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z
x
y
Um den Sinn von Eigenwerten besser zu verstehen, kann man sich z.B. die Eigenwerte bei einer
Spiegelung im R 2 anschauen. Die Vektoren, die direkt auf der Spiegelachse liegen, werden nicht
verändert, d.h. sie sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Die Vektoren, die genau senkrecht dazu
stehen, werden negiert, sind also Eigenvektoren zum Eigenwert −1. Die übrigen Vektoren sind keine
Eigenvektoren:
z’
Spiegelachse
Ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert c, dann ist klar, dass auch k · x für k ∈ K ein Eigenvektor zum
Eigenwert c ist. Das Gleiche gilt für beliebige Linearkombinationen von Vektoren zum gleichen
Eigenwert. D.h. die Menge Eig c(Φ) der Eigenvektoren zum Eigenwert c ist ein Unterraum (wird
auch mit Ec(Φ) bezeichnet, aber man darf es nicht mit der Bezeichnung für die Einheitsmatrix
verwechseln). Speziell ist Eig 0(Φ) = Kern Φ. Man nennt c eigentlich nur dann „Eigenwert von Φ”,
wenn dies nicht der Nullraum ist, d.h. wenn es einen Eigenvektor gibt, der nicht der Nullvektor ist.
Man spricht aber trotzdem immer vom „Eigenraum zum Eigenwert c”.
Der Schnitt von zwei Eigenräumen ist immer der Nullraum, denn ein Vektor kann nicht gleichzeitig
Eigenvektor zu zwei verschiedenen Eigenwerten sein. Führt man diesen Gedanken fort, gelangt man
zu dem Schluss, dass auch mehr Eigenräume immer eine direkte Summe bilden. Allerdings ist die
Summe aller Eigenräume nicht immer der ganze Vektorraum. Z.B. hat im R 2 eine Drehung um den
Ursprung gar keine Eigenwerte.
Noch allgemeiner kann man sich auch beliebige Unterräume anschauen und prüfen, ob jeder Vektor
aus dem Unterraum wieder darin landet, d.h. Φ(U) ⊂ U. Man nennt U dann „Φ-invariant”. Die
Fragestellung hängt damit zusammen, weil man für eindimensionales U damit Φ(x) = c · x (c ∈ K)
für alle x ∈ U erreicht. Auch andere Φ-invariante Unterräume lassen sich über Eigenwerte charakterisieren
(Stichwort „Haupträume”), aber das darf man nicht mit den Eigenräumen verwechseln.
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x’
y’