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6. Ansonsten muss man wissen, dass in jedem Kästchen der Basisvektor ganz rechts ein Vektor
aus Kern(A − c · En) ist (der Eigenvektor eben), der links daneben aus Kern(A − c · En) 2 , der
nächste aus Kern(A − c · En) 3 , usw. (Das ergibt sich daraus, wie man im nächsten Schritt die
Basisvektoren sucht.) D.h. man rechnet nacheinander diese Kerne aus und schaut, wie viele
Vektoren man darin findet, die mit den vorherigen linear unabhängig sind. Die Anzahl ist die
Differenz der Dimensionen der beiden Kerne. Die Vektoren verteilt man gedanklich auf die
einzelnen Kästchen (am besten beginnend mit dem ersten, so dass die Kästchen der Größe
nach absteigend sortiert sind), und damit weiß man (oft schon beim zweiten Exponenten), wie
groß die Kästchen jeweils sein müssen.
Vorsicht: Dies verrät nur die Anzahl der Vektoren und damit die Größe der Kästchen. Möchte
man B bestimmen, dann muss man noch Folgendes beachten:
7. Unterhalb der Diagonalen steht im Kästchen überall eine 1, d.h. für zwei benachbarte Basisvektoren
b1 und b2 gilt A · b1 = c · b1 + 1 · b2, also b2 = A · b1 − c · b1. Deswegen fängt man
beim größten Jordankästchen an; es habe die Größe g. Man sucht einen beliebigen Vektor b1
aus Kern(A − c · En) g , der nicht schon in Kern(A − c · En) g−1 liegt (am besten durch Raten
und Überprüfen). Dies ist der Basisvektor, der zur linken Spalte des Jordankästchens gehört.
Der nächste Basisvektor b2 berechnet sich als b2 = A · b1 − c · b1 = (A − c · En) · b1 ∈
Kern(A − c · En) g−1 , dann b3 = A · b2 − c · b2 ∈ Kern(A − c · En) g−2 , usw. bis bg.
Das war das größte Jordankästchen; jetzt schaut man sich das nächstkleinere an. Hat es die
Größe h, dann braucht man wieder einen Vektor, der in Kern(A − c · En) h , aber nicht in
Kern(A − c · En) h−1 liegt. Allerdings darf er auch nicht linear abhängig mit den bereits bestimmten
Vektoren sein, denn es soll ja eine Basis werden. (Am besten wieder raten und überprüfen.
Alle Vektoren muss man nicht unbedingt überprüfen, sondern nur die, die selbst auch
in Kern(A − c · En) h liegen. Jedoch reicht es nicht, die Vektoren einzeln zu prüfen, sondern
man muss wie immer ein LGS mit allen relevanten Vektoren aufstellen.)
Die Vektoren für die weiteren Kästchen findet man analog.
Anhand dieser Schritte kann man sowohl J als auch B bestimmen. Jedoch kommt man mit weniger
Rechnung aus, wenn noch mehr Informationen gegeben sind:
Ist g die Größe des größten Jordan-Kästchens zum Eigenwert c, dann liegen alle Basisvektoren zum
Jordan-Block in Kern(A−c·En) g . D.h. Kern(A−c·En) g ist bereits der Hauptraum zum Eigenwert
c. Man nennt g den „Index” des Hauptraums. Wenn es mehrere Kästchen gibt (d.h. die Dimension
des Eigenraums ist größer als 1), dann ist g offensichtlich kleiner als die Größe des Jordan-Blocks,
also als der Exponent im charakteristischen Polynom.
Ersetzt man im charakteristischen Polynom p den Faktor (X − c) k durch (X − c) g , dann ist immer
noch p(A) = 0, denn (A − c · En) g schickt genau die gleichen Vektoren auf 0 wie (A − c · En) k . Tut
man dies bei allen Faktoren, dann erhält man das kleinste Polynom p = 0, so dass p(A) = 0 ist; dies
nennt man das „Minimalpolynom” von A. Das Minimalpolynom hat also die gleichen Faktoren wie
das charakteristische Polynom, aber die Exponenten können kleiner sein (jedoch nie 0).
Ist das Minimalpolynom von A bereits bekannt, dann ist der Exponent dort also die Größe des
größten Jordankästchens. Damit kann man oft die Jordan-Normalform ohne Rechnung schon genau
angeben (wenn auch das charakteristische Polynom und eventuell die Dimensionen der Eigenräume
gegeben sind).
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