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4.6.2 Einfache Fälle
Ist V = Kn und Φ : V → V, x ↦→ A · x die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix
⎛
c1
⎜ 0
A = ⎜
⎝ .
0
c2
. ..
· · ·
. ..
. ..
⎞
0
⎟
. ⎟
0 ⎠
0 · · · 0 cn
,
dann ist es recht einfach, n Eigenvektoren anzugeben: Es ist
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 c1 0 0
0.
0.
⎜
⎜0.
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0.
⎟ ⎜
⎟ ⎜1⎟
⎜
⎟ ⎜c2
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Φ( ⎜ ⎟)
= ⎜ ⎟ , Φ( ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0.
⎟)
= ⎜
⎠ ⎝ 0.
⎟ , . . . , Φ( ⎜ ⎟)
= ⎜ ⎟
⎠ ⎝0⎠
⎝ 0 ⎠
0 0
1
,
also sind diese Vektoren jeweils Eigenvektoren zu den Eigenwerten c1 bis cn. Damit ist ganz V
die direkte Summe der Eigenräume, die von den Standardbasisvektoren aufgespannt werden. Die
ci müssen natürlich nicht alle verschieden sein; bei gleichen ci bekommt man Eigenräume höherer
Dimension.
Man kann diesen Spezialfall etwas verallgemeinern, indem man nur voraussetzt, dass die Abbildungsmatrix
bezüglich einer beliebigen Basis eine Diagonalmatrix ist. Die Basisvektoren sind dann
die Eigenvektoren. Hat man umgekehrt eine Basis aus Eigenvektoren (indem man vorher die Eigenräume
bestimmt hat und die Summe davon tatsächlich ganz V ist), dann ist die Abbildungsmatrix
bezüglich dieser Basis immer eine Diagonalmatrix.
Ebenfalls ein wichtiger Spezialfall sind Projektionen. Man nennt Φ eine „Projektion”, wenn Φ 2 = Φ
gilt, was man z.B. anhand einer Abbildungsmatrix recht leicht überprüfen kann. Da alle Vektoren
aus dem Bild wieder auf sich selbst abgebildet werden müssen, hat Φ bezüglich einer Basis, die
nur aus Vektoren aus Kern und Bild bestehen, eine Diagonalmatrix als Abbildungsmatrix. Auf der
Diagonalen stehen nur Nullen und Einsen, deshalb sind das die beiden einzigen Eigenwerte, die
vorkommen. Sind umgekehrt 0 und 1 die einzigen Eigenwerte einer Abbildung, und ist die Summe
der zugehörigen Eigenräume ganz V , dann ist die Abbildung eine Projektion.
4.6.3 Allgemeine Formeln
Ist V endlichdimensional und B eine Basis, dann ist x ∈ V genau dann Eigenvektor zum Eigenwert
c von Φ, wenn DBB(Φ) · DB(x) = c · DB(x) ist. Man kann also statt V auch gleich K n betrachten
und statt Φ die Multiplikation mit der Matrix DBB(Φ). Die Eigenwerte sind die gleichen, und die
Eigenvektoren sind gerade die Koordinatenvektoren der Eigenvektoren von Φ. Daher kann man sich
von jetzt an auch einschränken auf V = K n und Φ : V → V, x ↦→ A · x mit einer n × n-Matrix A.
Man spricht dann auch von den „Eigenwerten von A”.
In A · x = c · x kann man aber das Distributivgesetz anwenden; es ist äquivalent zu A · x − c · x =
(A − c · En) · x = 0. Das liefert schon einmal eine Möglichkeit, den Eigenraum zum Eigenwert c
auszurechnen; es ist der Kern von A − c · En. Jetzt muss man nur noch alle Eigenwerte ermitteln,
damit man weiß, welche c man einsetzen muss.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, welche Rolle hier Polynome und Determinanten spielen, kann
man sich erst einmal überlegen, dass der Term A − c · En sehr danach aussieht, als wäre hier die
50
cn