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die Spalten bzw. Zeilen, in denen der weggestrichene Eintrag nicht 0 war (oben wäre das die 5, also
nur die letzte Spalte).
Die Determinanten der so gebildeten Matrizen muss man mit den jeweiligen Einträgen multiplizieren
und entweder addieren oder subtrahieren, je nachdem, wo der Eintrag stand. Das geht nach
folgendem schachbrettartigen Schema:
⎛
⎞
+ − + − · · ·
⎜
⎜−
+ − + · · · ⎟
⎜
⎜+
− + − · · · ⎟
⎜
⎝−
+ − + · · · ⎟
⎠
.. . . . . .
Entwickelt man im Beispiel oben nach der letzten Zeile, erhält man:
⎛
1
⎜
⎜2
det ⎜
⎜0
⎝0
0
2
3
0
0
0
3
4
2
1
0
4
5
3
2
0
⎞
5 ⎛
6⎟
1
⎟ ⎜
4 ⎟ = 5 · det ⎜2
⎝
3⎠
0
0
5
2
3
0
0
3
4
2
1
⎞
4
5 ⎟
3⎠
2
Wenn man will, kann man aber auch z.B. nach der ersten Spalte entwickeln:
⎛
1
⎜
⎜2
det ⎜
⎜0
⎝0
0
2
3
0
0
0
3
4
2
1
0
4
5
3
2
0
⎞
5 ⎛
6⎟
3
⎟ ⎜
4 ⎟ = 1 · det ⎜0
⎝
3⎠
0
0
5
4
2
1
0
5
3
2
0
⎞ ⎛
6
2
4⎟
⎜
⎟
3⎠
− 2 · det ⎜0
⎝0
5
0
3
2
1
0
4
3
2
0
⎞
5
4 ⎟
3⎠
5
Im ersten Summanden wurde die erste Zeile weggestrichen, im zweiten Summanden die zweite, entsprechend
dem jeweiligen Eintrag. Außerdem war der zweite Eintrag an einer Stelle, wo im Schema
ein Minus steht, daher das Minus vor der 2.
4.6 Eigenwerte
4.6.1 Definition
Wenn Φ : V → V eine lineare Abbildung ist, ist es interessant zu wissen, ob ein bestimmter Vektor
x ∈ V von Φ z.B. wieder auf sich selbst abgebildet wird, d.h. Φ(x) = x. Allgemeiner kann man
auch fragen, ob der Vektor zwar nicht auf sich selbst abgebildet wird, aber auf ein Vielfaches davon,
d.h. Φ(x) = c · x, x ∈ K. In dem Fall nennt man x einen „Eigenvektor” zum „Eigenwert” c. Der
Spezialfall Φ(x) = x besagt damit, dass x Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist.
In dieser Illustration ist eine lineare Abbildung Φ : R 2 → R 2 dadurch dargestellt, was sie mit
verschiedenen Vektoren x, y, z macht (x ′ = Φ(x), y ′ = Φ(y), z ′ = Φ(z)). x ist ein Eigenvektor
zum Eigenwert 2, d.h. er wird durch Φ um den Faktor 2 gestreckt. Auch y und z werden durch
den Eigenwert 2 beeinflusst: Schaut man sich die beiden Grafiken genau an, sieht man, dass Alles
in Richtung von x gestreckt wurde. x und y sind aber selbst keine Eigenvektoren zu irgendeinem
Eigenwert. Irgendwo ist noch der Eigenwert 1 versteckt; es dürfte eine gute Übungsaufgabe sein,
einen Eigenvektor dazu zu finden.
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