Aufwand 

Lösung: rekursive Wavelet-Transformation → dyadische Wavelets 


dyadische Wavelets 


• “downsampling by 2 after filtering“, “lifting“ (Aufspaltung in Pixel an geraden/ungeraden 

Indizes, lazy wavelet) → jeder Schritt ist doppelt so schnell wie 

der vorhergehende 

→ Aufwand geringer 

Entdeckung dyadischer Wavelets (1986, Stéphane Mallat und Yves Meyer) 

entscheidend für Signalverarbeitung 


Beispiel

Beispiel

Beispiel

Beispiel 


wichtigste Klassen von Wavelets 

• bi-orthogonale Wavelets 

• orthogonale Wavelets 

Klassen von Wavelets 

Spricht man von Wavelets ohne weitere Präzisierung, so sind meistens die 

orthogonalen Wavelets gemeint. 

weitere Einteilungen 

• Riesz-Wavelets 

• dyadische Wavelets 

• einfache Wavelets 

• semi-orthogonale Wavelets 


Vorteile der Wavelets gegenüber DCT 

Vorteile der Wavelets gegenüber DCT 

• Komprimierung liefert qualitativ bessere Ergebnisse 


Vergleich 

Vergleich Cosinus-Transformation und Wavelet-Transformation bei 

Komprimierungsfaktor 10 


Vergleich 




Vergleich 




Vergleich 




Vorteile der Wavelets 

• Komprimierung liefert gute Ergebnisse 


• lossy und lossless in einem Algorithmus auswählbar 

• Vorschaufunktion möglich (stufenweise) 

• Dateigröße bitgenau angebbar 

• Aufwand: linear (bei konstanter Anzahl von Transformationsleveln) (zum Vergleich: 

Karhunen-Loeve-Transformation O(n 3 ))


• Komprimierung liefert gute Ergebnisse 


• lossy und lossless in einem Algorithmus auswählbar 

• Vorschaufunktion möglich (stufenweise) 

• Dateigröße bitgenau angebbar 

• Aufwand: linear (bei konstanter Anzahl von Transformationsleveln) (zum Vergleich: 

Karhunen-Loeve-Transformation O(n 3 )) 

−→ gute Gründe die Wavelet-Transformation als Grundlage für den 

JPEG2000-Standard zu nutzen. 


Quellen 

Quellen 

1. Introduction to Data Compression, K. Sayood, Morgan Kaufmann Publishers, 

1996 

2. Wavelets and Subband Coding, M. Vetterli, J. Kovacevic, 1995 

Karhunen-Loeve 

1. http://www.augusta.de/˜ hafner/diss/node66.html 

2. http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/FE Script/kapitel3/main3-5.html 


Cosinus-Transformation 

Quellen 

1. http://www.samstagsuni.de/schueler-info/bild1 dct/vortrag1.pdf 

2. http://www.ztt.fh-worms.de/de/sem/ws95 96/kompressionsalgorithmen/ 

3. http://picasso.gm.fh-koeln.de/˜ stroh/DV/MPEG/Funktion/funktion.html 

4. http://user.cs.tu-berlin.de/˜ magus/dct/aufgabe.html 

5. http://www.prz.tu-berlin.de/docs/Publications/TUB-PRZ-W-1243/ 

6. http://www.comnets.rwth-aachen.de/˜ adsl/vorlesung/DCT Sondervorlesung.pdf 

Wavelets 

1. Dr. Wilhelm Berghorn, Tobias Boskamp, Steven Schönfeld, Prof. Dr. Hans-Georg Stark: Winzig 

mit Wavelets, c’t 11/99 

2. http://i31www.ira.uka.de/docs/semin94/Seminar.html 

3. Adaptive construction of wavelets for image compression, H. Thielemann, 

MLU Halle, Diplomarbeit 2001 


weiterführende Quellen 

Quellen 

1. Visualisierung des Quantisierungseffekts 

2. Diskrete Cosinus-Transformation in C 

3. Ausführliche Vergleichsbeispiele zu Wavelet und Cosinus-Transformation 

4. Yu-Ichi Ohta, Takeo Kanade und Toshiyuki Sakai: Color Information for Region Segmentation. 

Computer Graphics and Image Processing, (13):222-241, 1980 


Question Time 

? 

Fragen?

Question Time 

? 

Fragen? 

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