Skript la.pdf - next-internet.com

• Da jede Matrix eine Jordan-Normalform besitzt, kann man sich bei Beweisen oft auf Matrizen
in Jordan-Normalform beschränken.
• Sie liefert ein Entscheidungskriterium, ob zwei Matrizen durch Basiswechsel ineinander überführt
werden können (d.h. ob sie „ähnlich” sind). Denn dann haben sie die gleiche Jordan-
Normalform, weil diese eindeutig bestimmt ist.
• Manchmal ist es hilfreich, eine Matrix erst in Jordan-Normalform zu überführen und dann
damit zu rechnen.
Gesucht ist also die Jordan-Normalform J von A und eine Basiswechselmatrix B, so dass B −1 · A ·
B = J ist (siehe 4.2.4). Ist V = K n und A eine Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis,
dann ist J die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis B; deshalb spricht man oft von der „Jordan-
Basis” und nicht von der „Jordan-Basiswechselmatrix”. Der Einfachheit halber sei deshalb von jetzt
an Φ : K n → K n , x ↦→ A · x definiert.
Ist A diagonalisierbar, dann ist J die entsprechende Diagonalmatrix und B die Basis aus Eigenvektoren
(siehe 4.6.2). Das ist z.B. der Fall, wenn das charakteristische Polynom p n verschiedene
Nullstellen hat.
Falls p zwar in Linearfaktoren zerfällt, aber einige Faktoren gleich sind (also Terme der Form (X −
c) k vorkommen), beruht die Existenz der Jordan-Normalform darauf, dass V die direkte Summe der
„Haupträume” Kern(A−c·En) k ist. Das Produkt der Terme der Form (A−c·En) k ist p(A), also nach
dem Satz von Cayley-Hamilton 0 (siehe 4.6.3). Jeder Vektor wird also 0, wenn er nacheinander mit
diesen Faktoren multipliziert wird. Es dürfte daher einleuchten, dass die direkte Summe der Kerne
ganz V ist (auch wenn dies wieder kein Beweis ist). Außerdem ist die Dimension des Hauptraums k,
also der Exponent im charakteristischen Polynom. Auch das ist nicht schwer einzusehen, denn die
Summe der Dimensionen ist ja n.
Diese Haupträume sind Φ-invariant, d.h. für x ∈ Kern(A − c · En) k gilt auch Φ(x) ∈ Kern(A − c ·
En) k . Im Fall k = 1 ist es klar, denn dies ist dann der Eigenraum zum Eigenwert c. Aber auch sonst
kann man es leicht nachrechnen: Sei x ∈ Kern(A − c · En) k , d.h. (A − c · En) k · x = 0. Zu zeigen
ist, dass (A − c · En) k · Φ(x) = (A − c · En) k · A · x = 0 ist. Aber (A − c · En) k · A ist die Matrix
A eingesetzt in das Polynom (X − c) k · X = X · (X − c) k , also gleich A · (A − c · En) k . Also gilt
(A − c · En) k · A · x = A · (A − c · En) k · x = A · 0 = 0. Man sieht hier sehr deutlich, dass es sich
lohnt, den Zusammenhang von Matrizen und Polynomen genauer zu beleuchten. Theoretisch kann
man es sich natürlich auch anders erklären: Multipliziert man nämlich (A − c · En) k · A aus, dann
erhält man eine Linearkombination von Potenzen von A, bei denen man auf der linken Seite wieder
A ausklammern kann.
Ist B nun eine Basis aus Vektoren der Haupträume, dann hat die Abbildungsmatrix von Φ bezüglich
B eine Blockgestalt, in der zu jedem Hauptraum ein quadratischer Block („Jordan-Block”) auf der
Diagonalen gehört. Denn ein Vektor, der in einem Hauptraum liegt, wird wieder in den Hauptraum
abgebildet; Entsprechendes gilt für den Koordinatenvektor bezüglich B.
4.7.2 Berechnung
Zunächst zerfalle das charakteristische Polynom in Linearfaktoren, p = (c1−X)·(c2−X)·. . .·(cn−
X), die aber nicht unbedingt verschieden sein müssen. Man kann sich auf diesen Fall beschränken,
weil z.B. in C jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Es gibt aber auch noch eine verallgemeinerte
Normalform, die ohne diese Beschränkung auskommt.
Dann kann man J und B wie folgt berechnen:
52