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1. Auf der Diagonalen von J stehen die Eigenwerte c1 bis cn aus dem charakteristischen Polynom.
Dabei müssen gleiche Werte nebeneinander stehen, um die im vorherigen Abschnitt
angesprochene Blockgestalt zu erreichen.
2. Die Blöcke sollte man markieren. Die Matrix sieht dann ungefähr so aus:
⎛
⎞
⎜
⎝
c1
c2
0
c3
(Dabei ist z.B. c1 = c2.) Die folgenden Schritte beziehen sich auf jeden einzelnen Block, und
zwar zum Eigenwert c:
3. Unterhalb der Diagonalen steht jeweils entweder 0 oder 1, der Rest ist 0. Die Stellen, an denen
eine Null steht, teilen den Jordan-Block in „Jordan-Kästchen” auf:
⎛
c
⎜
⎜1
⎜
⎜0
⎜
⎝
c
1
0
0
c
0 c
1
0
0
. . .
⎞
⎟
⎠
0 1 c
4. Ganz rechts und überall dort, wo eine 0 steht, gibt es nur den Eigenwert auf der Diagonalen.
Ein Koordinatenvektor, der nur an der entsprechenden Stelle den Wert 1 und sonst 0 hat, wird
von J auf c mal sich selbst abgebildet. Also muss der entsprechende Basisvektor in B ein
Eigenvektor zum Eigenwert c sein. Fazit: Die Anzahl der Kästchen ist die Dimension des
Eigenraums zum Eigenwert c, also die Dimension des Kerns von A − c · En:
⎛
c ↓ ↓
⎜
⎜1
c
⎜ 1 c
⎜ 0 c
⎜
⎝ 1 . ⎞
⎟
.
⎟
. ⎠
1 c
(Die Pfeile markieren die Spalten, zu denen in B ein Eigenvektor gehört.)
5. Nun sollte man sich überlegen, ob dies schon ausreicht, damit der Jordanblock eindeutig bestimmt
ist. Hat der Eigenraum die Dimension 1, gibt es z.B. nur ein Kästchen. Ist die Dimension
die Größe des Jordanblocks, gibt es nur Nullen außerhalb der Diagonalen. Oder wenn die
Größe des Blocks z.B. 3 ist und die Dimension des Eigenraums 2, dann gibt es zwei Kästchen,
also eines der Größe 2 und eines der Größe 1. Die Reihenfolge der Kästchen ist aber nicht eindeutig;
sie kann höchstens per Konvention festgelegt werden (oft der Größe nach absteigend
sortiert). Also ist man auch in diesem Fall fertig, wenn man B nicht bestimmen muss.
53
c4
0
. ..
cn
⎟
⎠