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könnte man schreiben: „x4 = 1 ⇒ x ∈ {1, −1}”. Aber diese Aussage ist nicht besonders schön,
denn ihr Wahrheitswert hängt davon ab, was „x” ist. („x” ist in diesem Fall eine so genannte „freie
Variable”.) Für x = 1 ∈ R ist sie offensichtlich wahr, auch für x = 2 ∈ R. (Erinnert Euch an die
Definition von „ ⇒ ”!) Sie ist eben für alle x ∈ R wahr. Aber für x = i ∈ C z.B. nicht! Also wäre die
Aussage „∀x : (x4 = 1 ⇒ x ∈ {1, −1})” in der Tat eine falsche Aussage (außerdem sind die Potenz
und die Symbole „1” und „−” gar nicht für beliebige x definiert), während „∀x ∈ R : (x4 = 1 ⇒
x ∈ {1, −1})” wahr ist. Da das Ziel der Mathematik ist, wahre Aussagen aufzustellen, sollten in
Sätzen eigentlich keine freien Variablen vorkommen. (Sie müssen allerdings nicht unbedingt durch
Existenz- und Allquantoren gebunden sein. Auch „ 2
i = 3” ist eine wahre Aussage.)
Etwas eigenartig ist, dass die Quantoren nie wirklich definiert werden. Offenbar fühlen sich Einige
(nicht gerade Mathematiker) dadurch ermutigt, jede Menge Unsinn darüber zu behaupten. Ich habe
deshalb im Internet recherchiert und dort wenigstens für endliche Mengen eine Art induktive Definition
gefunden. Dazu zunächst ein analoges Beispiel: Die induktive Definition der Summe („ ”)
sollte bekannt sein, nämlich in etwa so:
0
f(i) := 0 und
i=1
i=1
n n−1
f(i) := f(i) + f(n) für n ∈ N>0
i=1
Zumindest für endliche Indexmengen I kann man analog auch
f(i) definieren. Ebenso sollte das
Produkt („ ”) bekannt sein als das Analogon der Multiplikation. Das führt zu folgender Tabelle, in
der man auch die Existenz- und Allquantoren einordnen kann:
i=1
i∈I
Symbol
Verknüpfung
+
·
Neutrales Element
0
1
∀ ∧ (und) wahr
∃ ∨ (oder) falsch
Z.B. heißt „ ∀ (i < 3)” (was üblicherweise geschrieben wird als „∀i ∈ {1, 2} : i < 3”) das
i∈{1,2}
Gleiche wie „(1 < 3) ∧ (2 < 3)”. Folgende Regeln ergeben sich ganz automatisch:
• ¬(∀x ∈ M : p(x)) ⇔ (∃x ∈ M : ¬p(x))
• ¬(∃x ∈ M : p(x)) ⇔ (∀x ∈ M : ¬p(x))
„¬” bedeutet „nicht”. Es ist klar, dass diese Regeln auch für unendliche Mengen gelten sollen. Des
Weiteren gilt für eine beliebige „größere” Menge N (M ⊂ N):
• (∀x ∈ M : p(x)) ⇔ (∀x ∈ N : (x ∈ M ⇒ p(x)))
• (∃x ∈ M : p(x)) ⇔ (∃x ∈ N : (x ∈ M ∧ p(x)))
Man beachte den Unterschied bei „∀” und „∃”!
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