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Matrix A in das Polynom X − c eingesetzt worden. Zwar ist der Wert davon nicht selbst 0, aber
zumindest werden alle x ∈ Eig c(Φ) auf 0 abgebildet. Das wird gleich noch wichtig.
Zunächst wird aber der Term auf eine andere Art als Polynom betrachtet: Man sucht ja alle c, so dass
(A − c · En) · x = 0 auch für ein x = 0 gilt, d.h. dass das Gleichungssystem nichttrivial lösbar ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante von A − c · En gleich 0 ist. Ersetzt man c (nicht
A) durch X, dann ist die Determinante ein Polynom. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen.
Man nennt dieses Polynom das „charakteristische Polynom” von A oder Φ.
Zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms muss man also in A auf der Diagonalen überall
X subtrahieren und dann die Determinante bilden. Damit das nicht zu kompliziert wird, sollte
man geschickt die verschiedenen Methoden (wie Laplace-Entwicklung, siehe 4.5.4) ausnutzen. Das
Resultat ist auf jeden Fall ein Polynom, aber es hat eine recht komplizierte Form; je nachdem, wie
geschickt man sich anstellt.
Um die Nullstellen zu bestimmen, rät man jeweils eine Nullstelle und benutzt dann Polynomdivision
(siehe 3.2.5), oder man verwendet direkte Formeln. Auf jeden Fall sollte man beim Ausrechnen der
Determinante schon darauf achten, gemeinsame Terme auszuklammern, wo es möglich ist. Teilt
man die Matrix in Blöcke auf (siehe 4.5.3), dann ist dies automatisch gegeben. Bei der Laplace-
Entwicklung sollte am besten nur ein einziger Term übrig bleiben, sonst muss man selbst nach
Möglichkeiten zum Ausklammern suchen.
Das charakteristische Polynom hat immer den Grad n, und der erste Koeffizient ist (−1) n . Wenn
die Summe der Eigenräume nicht ganz V ist, dann kann sich das auf zwei verschiedene Arten im
Polynom widerspiegeln: Entweder das Polynom lässt sich nicht vollständig als Produkt von Faktoren
der Form (X − ci) schreiben (man sagt, es „zerfällt” nicht in „Linearfaktoren”), oder ein Faktor
(X −ci) kommt mehrmals vor (d.h. als (X −ci) k ). Das heißt nämlich noch nicht, dass die Dimension
des zugehörigen Eigenraums k ist; sie kann auch kleiner sein.
Ist p das charakteristische Polynom von A bzw. Φ, dann gilt nach dem Satz von Cayley-Hamilton
p(A) = 0 bzw. p(Φ) = 0. Für den Fall, dass p in Linearfaktoren zerfällt, kann man sich nach der
Bemerkung oben (darüber, was passiert, wenn man A in das Polynom X − c einsetzt) vielleicht
ungefähr vorstellen, warum das so ist. Es ist natürlich kein Beweis.
Dies kann übrigens ganz nützlich sein, um zu überprüfen, ob man das charakteristische Polynom
richtig ausgerechnet hat. Es ist aber recht mühsam. Zerfällt das Polynom in Linearfaktoren, dann
rechnet man besser zu den gefundenen Eigenwerten die Eigenräume aus; oft ist es ohnehin Teil
einer Aufgabe.
4.7 Jordan-Normalform
4.7.1 Beschreibung
Jede lineare Selbstabbildung eines n-dimensionalen K-Vektorraums V , zu der eine Abbildungsmatrix
A ∈ K n×n bezüglich einer Basis gegeben ist, lässt sich durch Basiswechsel (siehe 4.2.4) in
die sogenannte „Jordan-Normalform” bringen. Diese ist bis auf die Reihenfolge bestimmter Teile
(entspricht der Reihenfolge der Basisvektoren) eindeutig und hat eine sehr einfache Gestalt. Das hat
viele Vorteile, z.B.:
• Ist eine Abbildungsmatrix in Jordan-Normalform gegeben, kann man Vieles direkt ablesen,
denn es ist eine Dreiecksmatrix: Rang, Determinante, Eigenwerte, charakteristisches Polynom,
Verhalten beim Potenzieren, invariante Unterräume, usw. Diese Eigenschaften ändern sich
beim Basiswechsel nicht.
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